Аксенов Лабораторный практикум по физике 2007

Поделив уравнения (5.2) и (5.4) одно на другое, получим важную связь между ν и Р:

P =			R	.	(5.5)
	cvν

С другой стороны, по первому закону термодинамики, изменение внутренней энергии связано с изменением тепла в системе (при ν =const) уравнением:

du = dQν .

(5.6)

Из уравнений (5.5) и (5.6) видно, что давление линейно и однозначно зависит от общего тепловыделения при сгорании и не зависит от равномерности выделения тепла по объему, а следовательно, и от распределения температуры в пространстве: данное количество энергии (тепла) может быть сообщено небольшой части газа или же равномерно распределено по всему объему – в обоих случаях повышение давления будет одно и то же.

По мере возрастания тепловой энергии системы при сгорании все новых и новых порций исходной смеси общий запас химической энергии убывает. Поскольку суммарный запас тепловой и химической энергии в системе не меняется, можно написать:

ET = ET0 + z Ex0 ,

(5.7)

где ET =u0 , Ex0 =Qν – тепловая и химическая энергия системы в исходном состоянии до начала горения соответственно; Qν – теп-

ловой эффект химической реакции горения при постоянном объеме; z – доля сгоревшей смеси ( 0 ≤ z ≤1).

Из уравнений (5.5), (5.7) можно получить:

P =

R

(ET0 + z Ex0 ).

(5.8)

cvν

Так как при z = 0 Р = Р0 (начальное давление), а при z = 1 Р = Рв (максимальное давление по окончании горения), выражение (5.8) принимает вид

P = P0 + (Pв − P0 ) = P0 [1 + z(Pв / P0 −1)] =

			ηnTвν
= P0					= P0 [1 + z(ε −1)] .	(5.9)
	1 + z		T	−1
			0

61

Здесь ηn – изменение числа молей при реакции в пламени; Твν – максимальная температура продуктов сгорания по окончании горения при ν =const; T0 – начальная температура исходной смеси.

Изменение числа молей определяется как:

	ηn =	nв	=	µ0	,	(5.10)
		n0		µв

где η0; µ0 и ηв; µв – общее число молей и средний молекулярный вес исходной смеси и продуктов сгорания соответственно.

Параметр ε = Pв/P0 = ηnTвν можно назвать коэффициентом из-

T0

менения давления при горении при ν = const; ε – аналогичен коэффициенту расширения в случае горения при Р = const.

Пусть при сгорании доли z горючей смеси продукты сгорания к моменту времени t занимают долю ω всего объема: ω = (r/R0)3. Несгоревшая часть смеси (1− z) занимала до начала горения объем

νк = ν0 (1 − z) , где ν0 = 4 / 3πR03 – объем камеры сгорания. После сгорания доли z и увеличения давления до величины P (см. (5.9)) объем несгоревшей части смеси будет равен νк = ν0 (1 − ω) .

Согласно уравнению Пуассона для адиабатического процесса:

ν			1 − ω			P		1
								γ
	к	=			=	0			.	(5.11)
νн				1 − z		P

Из уравнений (5.9) и (5.11) получим:

ω=1−

1− z

=

1

[1+(ε−1)z]γ

=1 −

1 − z

.

(5.12)

1

[1 + (η

T

/ T

−1)z]γ

n

вν

0

Уравнения (5.9) и (5.12), при исключении из них z, дают связь относительного роста давления Р/Р0 с относительным расстоянием r/R0, пройденным пламенем.

Для начальной стадии распространения пламени (z << 1), разлагая выражение (5.12) в ряд по малому параметру z и ограничиваясь линейным приближением, можно найти:

62

		z			Tвν
	ωz→0 =			η			,	(5.13)
		γ			T
						−1
					0

где γ = cp/cν.

Поскольку γ ~ (Tвv –Т0)/(Tвр –Т0), из уравнения (5.13) получаем:

ωz→0 z ηn	Tвp	= z εp ,	(5.14)
	T
0

гдеεp – коэффициент расширения при P = const.

Такое увеличение объема имело бы место при свободном расширении продуктов сгорания. Отсюда следует; что горение в замкнутом объеме в начальной стадии протекает в тех условиях, что и

при Р = Р0.

Анализ показывает, что такие условия сохраняются для различных смесей до z/R0 ~ 0,3 – 0,5.

Дифференцируя уравнение (5.9), можно определить характер изменения давления во времени:

			dp = P		(ε−1) dz	.		(5.15)
			dt	0	dt
		dp				dz
	Для определения		необходимо знать				.
		dt
						dt
	Производную	dz	можно определить из следующих соображе-
		dt

ний. Исходное количество горючей смеси равно ρ0 ν0 ( ρ0 – началь-

ная плотность смеси). Масса смеси, сгорающая в единицу времени, paвнa ρиnF, где ρ – текущая плотность исходной смеси; F – поверхность фронта пламени. Тогда доля смеси, сгорающая в единицу времени, равна:

dz

=

ρ иn F

ρ0 v0 .

(5.16)

dt

1

ρ

P

γ

Поскольку ρ

=

P

, то

0

0

P

1

dp

Fun ρ

P0un F

γ

= P0 (ε−1)

=

dt

v

(ε−1)

.

(5.17)

ρ

0

v

P

0

0

0

63

Из уравнений (5.9), (5.15) и (5.17) учитывая, что

F	=		4πr2
					,
v0			4	3
			3	πR0

окончательно имеем:

dp		3P u	n			P
dt	=	0		(ε−1)
		R				P
		0				0

	1				2		1
					3
			P		1	P
	γ							3γ
		−ε+			(1−ε)3
			P			P
			0			0

(5.18)

. (5.19)

Это уравнение может быть использовано для определения un из экспериментальных индикаторных диаграмм.

5.2. АППАРАТУРА И МАТЕРИАЛЫ

Для выполнения работы необходимы следующая аппаратура и материалы: установка «Сферическая камера»; измеритель давления типа ИД-2И или «Карат» с блоком питания; регистратор светолучевой осциллограф типа Н-115 с блоком питания или АЦП USB3000; источники газов для составления горючих смесей.

5.3. ОБРАБОТКА ОСЦИЛЛОГРАММ. РАБОЧИЕ ФОРМУЛЫ

В результате проведения очередного эксперимента со смесью заданного состава регистрируется осциллограмма процесса сгорания в виде зависимости давления от времени. Типичная зависимость показана на рис. 5.2. Данная осциллограмма является первичным экспериментальным материалом для определения нормальной скорости горения.

Величину un для данного давления Р можно вычислить по уравнению (5.19), в котором Р0 и R0 известны по условиям эксперимента, величина текущего давления P и параметр ε = Pв/Р0 измеряются непосредственно по осциллограмме процесса. Величина показателя политроны γ = cp/cv может быть вычислена, если известен конечный состав продуктов сгорания.

Производная dpdt вычисляется дифференцированием экспери-

ментальной кривой Р(t). Операцию дифференцирования можно

64

провести графически известным методом или на ЭВМ по известной программе.

Р/Р0

1

t/t0

0

0,5

1

Рис. 5.2. Типичная осциллограмма процесса – индикаторная диаграмма

Мгновенное давление Р, для которого вычисляется величина нормальной скорости un, по своему смыслу является начальным давлением для оставшейся исходной смеси к моменту времени t. Другим начальным параметром, характеризующим состояние исходной смеси в этот же момент времени, является температура, до которой нагревается смесь благодаря адиабатическому сжатию ее расширяющимися продуктами сгорания.

Температура смеси в данный момент времени может быть вычислена для адиабатического процесса по формуле:

γ−1

T = T0 P γ . (5.20)P0

Здесь T0 – начальная температура исходной смеси до воспламенения; γ – показатель политропы для исходной смеси.

В результате обработки одной осциллограммы Р(t) получается набор un для определенных пар значений (Pi, T).

Аналогично обрабатываются осциллограммы для смесей другого состава, а также других начальных температур и давлений.

65

5.4. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

Ознакомиться с инструкциями по работе, регистрирующим прибором и измерителем давления. Усвоить порядок включения приборов, настройки и калибровки, систему операций по проведению измерений, также порядок их выключения по окончании работы.

Включить регистратор и измеритель давления, выставить необходимые параметры для проведения регистрации индикаторной диаграммы.

Включить вакуумную систему на установке «Сферическая камера» и откачать до минимального остаточного давления рабочий объем камеры сгорания и коммуникации, соединяющие источник горючего газа с камерой сгорания. Остаточное давление в камере сгорания проконтролировать с помощью образцового вакуумметра П2 и абсолютного манометра ПЗ.

Включить систему питания блока зажигания установки «Сферическая камера», составить горючую смесь, и заполнить ею рабочий объем камеры сгорания до необходимого давления. По окончании наполнения камеры горючей смесью вентили В1, В2, В3 и В11 должны быть закрыты.

Включить искру и провести регистрацию индикаторной диаграммы.

По окончании регистрации выключить регистратор, откачать продукты реакции из камеры сгорания и подготовить ее к проведению следующего эксперимента. До начала следующей регистрации при необходимости изменить параметры измерительной системы и подготовить ее к проведению нового эксперимента.

По окончании работы выключить систему питания блока зажигания и измеритель давления в соответствии с инструкциями по работе с этими приборами. Откачать камеру сгорания, систему подводящих коммуникаций и освободить их от оставшегося рабочего газа. Выключить вакуумную систему и подать в вакуумные коммуникации и камеру сгорания атмосферный воздух.

Обработать полученные осциллограммы, построив первоначально зависимости Р(t) в абсолютных единицах в соответствии с данными по калибровке датчика давления и скорости протяжки ленты на светолучевом осциллографе.

66

Провести операцию дифференцирования кривых Р(t). Определить на каждой осциллограмме величину максимального давления Рв и вычислить параметр ε. Вычислить ряд значений un для различных значений Р по уравнению (5.19). Вычислить температуры смесей Т соответственно выбранным давлениям Р по формуле (5.20).

По результатам работы составить общую таблицу значений un при различных давлениях, температурах и составах горючей смеси.

5.5.ЗАДАНИЕ

1.Провести регистрацию индикаторных диаграмм для трех смесей метана с воздухом: бедной, стехиометрической и богатой при трех начальных давлениях: Р0 = 1,0; 0,75 и 0,5 атм.

2.Вычислить по полученным кривым значения нормальных скоростей горения un для ряда давлений P и температуры смеси Т.

3.Составить общую таблицу значений un при различных Р и Т.

4.Определить ошибку эксперимента.

ОТЧЕТ

Отчет о проделанной работе должен содержать:

1)индикаторные диаграммы для трех смесей метана с воздухом: бедной, стехиометрической и богатой;

2)графики зависимости скоростей горения un от давления Р;

3)оценку экспериментальной ошибки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Щетинков E.С. Физика горения газов. – М.: Изд-во физ.-мат.

лит., 1965.

2.Хитрин Л.Н. Физика горения и взрыва. – М.: МГУ, 1957.

3.Розловский А.И. Научные основы техники безопасности при работе с горючими газами и парами. – М.: Химия, 1972.

67

РАБОТА 6

ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СФЕРИЧЕСКИХ УДАРНЫХ ВОЛН В ВОЗДУХЕ

Цель: получение зависимостей амплитуды (давления) и длительности сферической ударной волны в воздухе от расстояния до источника ударной волны и от мощности источника; определение чувствительности (калибровка) датчика давления, используемого в лабораторной установке.

ВВЕДЕНИЕ

Понятие об ударной волне

На рис. 6.1 показана схема распространения одномерной ударной волны, распространяющейся по невозмущенному газу с постоянными плотностью ρ= ρ0 и давлением р = р0 (скорость газа

и = 0). Слева плоский поршень сжимает газ с постоянной скоростью и. D – скорость распространения ударной волны по невозмущенному газу; ρ1, р1 – плотность и давление газа в сжатой области;

t – время; на верхнем рисунке – исходное состояние.

ρ0(p0)

t=0, u=0

х

0

	t > 0 1	ρ1(p1)		ρ0(p0)
0				х
	t > 0 1	u
0	u t		D t	х

Рис. 6.1. Профили плотности и скорости в одномерной ударной волне, генерируемой движением поршня с постоянной скоростью

68

С математической точки зрения разрыв на фронте ударной волны (скачок) можно рассматривать как предельный случай очень больших градиентов газодинамических величин, когда толщина слоя, в котором происходит конечное изменение этих величин, стремится к нулю. Такой разрыв и представляет собой ударную волну. Скорость распространения ударной волны по невозмущенному газу D > с0, где c0 – скорость звука в невозмущенном газе.

Определение: ударная волна – скачок давления, плотности и температуры, распространяющийся по газу со сверхзвуковой скоростью.

Неизвестные величины ρ1 , р1 и D находятся из общих законов сохранения массы, импульса и энергии, выполнение которых не подлежит сомнению. Параметры невозмущенного газа ρ0, р0 и скорость поршня и, с которой совпадает скорость газа, будем считать известными. К моменту t в единичном сечении движение охватывает массу газа, равную ρ0Dt. Эта масса занимает объем (D – u)t, т.е. плотность сжатого газа ρ1 удовлетворяет условию:

ρ1(D – u) t = ρ0Dt.

Масса ρ0Dt приобретает количество движения ρ0Dtu, которое по закону Ньютона равно импульсу сил давления. Результирующая сила, действующая на сжатый газ, равна разности давлений со стороны поршня и со стороны невозмущенного вещества, т.е.

ρ0D t u = (p1 – p0) t .

Наконец, приращение полной энергии (сумма внутренней и кинетической энергий) сжатого газа равно работе внешней силы, толкающей поршень, р1ut:

ρ0 Dt(ε1 −ε0 +u2 / 2) = p1ut ,

где ε1 и ε0 – удельные внутренние энергии сжатого и невозмущен-

ного газа соответственно. Сокращая в этих равенствах время t, получим систему трех алгебраических уравнений для определения трех неизвестных величин p1, ρ1 и D через известные параметры и, ρ0 и p0 (термодинамическая связь ε = ε(р, ρ) предполагается известной).

Преобразуем эти уравнения таким образом, чтобы с правой стороны равенств стояли только величины, относящиеся к области перед разрывом, а с левой – параметры газа за разрывом. Для этого заметим, что если D – скорость распространения разрыва по неподвижному газу, то u0 = – D – скорость, с которой невозмущенный

69

газ втекает в разрыв, a (D – u) – скорость распространения разрыва относительно движущегося за ним газа, т.е. и1 = – (D – u) – скорость, с которой газ вытекает из разрыва. Вводя эти обозначения в уравнения, запишем закон сохранения массы:

ρ1и1 = ρ0и0,

(6.1)

Закон сохранения импульса при помощи (6.1) приобретает вид:

р1 + ρ1и12 = р0 + ρ0и02,

(6.2)

Закон сохранения энергии при помощи уравнений (6.1) и (6.2)

преобразуется к виду
ε + р / ρ +и2				/ 2 = ε	0	+ р / ρ	0	+и2	/ 2 ,	(6.3)
1	1	1	1			0		0

Полученные уравнения представляют собой записанные в наиболее общей форме соотношения между газодинамическими величинами на поверхности разрыва, в который газ втекает по направлении, нормальному к самой поверхности.

Эти соотношения не содержат никаких предположений о свойствах вещества и являются выражением лишь самых общих законов сохранения массы, импульса и энергии.

Заметим, что уравнения (6.1) – (6.3) могут быть получены из основной системы уравнений газодинамики, т.е. из законов сохранения массы, импульса и энергии вещества, записанных в дифференциальной форме:

∂ρ

r

+ div( ρu )

= 0 ,

(6.4)

∂t

∂u

r

r

1

+ (u

)u

= −

ρ

p ,

(6.5)

∂t

∂

ρu2

r

u2

r

ρε +

= −div ρu

ε +

+ pu

+ ρQ ,

(6.6)

∂t

2

2

где и – вектор скорости частицы; Q – энерговыделение в 1 с на 1 кг вещества от внешних источников; t – время.

О теории точечного взрыва

Точечный взрыв является источником сферической ударной волны, возникающей в воздухе при мгновенном выделении энергии. При точечном взрыве выделяется энергия, а масса продуктов взрыва мала. При этом в воздухе генерируется сферическая удар-

70