15. Принцип даламбера для материальной точки.

Принцип Даламбера устанавливает единый подход к исследованию движения материального объекта вне зависимости от характера налагаемых на это движение условий. При этом динамическим уравнениям движения придается вид уравнений равновесия. Отсюда второе название принципа Даламбера – метод кинетостатики.

Для материальной точки в любой момент движения геометрическая сумма приложенных активных сил, реакций связей и условно присоединенной силы инерции равна нулю (рис. 48).

, (15.1)

Где Ф—сила инерции материальной точки, равная:

. (15.2)

Рисунок 48

Рисунок 49

Сила инерции приложена не к движущемуся объекта, а к связям, определяющим его движение. Человек сообщает ускорение вагонетке (рис. 49), толкая ее силой.Сила инерции представляет собой противодействие действию человека на вагонетку, т.е. по модулю равна силе и направлена в противоположную сторону.

Если точка движется по криволинейной траектории, то силу инерции можно спроецировать на естественные оси координат.

Рисунок 50

; (15.3)

, (15.4) где -- радиус кривизны траектории.

При решении задач с помощью метода кинетостатики необходимо:

1. выбрать систему координат;

2. показать все активные силы, приложенные к каждой точке;

3. отбросить связи, заменив их соответствующими реакциями;

4. добавить к активным силам и реакциям связей силу инерции;

5. составить уравнения кинетостатики, из которых определить искомые величины.

ПРИМЕР 21.

О

РЕШЕНИЕ.

1. Рассмотрим автомобиль, находящийся в верхней точке выпуклого моста. Рассмотрим автомобиль как материальную точку, на которую заданная сила и реакцию связи.

2. Так как автомобиль движется с постоянной скоростью, запишем принцип Даламбера для материальной точки в проекции на нормаль . (1) Выразим силу инерции:; нормальное давление автомобиля определим из уравнения (1):Н.

пределить давление автомобиля весомG=10000H, находящегося в верхней точке выпуклого моста радиусом =20м и движущегося с постоянной скоростьюV=36км/ч (рис. 51).

16. Принцип даламбера для механическойй системы. Главный вектор и главный момент сил инерции.

Если к каждой точке механической системы в любой момент движения условно приложить соответствующую силы инерции, то в любой момент движения геометрическая сумма действующих на точку активных сил, реакций связей и силы инерции равна нулю.

Уравнение, выражающее принцип Даламбера для механической системы, имеет вид . (16.1) Сумма моментов этих уравновешенных сил относительно любого центра также равна нулю. (16.2) При применении принципа Даламбера уравнения движения системы составляются в форме уравнений равновесия. С помощью уравнений (16.1) и (16.2) можно определить динамические реакции.

ПРИМЕР 22.

Вертикальный вал АК, вращающийся с постоянной угловой скоростью =10с^-1, закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке К (рис. 52). К валу в точке Е прикреплены тонкий однородный ломаный стержень массой m=10кг и длиной 10b, состоящий из частей 1 и 2, где b=0,1м, а их массы m₁ и m₂ пропорциональны длинам. Стержень прикреплен к валу шарниром в точке Е и невесомым стержнем 4 жестко закрепленным в точке В. Определить реакцию шарнира Е и стержня 4.

РЕШЕНИЕ.

1. Длина ломаного стержня равна 10b. Выразим массы частей стержня, пропорциональные длинам: m₁=0,4m; m₂=0,3m; m₃=0,3m.

Рисунок 42

2. Для определения искомых реакций рассмотрим движение ломаного стержня и применим принцип Даламбера. Расположим стержень в плоскости ху, изобразим действующие на него внешние силы: ,,, реакции шарнираии реакциюстержня 4. Присоединяем к этим силам силы инерции частей стержня:;;,

где ;;.

Тогда Н.Н.Н.

Линия действия равнодействующих сил инерции ,ипроходит на расстоянияхh₁, h₂ и h₃ от оси х: м;

м.

3. Согласно принципу Даламбера приложенные активные силы, реакции связей и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для плоской системы сил три уравнения равновесия:

; ; (1);; (2);.(3)

Решая систему уравнений (1)+(3), подставляя заданные значения соответствующих величин, найдем искомые реакции:

N= y_E= x_E=

Если все силы, действующие на точки механической системы, подразделить на внешние и внутренние, (рис. 53), то для произвольной точки механической системы можно записать два векторных равенства:

; (16.3) .

Рисунок 53

Учитывая свойства внутренних сил, получим принцип Даламбера для механической системы в следующем виде: ; (16.4), (16.5) где,-- соответственно главные векторы внешних сил и сил инерции;

, -- соответственно главные моменты внешних сил и сил инерции относительно произвольного центра О.

Главный вектор и главный моментзаменяют силы инерции всех точек системы, так как к каждой точке системы необходимо приложить свою силу инерции, зависящую от ускорения точки. Используя теорему о движении центра масс и об изменении кинетического момента системы относительно произвольного центра, получаем:, (16.6)

. (16.7) Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z, главный момент сил инерции относительно этой оси равен , (16.8) где-- угловое ускорение тела.

При поступательном движении тела силы инерции всех его точек приводятся к равнодействующей, равной главному вектору сил инерции, т.е. .

П

Рисунок 54

ри вращении тела вокруг неподвижной осиz, проходящей через центр масс, силы инерции всех точек тела приводятся к паре сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, и имеющей момент , (16.9) где-- момент инерции тела относительно оси вращения.

Если тело имеет плоскость симметрии и вращается вокруг неподвижной оси z, перпендикулярной плоскости симметрии и не проходящей через центр масс тела, сила инерции всех точек тела приводится к равнодействующей, равной главному вектору сил инерции системы, но приложенной к некоторой точке К (рис. 54). Линия действия равнодействующей отстоит от точки О на расстоянии. (16.10)

При плоском движении тела, имеющего плоскость симметрии, тело движется вдоль этой плоскости (рис.55). Главный вектор и главный момент сил инерции также лежат в этой плоскости и определяются по формулам:

Рисунок 55

;

.

Знак минус показывает, что направление момента противоположно направлению углового ускорения тела.

ПРИМЕР 23.

Определить силу, стремящуюся разорвать равномерно вращающийся маховик массой m, считая его массу распределенной по ободу. Радиус маховика r, угловая скорость (рис. 56).

РЕШЕНИЕ.

1. Искомая сила является внутренней.-- равнодействующая сил инерции элементов обода.. Выразим координату х_с центра масс дуги обода с центральным углом :, тогда.

2. Для определения силы применим принцип Даламбера в проекции на ось х:;, откуда.

3. Если маховик – сплошной однородный диск, то , тогда.

Рисунок 55