12. Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Кинетическая энергия точки в данный момент времени равна половине произведения ее массы на квадрат скорости. Изменение кинетической энергии материальной точки за некоторый промежуток времени равно сумме работ приложенных к ней сил на соответствующем перемещении, т.е. , (12.1) гдеV₀, V—скорости точки в начале и конце перемещения;

m-- масса точки.

Кинетическая энергия, как и работа, являются скалярными величинами в отличие от количества движения и импульса силы, являющихся векторами.

Решение задач с использованием теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки необходимо осуществлять в следующем порядке:

1. изобразить тело, принимаемое за материальное точку, в текущий момент времени;

2. приложить к точке все активные (заданные) силы; все действующие связи заменить соответствующими реакциями;

3. выразить кинетическую энергию точки в начале и конце перемещения;

4. вычислить работу всех заданных сил на известном перемещении точки;

5. из теоремы об изменении кинетической энергии точки определить искомые величины.

ПРИМЕР 17.

При забивке сваи в грунт баба копра массой m=100кг свободно падает с высоты h=10м. Определить среднюю силу сопротивления грунта , если при одном ударе свая входит в грунт на==50мм (рис. 44).

РЕШЕНИЕ.

Рисунок 44

1. Так как баба копра совершает поступательное движение, принимаем ее за материальную точку. На точку действует активная сила и сила сопротивления грунта.

2. Конечная скорость точки V=0. Начальная скорость движения точки в грунте или скорость точки в конце падения с высоты h можно определить по формуле (см. пример 12),м/с.

3. Применим теорему об изменении кинетической энергии точки на перемещении :. (1) Вычислим работу сил, приложенных к точке;. (2) Подставим (2) в (1) и учитывая, чтоV=0, получим , откудакН.

13. Теорема об изменении киннетической энергии системы.

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему , (13.1) гдеm_k ,V_k—соответственно масса и скорость произвольной точки М_k системы.

Теорему об изменении кинетической энергии механической системы можно использовать в дифференциальной (13.2) или конечной (интегральной) (13.3) форме. Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему

. (13.2) Изменение кинетической энергии механической системы на каком-то перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на том же перемещении , (13.3) где Т₀, Т – соответственно кинетическая энергия в начале и конце перемещения системы.

Кинетическая энергия твердого тела зависит от вида движения, совершаемого телом. При поступательном движении все точки твердого тела движутся со скоростью, равной скорости центра масс тела. Тогда, (13.4) где М—масса тела.

Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , мерой инертности является момент инерциитела относительно оси вращения. Следовательно, кинетическая энергия вращающегося тела. (13.5)

Плоское движение твердого тела можно рассматривать состоящим из поступательного движения с центром масс и вращением вокруг оси, проходящей через центр масс. Кинетическая энергия тела при плоском движении будет представлена двумя слагаемыми , (13.6) где-- момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела.

Сферическое движение твердого тела можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси вращения. Тогда , (13.7) где-- мгновенная угловая скорость тела;

-- момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения.

В общем случае движения свободное твердое тело движется поступательно вместе с центром масс и вращается вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. Тогда , (13.8) где-- момент инерции тела относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс тела.

Если механическая система образована из нескольких твердых тел, кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел системы, имеющих массу

. (13.9) Если в начальный момент механическая система находясь в покое, то Т₀=0. Для неизменяемой механической системы работа внутренних сил .

ПРИМЕР 18.

Рисунок 45

М

масса блока 3 равномерно распределена по ободу. Коэффициент трения груза о плоскость f=0,1. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 2. К подвижному блоку 4 прикреплена пружины с коэффициентом жесткости с. Под действием переменной силы F=f(S), зависящей от перемещения S точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя: деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 2 действует постоянный момент М сил сопротивления от трения в подшипниках.

еханическая система состоит из груза 1, ступенчатого шкива 2 с радиусом ступенейR₂ =0,3м,r₂ =0,1м, массой которого пренебрегаем, блока 3 радиуса R₂=0,2м и подвижного блока 4 (рис.45). Подвижный блок является однородным цилиндром,

Определить угловую скорость блока 3 в тот момент времени, когда перемещениеS₁=0,2м, при следующих исходных данных: m₁=4кг, m₃=2,5кг, m₄=6кг, с=320Н/м, =1,4Н/м,F=50(9+2S).

РЕШЕИЕ.

1. Неизменяемая механическая система состоит из тел 1, 3, 4 с известными массами и невесомого блока 2. На систему действуют внешние силы: активные ,,,,, реакции,, сила тренияи момент М. Для определения угловой скоростиблок а3 применим теорему об изменении кинетической энергии неизменяемой механической системы. (1) Так как система начала движения из состояния покоя, то Т₀=0.

2. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел системы, имеющих массу: Т=Т₁+Т₃+Т₄. (2) Кинетическую энергию всех тел системы выражаем с учетом вида движения каждого тела. Груз 1 движется поступательно, блок 3 вращается вокруг неподвижной оси. Подвижный блок 4 совершает плоское движение

Т₁=;

Т₃=; (3)

Т₄=.

I₃, I₄ – момент инерции относительно осей вращения блоков 3 и 4.

Все скорости выразим через искомую угловую скорость ;;. (3) Моменты инерции блоков (3) и (4) определяем с учетом распределения масс;. (4) Подставим (3) и (4) в равенства (2)

;

; (5)

.

С учетом равенства (2) получим . (6)

3. Определим сумму работ всех действующих внешних сил на том перемещении, которое будет иметь система, когда груз 1 пройдет путь S₁. . (7) Работа сил,,,,равна нулю, так как реакцияперпендикулярна перемещению груза, а остальные силы приложены к неподвижным точкам. Вычисляем работу заданных сил на перемещениях точек их приложения, которые выразим через перемещение грузаS₁: дж;дж;дж;дж;

где ;м;дж;дж, где;. С учетом равенства (7) получим:

дж. (8) Подставим (6) и (8) в (1): ;

, откуда .