Фильтры на основе преобразования фурье

Алгоритм свертки с применением БПФ, рассмотренный в пре­дыдущем разделе, часто используют при машинном моделировании линейных аналоговых фильтров. В разделе проанализи­рованы ошибки, присущие такому методу моделирования, и опи­саны способы определения дискретной частотной характеристики по заданной непрерывной частотной характеристике. В целях упрощения изложения здесь описываются только одномерные сигналы.

Рассмотрим длинный одномерный непрерывный сигнал f_C(х), спектр которого f_C() равен нулю, если || больше частоты среза ₀. Нужно найти свертку сигнала с непрерывным импульс­ным откликом h_C(х), частотная характеристика которого h_C() также ограничена частотой ₀.

Как упоминалось раньше, свертку можно выполнить либо в пространственной области в соответ­ствии с соотношением

(11.4.1а)

либо в частотной области

(11.4.16)

В гл. 9 описана методика дискретизации интеграла свертки (11.4.1). Непрерывный импульсный отклик h_c (x) необходимо подвергнуть усечению, умножив его на весовую функцию у (х). В результате получается взвешенный импульсный отклик

Ь_с (х) = h_c (х) у (х), (11.4.2)

где у (х) = 0 при | х\ > Т. Весовая функция уменьшает эффекты, связанные с усечением. Интеграл свертки аппроксимируется выражением.

(11.4.3)

Затем в 2/ + 1 точке берут отсчеты выходного сигнала с интер­валом А = я/со_о, а непрерывный интеграл заменяют суммой с тем же шагом А. В результате получается дискретное представление

(11.4.4)

где К — целое число, ближайшее к значению дроби Т/А.

Для вычисления суммы (11.4.4) с помощью дискретного преоб­разования Фурье можно следующим образом применить алго­ритм, описанный в разд. 11,3. На первом этапе в качестве первых L = 2К + 1 элементов /-элементной последовательности берутся отсчеты взвешенного импульсного отклика, а в качестве после­дующих J — L элементов — нули. Таким образом,

Ьр(г) = Ь_с(-К),...,Ь_с(О),...,Ь_с{К),₁ 0,.. ., 0, (11.4.5)

L элементов

где 0 =s; { г£ Р — 1. Элементы последовательности b_D (/) можно получить из непрерывного импульсного отклика h_c (x) и весовой функции у (х), дискретизируя произведение этих функций, т. е.

bait) = */(*) h_c(x) 5 (х + КА - /А). (11.4.6)

На следующем этапе вычисляется дискретное преобразование Фурье b_D (i) в Р точках

(11.4.7)

где 0 sg и .<; Р — 1. После подстановки выражения для b_D (/) в формулу (11.4.7) и преобразований получается, что дискретная частотная характеристика фильтра связана с аналоговой частот­ной характеристикой -Я_с (со) и спектром Фурье у. (со) весовой функ­ции соотношением

(11.4.8а)

(11.4.86)

где и, = 0, 1, ..., Р/2, а £_с (со) = Л_с (со) * у. (со).

Равенства (11.4.8) задают искомую связь между дискретной и непрерывной частотными характеристиками. Если непрерыв­ная частотная характеристика &_с(со) и спектр Фурье «(со) весо­вой функции известны и заданы в аналитическом виде, то в прин­ципе отсчеты дискретной частотной характеристики можно полу­чить, выполнив аналитическим путем свертку (11.4.86) и находя числовые значения полученной при этом функции в точках (2пи/Р&) для каждого значения параметра и. На практике часто не удается вычислить свертку аналитически, особенно для дву­мерных сигналов, и оказывается проще выполнить обратное пре­образование Фурье частотной характеристики А_с (со) для полу­чения аналитического выражения импульсного отклика и затем взять отсчеты b_D (j) в соответствии с формулой (11.4.6). Можно использовать и другой подход: согласно равенству (11.4.8), взять отсчеты дискретного обратного преобразования Фурье Л_с (2пи/РА), . умножить расширенную последовательность "отсчетов импульс­ного отклика на весовую функцию, а затем, выполнив дискрет­ное преобразование Фурье, получить 4_D (и).

Умножение на весовую функцию, которое можно выполнить согласно равенству (11.4.6) или неявно в спектральной области! с помощью соотношения (11.4.8), совершенно необходимо, если -1 нужно подавить описанные в гл. 9 циклические ошибки. При филь-Jj трации изображений обычно делается типичная ошибка, когда 1 в качестве дискретного импульсного отклика берется последо-Я вательность отсчетов непрерывного импульсного отклика. Тогда I в общем случае все / элементов соответствующего расширенного | дискретного импульсного отклика будут ненулевыми, т. е. длина L I дискретного импульсного отклика, «погружаемого» в расширен­ный вектор (11.4.5), неявно будет принята равной J. Поэтому все профильтрованные отсчеты будут искажены из-за цикличе­ской ошибки.

Известно несколько видов весовых функций, при­годных для использования при дискретной линейной фильтрации. Некоторые из них, чаще всего встречающиеся на практике, при­ведены в таблице, а их графики — на рис. 11.4.1. На рис. 6 представлены соответствующие спектры, состоящие из главного лепестка и набора боковых лепестков, амплитуды которых обычно уменьшаются с ростом частоты. Анализ выражения

() показывает, каким образом форма весовой функции и ее спектра влияет на выходной сигнал. Форма главного лепестка спектра весовой функции определяет искажение спектра сигнала в диапазоне от 0 до оз_о. Боковые лепестки вызывают наложение спектров, поскольку взвешенный импульсный отклик 4_С (со) имеет спектр неограниченной ширины.

Рис. 6. Одномерные весовые функции

Плавные весовые функции имеют слабые боковые лепестки, что уменьшает ошибки наложения спектров, однако главный лепесток в этих случаях оказывается более, широким, что приводит к сглаживанию спектра сигнала. При проектировании фильтров приходится находить компромисс между этими двумя видами ошибок. Обе ошибки можно умень­шить, увеличивая длину взвешенного импульсного отклика, однако при этом либо сокращается длина обработанного сигнала, либо увеличивается объем вычислений.