2.4. Факторгруппы

Э.Галуа первым показал, что смежные классы группы G по ее нормальной подгруппе К образуют группу, элементами которой являются множества элементов другой группы. Поэтому сначала необходимо определить бинарную операцию на множестве смежных классов группы G по нормальной группе К.

Определение. ♦Произведением двух смежных классов R и S (упорядоченным) является множество всех упорядоченных пар

{rs}, где r R и s S. ♦

Покажем, что если R и S – смежные классы группы G по ее нормальной подгруппе К, то R*S также будет смежным классом группы G по ее подгруппе К, т.е. операция взятия произведения является бинарной операцией на множестве смежных классов по подгруппе К. Если А является произвольной подгруппой G, то А*А = А, т.к. произведение любых двух элементов из подгруппы А принадлежит к А и, вместе с тем, умножая все элементы из А на единицу, получим уже всю подгруппу А.

Пусть А будет теперь нормальным делителем группы G. Тогда, используя ассоциативность умножения подмножеств группы, равенства А*А=А и уА=Ау, х,у G получим хА*уА=хуА*А= хуА.

Последнее равенство показывает, что для нахождения произведения двух данных смежных классов группы G по ее нормальному делителю А, следует произвольным образом выбрать в этих смежных классах по одному представителю и взять тот смежный класс, в котором лежит произведение этих представителей.

Таким образом, в множестве всех смежных классов группы G по нормальному делителю А определена бинарная операция умножения. Покажем, что при этом выполняются все требования, входящие в определение группы.

1.Ассоциативность операции умножения смежных классов следует из ассоциативности умножения подмножеств группы.

2.Роль единицы играет сам нормальный делитель А, являющийся одним из смежных классов разложения группы G по А, а

именно, ввиду равенств А*А = А и хА = Ах, для любого х G получим хА*А = хА А*хА = хА*А = хА.

3. Обратным для класса хА будет смежный класс х-1А, хА*х-1А = хх-1А*А = еА = А.

66

Построенная группа называется факторгруппой группы G по нормальному делителю А и обозначается через G/A. Ясно, что со всякой группой связывается целый набор новых групп - ее факторгрупп по различным нормальным делителям. При этом факторгруппа группы G по единичной подгруппе G/{e, } будет изоморфна с самой группой G.

Пример 53. ♦Всякая факторгруппа G/A абелевой группы G является абелевой, так как ху=ух хА*уА=хуА=ухА=уА*хА.

Всякая факторгруппа G/A циклической группы G является цик-

лической, так как если G порождается элементом g, G ={gi} , и если дан произвольный смежный класс хА, то существует такое целое число k, что х = gk и поэтому хА = (gА)k .♦

Название «факторгруппа» и обозначение G/К объясняется ана-

логией между разложением группы в объединение смежных классов и факторизацией чисел (разложением чисел в произведение простых сомножителей).

Если группа G представлена объединением G=K aK bK … sK смежных классов по нормальной подгруппе К, то эти классы образуют факторгруппу (этой же аналогией объясняется и другое название нормальной подгруппы – «нормальный делитель»), обозначаемую как G/К. Эта факторгруппа однозначно определяется двумя группами G и К.

Выразим некоторые из полученных ранее результатов о гомоморфизмах, нормальных подгруппах и факторгруппах с помощью групповых соотношений и графов групп.

Пример 54.♦Снова рассмотрим группу диэдра D3 и ее нормаль-

ную подгруппу К. Факторгруппа D3/К содержит два элемента: {К, fК}, где К = {е, a, a2} и fК = {f, fa, fa2}. Отметим, что сама D3 группа содержит шесть элементов: {е, a, a2, a3, f }.

К определяюшим соотношениям группы D3 {a3=f2=(fa)2=е} до-

бавим соотношение a=е. Тогда элементы в смежных классах примут следующий вид К={е, a=е, a2=е} и fК={f, fa=f, fa 2= f}.

Дополнительное соотношение a=е “склеивает” все элементы подгруппы К в единственный элемент е, а все элементы смежного класса fК в единственный элемент f. Поскольку f2=е, то добавление соотношения a=е приводит к циклической группе порядка 2, т.е. группе изоморфной факторгруппе D3/К. Таким образом, введе-

67

ние дополнительного соотношения a=е эквивалентно гомоморфному отображению группы D3 на D3/К такому, что в единицу факторгруппы D3/К переходят в точности все элементы подгруппы К.

Можно считать, что введение соотношения a=е приводит к такой деформации графа D3, при которой все вершины, соответствующие элементам подгруппы К, сливаютя с вершиной, соответствующей элементу е. Такой процесс можно представить себе как “стягивание” в точку образующей a.

Обращение подгруппы К в единицу группы D3/К превращает исходный граф D3 в утроенный граф группы С2, у которой одна вершина соответствует смежному классу К, а другая смежному классу fК. Итак, с помощью деформации графа D3 приходим к такому графическому представлению факторгруппы D3/К:

Смежный класс К ◊-----------------◊ Смежный класс fК. ♦ Посмотрим, в какой мере эти результаты справедливы для бес-

конечных групп.

Пример 55.♦Рассмотрим аддитивную циклическую группу (Z,+) целых чисел и в качестве ее нормальной подгруппы возьмем множество всех четных чисел (Е,+). Е есть нормальная подгруппа Z, поскольку каждая подгруппа абелевой группы нормальна.

Представим группу Z в виде объединения смежных классов по нормальной подгруппе Е, т.е. Z = Е aЕ, где a Е. Смежный класс aЕ совпадает с множеством О всех нечетных чисел и, следовательно, Z = Е aЕ. Смежные классы Е и О О образуют группу с бинарной операцией сложения (в группе Z).Факторгруппа Z/Е имеет такую же таблицу умножения как и циклическая группа порядка 2 (роль единицы играет Е).

Ранее было показано, что группа С∞ не имеет конечных подгрупп. Теперь же видно, что конечная группа может быть ее факторгруппой.

Построим теперь факторгруппу Z/Е с помощью графа группы Z, следуя схеме, использованной в примере 53, и найдем дополнительное соотношение, эквивалентное обращению нормальной подгруппы Е в единицу.

Если обозначить через a образующую группы Z и ввести соотношение a2=е, то a-2=е, a4=е, a - 4=е, a6=е и т.д.

68

Присоединенное соотношение отображает четные степени элемента a в единицу е. Иначе, подгруппа Е группы Z отображается в е. Определенная этим расширенным множеством соотношений факторгруппа Z/Е является в точности группой С2. Мы говорим о соотношении, присоединенном к «исходному» множеству соотношений лишь для того, чтобы сохранить схему рассуждений предыдущего примера (группа D3). Но в нашем случае «исходное» множество соотношений пусто, т.к. группа С∞ свободна.

Какое действие на граф группы Z оказывает отображение всех элементов подгруппы Е в элемент е? Для ответа на этот вопрос, «склеим» вершины, соответствующие элементам подгруппы Е, с вершиной, соответствующей вершине е. Остальные вершины, соответствующие элементам класса смежности О, также склеиваем в одну точку. При этом граф группы Z превращается в бесконечно много раз повторенный граф группы С2, одна из вершин которого соответствует смежному классу Е, а другая – смежному классу О. Таким образом граф факторгруппы Z/Е имеет следующий вид:

Смежный класс Е ◊-----------------◊ Смежный класс О.♦ Изучение групп D3 и Z приводит к следующему алгоритму по-

строения факторгруппы.

1.Рассмотрим группу G с заданными образующими и определяющими соотношениями.

2.Введем новое соотношение, т.е. приравняем элементу е некоторое слово от образующих группы G.

3.Из этого нового соотношения следует, что становятся равными е еще и некоторые другие элементы группы G. Множество всех элементов g группы G, для для которых равенство g = е является следствием добавленного соотношения и групповых аксиом, образует нормальную подгруппу К группы G.

4.Соотношения п. п.1, 2 определяют факторгруппу G/К. Этот алгоритм является некоторой разновидностью определения

факторгруппы с помощью гомоморфного отображения, так как условия п. п.2, 3 совместно эквивалентны заданию гомоморфизма группы G на факторгруппу G/К, при котором в е отображаются в точности все элементы нормальной подгруппы К.

Определение. ♦ Ядром гомоморфизма ϕ группы G на группу G′

называется совокупность тех элементов группы G, которые при

69

отображении ϕ отображаются в единицу группу G′. Ядро гомоморфизма обозначается через Ker ϕ.♦

Ядро всякого гомоморфизма ϕ группы G является нормальным делителем группы G. Пусть теперь А – произвольный нормальный делитель группы G. Ставя в соответствие всякому элементу х группы G тот смежный класс хА по нормальному делителю А, в котором этот элемент лежит, получаем отображение группы G на всю факторгруппу G/A. Из определения умножения в группе G/A следует, что это отображение будет гомоморфизмом. Полученный гомоморфизм называется естественным (каноническим) гомоморфизмом группы G на факторгруппу G/A.

Ядром канонического гомоморфизма является сам нормальный делитель А. Отсюда следует, что нормальные делители группы G и только они служат ядрами гомоморфизмов этой группы. Это можно рассматривать как еще одно определение нормального делителя.

Оказывается, что все группы, на которые группа G может гомоморфно отобразиться, по-существу исчерпываются факторгруппами этой группы, а все гомоморфизмы группы G - ее естественными гомоморфизмами на свои факторгруппы. Точнее, справедлива следующая теорема, приводимая без доказательства.

Теорема 21 (теорема о гомоморфизмах групп). ♦Пусть дан го-

моморфизм ϕ группы G на группу G′ и пусть А – ядро этого гомоморфизма. Тогда группа G′ изоморфна факторгруппе G/A, причем существует изоморфное отображение σ первой из этих групп на вторую, такое, что результат последовательного выполнения отображений ϕ и σ совпадает с естественным гомоморфизмом χ группы G на факторгруппу G/A. ♦

Упражнения

1.Сколько можно составить различных таблиц умножения для пятиэлементного множества перестановок, которые были бы таблицами умножения группы?

2.Нужно соединить n городов автомобильными дорогами так, чтобы из одного города всегда можно было бы проехать в другой. Какое наименьшее число дорог надо построить?

70

3.Доказать, что всякая система натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен единице, является системой образующих группы всех целых чисел (Z,+).

4.Доказать, что группа всех параллельных перемещений плоскости изоморфна группе комплексных чисел с обычным сложением в качестве групповой операции.

5.Доказать, что множество всех вращений плоскости в себе самой (вокруг всевозможных точек плоскости) не образует группы.

6.Доказать, что любая группа, состоящая из четырех элементов, изоморфна либо четверной группе Клейна, либо циклической группе четвертого порядка.

7.Доказать, что если группы G1 и G2 изоморфны и группы G2

иG3 изоморфны, то изоморфными будут также группы G1 и G3.

8.Доказать теорему: некоторое множество Е элементов группы G тогда и только тогда является системой образующих этой группы, если не существует никакой собственной подгруппы группы G, которая содержала бы все элементы множества Е.

9.Доказать, что если Н – подгруппа индекса 2 в группе G, то правые и левые классы смежности по этой подгруппе совпадают.

10.Доказать, что группа всех параллельных перемещений плоскости (вдоль всевозможных прямых) является нормальной подгруппой группы всех движений плоскости по самой себе.

11.Доказать, что гомоморфизм ϕ группы А на группу В есть изоморфизм ядро ϕ есть единица группы А.

Список литературы

1.Александров П.С. Введение в теорию групп. М.: Едиториал.

УРСС, 2004.

2.Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М: Наука, 1979.

3.Гроссман И., Магнус В. Группы и графы. М: Мир, 1971.

4.Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. М: Наука, 1973.

5.Курош А.Г. Курс общей алгебры. М: Наука, 1971.

6.Мишина А.П., Проскуряков И.В. Общая алгебра. СМБ. М:

ГИФМЛ, 1962.

7.Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. Ижевск: R&C Dynamics, 1999.

71

3.КОЛЬЦА

Вбольшинстве числовых систем, используемых в элементарной арифметике, имеются две различные бинарные операции – сложение и умножение. Примерами могут служить целые, рациональные и действительные числа. Далее описывается тип алгебраических структур, называемый кольцом, обладающий основными свойствами перечисленных числовых систем.

Определение.♦Кольцом (R,+,*) называется множество R с двумя бинарными операциями «+» и «*», такими, что:

1.R – абелева группа относительно операции +;

2.Операция * ассоциативна, т.е. a,b,c R (a*b)*c = a*(b*c).

3.Выполняются законы дистрибутивности, т.е. a,b,c R операция * связана с операцией + следующим образом

a*(b+c) = a*b+a*c и (b+c)*a = b*a+c*a. ♦

Для краткости кольцо (R,+,*) обозначают просто R. Умножение, определенное в кольце не обязано быть ни ассоциативным, ни коммутативным. Если умножение, определенное в кольце R ассоциативно, то R - ассоциативное кольцо. Если, дополнительно, умножение коммутативно, то R – коммутативное кольцо. Если же

х,у R справедливо ху =-ух, то R называется антикоммутативным кольцом.

Если в кольце R a R выполняется условие aа = 0 и a,b,c R справедливо равенство a(bc)+b(са)+c(ab)=0 (тождество Якоби), то кольцо называется кольцом Ли. Для х,у кольца Ли справедливо

(х+у)(х+у)=0 ху+ух=0, т.е. любое кольцо Ли антикоммутативно.

Определение.♦Ассоциативное кольцо R, удовлетворяющее со-

отношению aа=a (закон идемпотентности), называется кольцом Буля.♦

Покажем, что кольцо Буля коммутативно и удовлетворяет тождеству a+а=0. Действительно, тождество хх=х влечет тождество (х+у)(х+у)=х+у. Раскрывая скобки в левой части последнего тождества, получим х+у+ху+ух=х+у, откуда ху+ух=0.

Полагая х = у, имеем х+ х = 0, и используя равенство х = -х, получим также ху-ух = 0, т.е. ху = ух.

Пример 56.♦Все целые числа относительно операций сложения и умножения образуют коммутативное кольцо (Z ,+,*).

72

Все рациональные, действительные и комплексные числа относительно обычных операций сложения и умножения образуют коммутативные кольца – (Q ,+,*), (R ,+,*) и (C ,+,*) соответственно.

Все многочлены от одного переменного с произвольными числовыми коэффициентами относительно операций сложения и умножения многочленов образуют коммутативное кольцо.

Ассоциативное (но не коммутативное) кольцо образуют все квадратные матрицы порядка n с произвольными числовыми элементами ( с обычным сложением и умножением матриц).

Множество всех векторов трехмерного пространства, где векторы складываются обычным образом, а произведением двух векторов считается их векторное произведение, есть неассоциативное кольцо, являющееся примером кольца Ли. ♦

Определение.♦Абелева группа, получающаяся при рассмотрении в кольце R только одной операции сложения, называется ад-

дитивной группой кольца с единичным элементом группы - нулем кольца . а R произведение а* = .

Если для элементов a,b R кольца R справедливо, что ab= , но a≠ и b≠ , то a и b называют делителями нуля (a - левый дели тель, b - правый).

Если в кольце R делителей нуля нет, то R называется кольцом без делителей нуля. Коммутативное кольцо без делителей нуля на-

зывают областью целостности. ♦

Пример 57.♦Кольцо R, элементами которого являются числа, а операциями - сложение и умножение чисел, является областью целостности.

Все функции, определенные и непрерывные на отрезке [-1, 1], относительно обычных операций сложения и умножения функций образуют кольцо с делителями нуля. Например, произведение функций f1(х) и f2(х), ни одна из которых не равна нулю кольца, яв-

ляется нулем, где
f1(х) =	0	при -1≤ х ≤ 0,
	х	при 0	≤ х < 1.
f2(х) =	х	при -1≤ х ≤ 0,
	0	при 0	≤ х < 1. ♦

Если для элементов a,b1,b2 кольца выполнено равенство аb1=ab2 (или b1а=b2a), причем а≠ не является левым (соответственно

73

правым) делителем нуля, то b1=b2. Поэтому, равенства можно сокращать на отличные от нуля элементы не, являюшиеся делителями нуля. В то же время, производить сокращение на элемент, являющийся делителем нуля, нельзя.

Пример 58.♦ В кольце всех квадратных матриц второго порядка для матриц

А = 1 0	В1 = 1 2	В2 = 1 2
0 0 ,	3 6 ,	4 0 .

Справедливо равенство АВ1=АВ2 , хотя В1≠В2. Здесь А – левый делитель нуля, например

1 0 0 0 = 0 0

0 0 1 3 0 0 .♦

Определение.♦Элемент е кольца R называется единицей кольца, если а R ае=еа=е. Единицы в кольце может и не быть. R называют кольцом с единицей, если в кольце R единица есть.

В кольце с единицей е для элемента а≠ может существовать обратный ему элемент а-1 со свойством аа-1=а-1а=е (но такого элемента может и не быть). Элементы кольца с единицей, для которых в этом кольце обратный элемент существует, называются делите-

лями единицы.♦

Пример 59.♦Кольцо целых чисел (Z,+,*) есть кольцо с единицей. Все четные числа (Е,+,*) образуют кольцо без единицы.

В кольце всех квадратных матриц порядка n единицей является единичная матрица. Обратный элемент существует для всякой невырожденной матрицы. Для вырожденных матриц обратных им элементов не существует.♦

Введенные ранее понятия изоморфизма и гомоморфизма групп допускают обобщение на случай колец.

Определение.♦Отображение ϕ: R→Q кольца R в кольцо Q называется гомоморфизмом, если а1,а2 R справедливы следующие равенства:

ϕ(а1+а2) = ϕ(а1) + ϕ(а2), ϕ(а1а2) = ϕ(а1)ϕ(а2).

Множество Ker ϕ={а R:ϕ(а)= Q} называется ядром гомоморфизма. Если при этом на каждый элемент кольца Q отображается, по крайней мере, один элемент кольца R, то в этом случае го-

74