Окончательно получаем:
	ωt + α +	π		,	(3.19)
iC (t) = ImC cos		2

где ImC =UmωC – амплитудное значение тока.

Как видно из приведенных формул:

1) токи iR, iL и iC изменяются по гармоническому закону с той же частотой, что и напряжение. Амплитудные значения токов:

ImR = URm ,

R – активное сопротивление;

ImL = UωLm ,

величина XL = ωL называется индуктивным сопротивлением;

ImC = ωCUm ,

величина XC = ω1C называется емкостным сопротивлением;

2) фаза iR(t) совпадает с фазой uR(t); фаза iL(t) меньше фазы u(t) на π/2; фаза iС(t) больше фазы u(t) на π/2.

3.7. Мощность в цепи переменного тока

Выясним, какая средняя мощность выделяется за период при прохождении в цепи переменного тока.

Пусть в цепи приложено переменное напряжение u(t) =Um cos ωt , и в ней течет токi(t) = Im cos(ωt + ϕ) , ϕ − сдвиг по фазе между напряжением и током. Мгновенное значение мощности, выделяемое в цепи:

P(t) = i(t)u(t) =U m Im cosωt cos(ωt + ϕ) = = ImU2 m cosϕ+ ImU2 m cos(2ωt + ϕ).

При усреднении за период < cos(2ωt + ϕ) >= 0 , т.е.

< P >= Um2Im cos ϕ.

31

Поскольку для напряжений и токов, изменяющихся по гармони-

ческому закону U = U2m , I = Im2 , то для таких напряжений и токов

< P >= IU cos ϕ .	(3.20)
Тогда для схемы только с активным	сопротивлени-

ем<P> = ImRUm / 2 , а для цепей только с индуктивностью L и емко-

стью С <P> = 0, так как угол ϕ = ± π2 и cosϕ = 0.

Пример 3.3. Найдем токи и напряжения в цепи, изображенной на рис. 3.8.

Пусть u(t) =Um cosωt . Очевидно, что в любой момент времени iR (t) = iL (t) = iC (t) ≡ i(t) . По 2-му правилу Кирхгофа

u(t) − L

di

= i(t)R +

q(t)

.

dt

dq

C

Но i(t) =

, тогда

dt

d 2q(t)

+

R dq(t)

R +

q(t)

=

u(t)

.

Рис. 3.8

dt2

L dt

LC

L

Это дифференциальное уравнение для изменения заряда q от времени, оно с точностью до обозначений совпадает с дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний. Решая его или проводя аналогию с механическими колебаниями, можно получить зависимости от времени силы тока i(t) и напряже-

ния uR (t) = i(t)R, uC (t) = q(t) / C, uL (t) = Ldi / dt.

	При этом приложенное напряжение в цепи:
		u(t) = uR (t) +uC (t) +uL (t) .
		Поскольку фазы uR, uC, uL отличаются
		друг от друга, можно предложить графиче-
		ский метод сложения напряжений – диа-
		грамму напряжений (рис. 3.9). Используя
		который получаем
	Рис. 3.9	Um = (UmL −U mC )2 +UmR2 ,
		где

32

U

= I

ωL,

U

=

Im

,

U

= I

R.

ωC

mL

m

mC

mR

m

Разность фаз φ между током и напряжением в цепи переменного тока определяется следующим образом

						1
			ωL −
tgϕ =					ωC			,		(3.21)
				R
Im =				Um					.	(3.22)
		2		1				2
	R		+			−ωL
				ωC
Величина
		2		1				2		(3.23)
Z =	R		+			− ωL
				ωC
называется полным сопротивлением цепи.
Пример 3.4. К изображенной на рис. 3.10 це-
пи приложено переменное напряжение, меняю-
щееся по закону U =Um sin ωt .
Показать графически характер зависимости										Рис. 3.10
разности фаз между протекающим в цепи током

и приложенным напряжением от частоты ω приложенного напря-

	жения.
	Из		соотношения			(3.21)			имеем
	tgϕ =		1	. Тогда	ϕ = arctg		1		. При
		ωCR					ωCR
	ω → 0		ϕ → π/2, а		при	ω → ∞ ϕ → 0.
	Поэтому искомый характер зависимости
	ϕ(ω) имеет вид,				показанный			на рис.
	3.11.								Рис. 3.11

Пример 3.5. Для колебательного контура, содержащего конденсатор емкостью С и катушку индуктивности L, построим график зависимости заряда на обкладках конденсатора q от тока в цепи i.

Заряд q = q	m	cosω t , где ω =		1	. Тогда ток
		0	0	LC

33