Рис. 3.12

собой эллипс (рис. 3.12).

i =	dq	= −q		ω sin ω t .
	dt		m	0				0
Исключая из выражений для заряда и
тока время, получим:
				2				i	2
					q	+				=1 .
					2		q	2	2
					q			m	ω
					m				0

График зависимости q(i) представляет

3.8. Трансформаторы

При практическом использовании энергии электрического тока очень часто возникает необходимость изменять напряжение, даваемое каким-либо генератором. Для повышения (понижения) напряжения в цепи используются трансформаторы.

Простейший трансформатор имеет железный сердечник, на который намотаны две катушки (обмотки). Действие трансформатора основано на явлении электромагнитной индукции. В каждом витке обмоток индуцируется одна и та же ЭДС индукции е. Если в первичной обмотке n1 витков, а во вторичной n2, то ЭДС в обмотках

Е1 = еn1 и Е2 = еn2 и

E1		=	n1	.	(3.24)
E	2		n
		2

Если вторичная обмотка не нагружена (режим холостого хода трансформатора), то отношение напряжений на зажимах обмоток трансформатора с большой точностью равно отношению индуцируемых в них ЭДС:

				u2	=	E2	=	n2	= k ,	(3.25)
				u		E		n
		n2	1			1	1
	где k =		– коэффициент трансформации. Если							k > 1, то транс-
		n
	1

форматор называется повышающим, при k < 1 – понижающим.

Отношение мощности, потребляемой в цепи вторичной обмотки, к мощности, отбираемой от цепи первичной обмотки, называется КПД трансформатора. Обычно i2u2 ~ i1u1 .

34

Когда к вторичной обмотке подключается нагрузка, в ее цепи идет ток и выделяется мощность. Напряжение на концах вторичной обмотки уже не будет точно равно Е2, а будет несколько меньше, но если нагрузка не превышает той нормы на которую рассчитан трансформатор, то это уменьшение незначительной. Оно составляет 2 – 3 % от напряжения холостого хода.

3.9. Свободные колебания в электрическом контуре

До сих пор рассматривались вынужденные колебания зарядов, создаваемые генераторами электрического тока.

Теперь рассмотрим свободные электрические колебания в контуре, состоящем из конденсатора емкости С и катушки индуктив-

ности L (рис. 3.13).
Для того чтобы в контуре возникли колеба-
ния зарядов, нужно зарядить конденсатор С до
заряда q0, а затем заряженный конденсатор со-
единить с катушкой L (рис. 3.14). Конденсатор
начинает разряжаться, по контуру потечет ток i.									Рис. 3.13
Как он будет зависеть от времени?
		i(t) =			dq	.
Поскольку					dt
q(t)				= −L			di	;	Рис. 3.14
		C					dt
dq			= i(t),
dt

то

q(t) = −LC

di

и

i(t) = −LC

d 2i

. Таким образом, получаем:

dt

dt

2

d 2i(t)

+

1

i(t) = 0 .

(3.26)

dt2

LC

Уравнение (3.26) – уравнение свободных гармонических коле-

баний с частотой

ω =

1

. Общим решением уравнения (3.26)

0

LC

является i(t) = Im cos(ω0t + ϕтока ) .

35

Аналогично для зависимости заряда на конденсаторе от времени получаем

	d 2q(t)	+	1	q(t) = 0 .	(3.27)
	dt2		LC

Это тоже уравнение свободных колебаний. Из него находим за-

кон изменения заряда:
q(t) = Qm cos(ω0t + ϕзаряда ) .	(3.28)

Период колебаний заряда (тока) в свободном колебательном

контуре определяется формулой Томсона:
T = 2π LC .	(3.29)

Видно, что период зависит только от параметров колебательного контура (емкости и индуктивности). Величина ω0 называется

собственной частотой колебательного контура.

Фазы и амплитуды токов и зарядов можно определить из на-

чальных условий:

q(0) = q0 ;

i(0) = 0;

q(0) = Qm cosϕзаряда = q0 ;

dq

π

= −Qmω0 sin ϕзаряда

= Qmω0 cos

ϕзаряда +

= 0,

dt

t =0

2

т.е. Q = q0 ,

ϕзаряда

= 0 .

Таким образом,

q(t) = q0 cosω0t .

(3.30)

Поскольку

i(t) =

dq

= −q0

ω0 sin ω0t = q0

ω0t +

π

,

ω0 cos

dt

2

то

= π

I

m

= q ω

и ϕ

тока

,

0 0

2

поэтому

q(t) = q0 cosω0t;

π

(3.31)

+

i(t) = q0ω0 cos

ω0t

2

.

36

Из соотношений (3.31) видно, что колебания тока опережают колебания заряда на /2.

Рассмотрим процесс преобразования энергии в колебательном контуре. Электрическая энергия сосредоточена в конденсаторе:

Eэл	(t)	q2 (t)		1	CU2	(t),
				2
		2C
а магнитная энергия – в катушке Eмаг (t)							Li	2(t)	. Поскольку R = 0
								2

для контура, тепловые потери энергии отсутствует. С учетом (3.31)

E (t)

q2

(t)

q2

cos2

t;

0

эл

2C

2C

0

E (t)

L

I2

cos2

t

L

I2

sin

2 t.

маг

2

m

0

2

2

m

0

Тогда полная энергия в контуре

E

(t) E

(t) E

(t)

q2

cos2 t

LI2

sin

2 t

пол

эл

маг

0

m

2C

0

2

0

q2

Lq2 2

q2

0

cos2 t

0

0

sin2 t

0

2C

2

2C

или

0

0

E

q2

LI

2

.

(3.32)

пол

0

m

2C

2

Графики Еэл(t), Емаг(t) и Епол представлены на рис. 3.15. Энергия тоже изменяется по гармоническому закону, но с в два раза меньшем периодом, чем ток.

Рис. 3.15

37