Лекция для заочников

П р о г н о з и р о в а н и е в е л и ч и н ы п е р е м е н н о й Y

1.Точечный прогноз ỹ0=b0+b1 x0 , при заданном значении объясняющей переменной x=x0

2.Интервальный прогноз (доверительный интервал)

y

− T α

S

y

y y

+ T α

S

y

̃0

2

,n−2

̃

̃0

2 ,n−2

̃0

̃0

1

(x−x)2

S ỹ = S2

+

̄

n

n

√

(

(x

− x)2

)

∑i=1

i

̄

Доверительный прогноз с вероятностью (1­ α ) показывает, в каком интервале будет находится возможное значение переменной Y, при заданном значении объясняющей переменной.

				М н о ж е с т в е н н а я л и н е й н а я р е г р е с с и я
y=β0+β1 x1+β2 x2+...+βp x p +ε теоретическое уравнение множественной линейной
регрессии
β0 ;	β1 ;...βp			­ параметры (коэффициенты) теоретического уравнения множественной
линейной регрессии; p — количество параметров уравнения регрессии
ε ­ теоретическая величина случайного отклонения
y=b0 +b1 x1 +b2 x2+...+bp x p+e ­ эмпирическое уравнение множественной линейной
регрессии
y=b	0	+b x	+b x		+...+b x	p	­ расчетная часть уравнения регрессии
̃		1 1		2 2	p
b0 ;	b1 ;b2 ;... ;b p				­ эмпирические оценки теоретических параметров уравнения регрессии

e — эмпирическая оценка величины случайного отклонения

О ц е н к а п а р а м е т р о в м н о ж е с т в е н н о й л и н е й н о й р е г р е с с и и с п о м о щ ь ю М Н К

B= b1 =( X T X )−1 X T Y b2

(b0 )

...

bp

( X T X )−1 ­ матрица, обратная матрице X T X ,

	(	1	x11	x12 ...	x1 p
X =		1	x21	x22 ...	x2 p	, столбец из единиц вводится для расчета коэффициента b0,
		... ... ... ... ...
		1	xn 1	xn 2 ...	xn p )

остальные столбцы соответствуют выборочным значениям объясняющих переменных X1, X2, … , Xp

О ц е н к а п а р а м е т р о в м н о ж е с т в е н н о й л и н е й н о й р е г р е с с и и с п о м о щ ь ю М Н К

(∑nxi1 X T X = ∑ xi2

...

∑ xip

∑ xi1		∑ xi2
∑ xi1	2	∑ xi1 xi2
∑ xi1 xi2		∑ xi2	2
...		...
∑ xi1 xip		∑ xi2 xip

(∑ yi )

∑yi xi1

X T Y = ∑ yi xi2

...

∑yi xip

...	∑ xip		)
...	∑ xi1 xip
...	∑ xi2 xip
...	...
...	∑ xip	2

С т а т и с т и ч е с к а я з н а ч и м о с т ь у р а в н е н и я м н о ж е с т в е н н о й л и н е й н о й р е г р е с с и и

Качество уравнения регрессии можно оценить с помощью коэффициента детерминации

R2 ( 0 R2 1 )

Чем ближе к 1 коэффициент детерминации , тем качественнее уравнение регрессии.

Скорректированный коэффициент детерминации R̄2=1−(1− R2) n−1 . n− p−1

Скорректированный коэффициент детерминации применяется для сравнения качества уравнений с разным количеством объясняющих переменных.

Статистическая значимость уравнения регрессии оценивается с помощью критерия Фишера:

Если F расч=	R2 (n− p−1)		> Fтаб =Fα ,k 1, k 2	, то уравнение регрессии статистически значимо.
	2	) p
	(1− R

С т а т и с т и ч е с к а я з н а ч и м о с т ь п а р а м е т р о в у р а в н е н и я м н о ж е с т в е н н о й л и н е й н о й р е г р е с с и и

Статистическая значимость отдельных параметров уравнения регрессии bj ( j = 0, 1, 2, … , p) оценивается с помощью критерия Стьюдента:

Если T

расч

=

b j

>T

таб

=T α

, k

, то коэффициент bj статистически значим.

Sb j

2

Sb j=√

,

S 2 [( X T X )−1] jj

[( X T X )−1] jj= A jj

­ диагональный элемент матрицы, обратной матрице X T X .

A00

A01

A02 ...

A0 p

A10

A11

A12 ...

A1p

( X T X )−1= A20

A21

A22 ...

A2 p

... ... ... ... ...

(Ap 0

Ap1

Ap 2 ...

App )

С т а т и с т и ч е с к а я з н а ч и м о с т ь п а р а м е т р о в у р а в н е н и я м н о ж е с т в е н н о й л и н е й н о й р е г р е с с и и

	n		n
S2=	∑ei2		∑( yi−ỹi )2
	i=1	= i=1
	n− p−1		n− p−1
k=n− p−1 ­ число степеней свободы; α ­ уровень значимости (α = 0,05; 0,01)

Для проверки значимости параметров уравнения регрессии можно пользоватся следующим правилом:

•	Если T расч	< 1 , то bj коэффициент статистически незначим.
•	Если 1 < T расч < 2 , то коэффициент bj относительно значим. В данном случае
	рекомендуется воспользоваться таблицами.
•	Если 2 <	T расч < 3, то коэффициент bj значим. Это утверждение является
	гарантированным при числе степеней k > 20 и α ≥ 0,05.
•	Если T расч	> 3, то коэффициент bj считается сильно значимым. Вероятность ошибки в
	данном случае при достаточном числе наблюдений не превосходит 0,001.

С м ы с л к о э ф ф и ц и е н т о в у р а в н е н и я р е г р е с с и и

Коэффициент bj ( j = 1, 2, … , p) уравнения регрессии показывает на сколько единиц изменится (увеличится, если bj > 0 или уменьшится, если bj < 0) объясняемая переменная Y при увеличении только j-ой объясняющей переменной на 1 единицу.

Коэффициент эластичности Э j - на сколько процентов (от средней) изменится в среднем Y при увеличении только Xj на 1% :

x

Эj = bj yj

П р о г н о з и р о в а н и е в е л и ч и н ы п е р е м е н н о й Y

1. Точечный прогноз ỹ0=b0+b1 x10 +b2 x20+...+b p x p0 , при заданном значении

(x10 )

объясняющих переменных X 0= x...20

x p0

2. Интервальный прогноз (доверительный интервал)

y	− T α	S	ỹ0	y y	+ T α	S	ỹ0
̃0	2	,n− p−1		̃ ̃0	2	, n− p−1

S y =S √1+ X T ( X T X )−1 X

̃0 0 0

Пр е д п о с ы л к и М Н К

1)Зависимая переменная yi (или возмущение εi) есть величина случайная, а объясняющая

переменная xi есть величина неслучайная;

2) Математическое ожидание возмущения εi равно нулю: M(εi)=0;

3) Дисперсия зависимой переменной yi (или возмущения εi) постоянна для любого i:

D(εi)=σi2 ;

4) Переменные yi и yj (или возмущения εi и εj) не коррелированы: r(εi εj)=0;

5) Зависимая переменная yi (или возмущение εi) есть нормально распределённая случайная величина.