Вариант 27

1.Какое максимальное число подмножеств множества Μ можно образовать из n его подмножеств с помощью операций пересечения, объединения и дополнения?

2.Установить биективное соответствие между множеством всех

отображений множества X в множество {0,1} и множеством 2Χ и найти 2Χ , если Χ = n.

3.Является ли вполне упорядоченным множество Z целых чисел

сих естественным порядком?

4.Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности:

1 0 0 1	1 0 0 1
P1 = | 0 0 1 1 |,	P2 = | 0 1 1 0 |.
| 0 0 1 0 |	| 1 1 0 1 |
0 1 1 0	0 0 1 1

5. Определить четность перестановки

1 2 3 … … … n

1 3 5 … 2 4 6 … .

6.Доказать, что аддитивная группа комплексных чисел есть прямая сумма подгрупп действительных и чисто мнимых чисел.

7.Описать группу симметрий правильного n-угольника. Выделить в ней группу вращений. Совпадают ли эти группы?

8.Какому сравнению степени ниже 5 равносильно сравнение

3x14+4x13+3x12+2x11+x9+2x8+4x7+x6+3x4+x3+4x2+2x≡0 (mod 5)?

9.Решить сравнение x4+4x3+2x2+2x+12≡0(mod 625).

10.С помощью алгоритма Берлекэмпа над полем F2 разложить многочлен х12 + х7 + х5 + х4 + х3 + х2 +1.

181

Вариант 28

1. Какое максимальное число подмножеств множества Μ можно образовать из n его подмножеств с помощью операций пересечения

иобъединения?

2.Пусть заданы множества Χ={a,b,c,d,e} и Υ={α,β,χ}. Найти число сюрьективных отображений множества Χ в множество Υ.

3.Является ли множество Q рациональных чисел вполне упоря-

доченным (с обычным порядком ≤) ?

4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности:

0 1 0 1	1 0 0 1
P1 = | 1 0 0 0 |,	P2 = | 0 0 1 1 |.
| 0 0 1 1 |	| 1 0 0 1 |
1 1 1 0	1 0 1 0

5. Определить четность перестановки

1 2 3 … … n-1 nn n-1 n-2 … … 2 1 .

6. Доказать, что мультипликативная группа действительных чисел есть прямое произведение подгруппы положительных чисел и подгруппы чисел ± 1.

7.Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в группе вращений правильного двенадцатиугольника? Построить их.

8.Какому сравнению степени ниже 7 равносильно сравнение

2x17+x14+5x12+2x10+x9+5x8+2x7+3x5+4x4+6x3+4x2+x+4≡0(mod 7)?

9.Решить сравнение 6x3+27x2+17x+20≡0(mod 30).

10.С помощью алгоритма Берлекэмпа над полем F3 разложить многочлен х7+2х6+х5-х3-2х2-х+2.

182

Вариант 29

1.Какое максимальное число подмножеств множества Μ можно образовать из n его подмножеств с помощью операций пересечения и дополнения?

2.Пусть заданы множества Χ={a,b,c,d,e} и Y={α,β,χ,δ,ε,φ,γ,η}.

Найти число инъективных отображений Χ→Υ.

3.Является ли вполне упорядоченным множество R действитель-

ных чисел с обычным порядком ≤ ?

4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности:

0 1 0 1	1 0 0 1
P1 = | 1 0 1 0 |,	P2 = | 1 0 1 0 |.
| 0 1 1 1 |	| 1 0 0 1 |
0 1 0 0	0 0 1 1

5.Определить четность перестановки (1 2 3 … k).

6.Доказать, что мультипликативная группа комплексных чисел есть прямое произведение подгрупп положительных чисел и чисел, по модулю равных 1.

7.Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в группе симметрий правильного девятиугольника? Построить их.

8.Какому сравнению со старшим коэффициентом 1 равносильно

сравнение 70x6+78x5+25x4+68x3+52x2+4x+3≡0(mod 101) ?

9.Решить сравнение 31x4+57x3+96x+191≡0(mod 225).

10.Применить алгоритм Берлекэмпа для доказательства неприводимости многочлена х6-х3-х-1 в кольце F3[x].

183

Вариант 30

1.Какое максимальное число подмножеств множества Μ можно образовать из n его подмножеств с помощью операций объединения и дополнения?

2.Доказать, что не существует множества, содержащего все множества.

3.Будет ли вполне упорядоченным множество чисел вида 1-1/n,

где n - целое положительное число с обычным порядком ≤ ?

4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности:

1 1 0 1	1 0 0 1
P1 = | 1 0 1 0 |,	P2 = | 0 1 1 1 |.
| 0 0 1 1 |	| 0 0 0 1 |
1 1 1 0	1 0 1 0

5. Определить четность перестановки

1 2	3 4 … n-1 n
n 1	n-1 2 … … ….

6.Доказать, что конечная абелева группа G, порядок которой равен произведению двух различных простых чисел p и q является циклической.

7.Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в группе симметрий правильного n-угольника ? Описать их.

8. Решить сравнение

7x4+19x+25≡0(mod 27).

9.Найти первообразные корни по модулям 17, 289, 578.

10.Применить алгоритм Берлекэмпа для определения числа ра-

личных нормированных неприводимых делителей многочлена х4+1 в кольце Fp[x] для всех нечетных простых р.

184

Приложение 2. Вариант контрольной работы

1. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности:

1 0 0 1	1 0 0 1
P1 = | 0 0 1 1 |,	P2 = | 0 1 1 0 |.
| 0 0 1 0 |	| 1 1 0 1 |
0 1 1 0	0 0 1 1

2. Построить граф перестановки S. Представить перестановку S в виде произведения независимых циклов и в виде произведения транспозиций. Найти четность и порядок перестановки S.

S = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123 5 4 6 10 8 9 1 11 12 7 2 .

3.Построить смежные классы и фактор-группу аддитивной группы целых чисел по подгруппе целых чисел, кратных 5. Построить таблицу умножения и граф факторгруппы.

4.Восстановить переданное информационное слово по полученному cообщению 1 0 1 1 0 0 1. При передаче по двоичному каналу связи использовался код Хэмминга, исправляющий одну ошибку со следующей порождающей матрицей:

	1	0 0		0	1	0 1
G = | 0 1 0 0 1 1 1 | .
|	0	0	1	0	0	1	1	|
	0	0 0		1	1	1 0

Найти множество определяющих соотношений и построить граф

этого кода.	61х ≡ 103 (mod 147).
5. Решить сравнение

6.Найти поле разложения многочлена x6-x4-x2-x-1 над полем F3.

7.Разложить многочлен x6+x5+x3+x2+1 с помощью алгоритма Берлекэмпа над полем F2.

185