Мишулина Основы теории вероятностей 2011

тация и объясняет название функции fX (x1, x2 , ..., xn ) – плотность

распределения вероятностей.

Из выражения (3.26) следует приближенная формула:

n

(x

X

x

f

(x , x

, ..., x

) x x

... x

, (3.27)

P

i

x )

X

2

n

2

n

i

i

i

1

1

i 1

которая обобщает свойство (2.21) (см. § 14) скалярных случайных величин непрерывного типа.

Рассмотрим ряд дополнительных свойств плотности распреде-
ления вероятностей fX (x1, x2 , ..., xn ) .
1. Вероятность попадания случайного вектора X в произволь-
ную	квадрируемую	область	D,	для	которой

S D		... dx1 dx2	... dxn 0 , определяется выражением:
	( x1,x2 ,...,xn ) D
P(X D)		...	fX (x1, x2 , ..., xn ) dx1 dx2 ... dxn . (3.28)
		( x1 , x2 ,..., xn ) D
Выражение (3.28) выводится с использованием формулы (3.27).
2. Вероятность попадания случайного вектора X в прямоуголь-

ный параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат, определяется выражением:

n

(a

X

P

k

k

b )

k

k 1

(3.29)

b1 b2

bn

... fX (x1, x2 , ..., xn ) dx1 dx2 ... dxn .

a1 a2

an

Формула (3.29) является частным случаем (3.28).

3.

Плотность

распределения

вероятностей fX (x1, x2 , ..., xn )

удовлетворяет условию нормировки:

... fX (x1, x2 , ... ,

xn ) dx1 dx2 ... dxn 1.

(3.30)

Равенство (3.30) следует из условия нормировки для функции

FX (x1, x2 , ..., xn )

в форме (3.3) и определения (3.23).

4.

Одномерная

плотность

распределения

вероятностей

f X

m

(xm ) координаты Xm случайного вектора X может быть полу-

121

чена при известной функции fX (x1, x2 , ..., xn ) в соответствии с равенством:

						f X m (xm )
							(3.31)
	...				...	fX (x1, x2 , ..., xn ) dx1 ... dxm 1 dxm 1 ... dxn.
	Утверждение (3.31) следует из свойства (3.8) (см. § 20) функции
FX (x1, x2 , ..., xn )						и определения (3.23).
	В частности,					для n = 2 плотности распределения f X1 (x1) и
f X	2	(x2 )	координат X1 и X2				случайного вектора X = col(X1, X2) оп-
ределяются выражениями:
	f X1 (x1 ) f X (x1 , x2 ) dx2						; f X 2 (x2 ) f X (x1 , x2 ) dx1 . (3.32)

Равенство (3.31) обобщается на любой подвектор случайного вектора X.

5. Для любого подвектора X'= col(X1, X 2, …, X m), m < n, вектора X= col(X 1, X 2, …, X n) справедливо равенство:

fX (x1, x2 , ..., xm )		... fX (x1, x2 , ..., xn ) dxm 1 ... dxn .	(3.33)
Утверждение	(3.33)	соответствует свойству (3.9)	функции
FX (x1, x2 , ..., xn )	(см. § 20).

Равенства (3.31) и (3.33), как и соответствующие равенства (3.8) и (3.9) для функции FX (x1, x2 , ..., xn ) , называются условиями согласованности, записанными для функции плотности вероятности fX (x1, x2 , ..., xn ) . Равенство (3.33) является полным аналогом

равенства (3.17') для n-мерного распределения дискретного типа.

6. Если область Q распределения вероятностей случайного вектора X непрерывного типа не является квадрируемой (SQ = 0), то

P(X Q ) = 0.

Вчастности, для случайного вектора, распределенного в плос-

кости (X1, X2), вероятность его попадания на произвольную линию равна нулю.

122

Рассмотрим еще одно очевидное свойство функции плотности

fX (x1, x2 , ..., xn ) , вытекающее из ее интегрируемости (3.23).

7.Для любого 1 ≤ m ≤ n справедливо равенство:

lim fX (x1, x2 , ..., xn ) 0 .

x1, x2 ,..., xm

Пример 3.2. Рассмотрим двумерный случайный вектор X = col(X1, X2), плотность распределения вероятностей которого fX (x1, x2 ) постоянна в некоторой квадрируемой области Q:

f X (x1	c, если x Q ;
	, x2 )	иначе.	(3.34)
	0,

Распределение (3.34) называется равномерным в области Q. Для определения значения константы с применим условие нор-

мировки (3.30):

1 fX (x1, x2 ) dx1 dx2 c dx1 dx2 c SQ ,

x Q x Q

откуда следует, что c 1 SQ . Поскольку область Q является квад-

рируемой, площадь SQ ≠ 0.

Допустим, что область Q является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат: (–1 ≤ x1 ≤ 1), (–2 ≤ x2 ≤ 2). Тогда SQ = 8 и с = 1/8, так что плотность равномерного распределения описывается выражением:

		1 8, если x [ 1; 1] и x					2	[ 2; 2];	(3.35)
f X (x1 , x2 )					1
		0, иначе.
Выражения для плотностей распределения						f X1 (x1) и			f X 2 (x2 )
выводятся с использованием свойства (3.32):
f X		(x1 )	1	2 , если x1 [ 1; 1];					(3.36)
	1		0, иначе,
f X			1	4 , если x2 [ 2; 2];					(3.37)
		(x2 )
	2		0, иначе.
									123

Полученные выражения свидетельствуют о равномерном распределении координат X1 и X2 . Таким образом, если случайный вектор X = col(X1, X2) распределен равномерно в прямоугольнике со сторонами, параллельными осям координат, то и координаты случайного вектора распределены равномерно (см. формулу (2.17), § 14).

Найдем выражение для функции распределения вероятностей FX (x1, x2 ) , используя определение (3.23):

					FX (x1, x2 )
0, если x1 1, x2
				или x1 , x2 2;
1			8 (x1 1)(x2 2), если 1 x1				1, 2 x2		2;	(3.38)
1 2 (x1 1),				если 1 x1		1, x2	2;
1			4 (x 2), если x 1, 2 x					2;
			2		1	2
					2.
1, если x 1, x
			1	2
Определим			одномерные		функции распределения				FX1 (x1) и
FX 2 (x2 ) с использованием формул (3.8), (3.9):
			0, если x1 1;
FX				(x1 1), если 1 x1 1;
	1	(x1) 1 2								(3.39)
			1, если x
					1,
				1
			0,	если x2 2;
FX
	2	(x2 ) 1 4 (x2 2), если 2 x2 2;								(3.40)
			1, если x 2.
					2

Пример 3.3. Плотность распределения вероятностей двумерного случайного вектора X = col(X1, X2) задана выражением

c (x1 x2 ), если x1, x2	[0; 1];
fX (x1, x2 )		(3.41)
0, иначе,

где с – неизвестная константа. Таким образом, случайный вектор распределен в квадрате Q: x1, x2 [0; 1] . Требуется вычислить зна-

124

чение константы с и определить плотности распределений случайных величин X1 и X2.

Для вычисления значения константы с воспользуемся условием

1 1

нормировки (3.30): 1 c (x1 x2 ) dx1 dx2 c .

0 0

Расчет плотности распределений f X1 (x1) и f X 2 (x2 ) по формулам (3.32) с учетом с = 1 приводит к следующему результату:

		0,	если x1	0, x1 1;
f X	1	(x1)	1 2),	если 0 x1 1,		(3.42)
		(x1
		0,	если x2		0, x2 1;
f X	2	(x2 )				(3.43)
		(x2 1 2),			если 0 x2 1.

Пример 3.4. Для плотности распределения (3.41), рассмотренной в примере 3.3, рассчитаем вероятность попадания случайного вектора X = col(X1, X2) в квадрат Q ': x1, x2 [0; 0,5] .

Согласно формуле (3.29)

0,5	0,5
P((0 X1 0,5) (0 X 2 0,5))	(x1 x2 ) dx1 dx2	0,125.
0	0

Пример 3.5. Определим функцию распределения вероятностей FX (x1, x2 ) для случайного вектора, рассмотренного в примере 3.3.

На основании определения случайного вектора непрерывного типа (3.23)

					x1	x2
FX (x1, x2 )						fX (s1, s2 ) ds1 ds2
	0, если x1				0 или x2		0;
			(x1 x22 x2 x12 ), если x1 (0; 1], x2 (0;1]; (3.44)
	1	2
	1	2	(x x		2 ), если x (0; 1], x 1;
			1	1		1	2
	1	2	(x	x2 ),		если x	1, x (0; 1];
			2		2	1	2
	1,	если x			1,	x 1.
				1		2
							125

Рассчитаем	вероятность попадания		случайного вектора
X = col(X1, X2)	в квадрат Q ': ( x1, x2 [0; 0,5] ), используя свойство
(3.6) функции распределения вероятностей (3.39):
	P((0 X1 0,5)	(0 X 2	0,5))
FX (0,5; 0,5) FX (0,5;		0) FX (0; 0,5) FX (0; 0).

Вычисления приводят к результату, совпадающему с полученным ранее с помощью известной плотности распределения вероятно-

стей: P((0 X1 0,5) (0 X 2 0,5)) FX (0,5; 0,5) 0,125.

Применяя свойство (3.8) к выражению (3.44), получим одномерные функции распределения вероятностей FX1 (x1) и FX 2 (x2 ) :

FX1 (x1) FX (x1, ) FX (x1, 1)
	0, если x1					0;
	1 2 (x			x		2 ), если x (0; 1];					(3.45)
		1			1			1
	1, если			x		1,
				1
FX 2 (x2 ) FX ( ,								x2 ) FX (1, x2 )
	0, если x2						0;
	1 2 (x		2	x			2 ), если x		2	(0; 1];	(3.46)
						2
	1, если			x	2		1.

Полученные выражения соответствуют свойствам одномерных функций распределения вероятностей случайных величин: они являются неубывающими, непрерывными слева (в данном примере – непрерывными) функциями, принимающими значения на отрезке

[0; 1] (§ 12).

Контрольные вопросы и задачи

1.Укажите условия, при которых n-мерный случайный вектор относится к непрерывному типу.

2.Что послужило основанием для того, чтобы назвать функ-

цию fX (x1, x2 , ..., xn ) плотностью распределения вероятностей случайного вектора?

126

3.Как можно с использованием функции fX (x1, x2 , ..., xn )

приближенно оценить вероятность попадания случайного вектора в окрестность точки (x1, x2 , ..., xn ) ? Приведите обоснование к ответу.

4.Как определить плотность распределения fX (x1, x2 , ..., xn ) ,

если	известна	функция	распределения	вероятностей
FX (x1, x2 , ..., xn )		случайного вектора?

5. Как рассчитать вероятность попадания случайного вектора X = col(x1, x2, …, xn) в произвольную квадрируемую область D, если известна его плотность распределения вероятностей

fX (x1, x2 , ..., xn ) ?

6.Какой формулой определяется вероятность попадания слу-

чайного вектора X = col(x1, x2, …, xn) в n-мерный прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат?

7. Чему равна вероятность попадания двумерного случайного вектора непрерывного типа на произвольную линию в плоскости

(X1, X2)?

8.Напишите условие нормировки распределения вероятностей, которому удовлетворяет функция f X (x1, x2 , ..., xn ) .

9.В чем состоит условие согласованности распределений ве-

роятностей, выраженное через n-мерную функцию плотности

fX (x1, x2 , ..., xn ) ?

10.Напишите условия согласованности для частного случая

распределения двумерного случайного вектора непрерывного типа. 11. Чему равна функция fX (x1, x2 , ..., xn ) , если хотя бы один

из ее аргументов стремится к –∞? Приведите доказательство.

12.Какое распределение n-мерного случайного вектора непрерывного типа называется равномерным?

13.Двумерный случайный вектор непрерывного типа распределен равномерно в прямоугольнике со сторонами, параллельными осям координат. Каким является закон распределения вероятностей его координат?

14.Случайный вектор X = col(X1, X2) принимает значения в квад-

рате Q: ( x1, x2 [0; 2] ) и имеет следующую плотность распределения вероятностей:

127

(x1) :

	2	[0; 2];
c ( x1 x2 x2 ), если x1, x2
fX (x1, x2 )	иначе,
0,

где с – неизвестная константа. Определите значение константы с и рассчитайте значения вероятностей следующих событий:

A ((0 X1 1) (0 X 2 1)); B (0 X1 1); C (0 X 2 1).

Напишите выражения для FX (x1, x2 ) , FX1 (x1) , FX 2 (x2 ) , f X1 (x1) и

fX 2 (x2 ) .

§23. Условные распределения вероятностей. Независимость случайных величин

Рассмотрим случайную величину X1, для которой известна функция распределения вероятностей FX1 (x1) . Допустим, что не-

которое событие А содержательно связано со случайной величиной X1, так что появление или непоявление события А влияет на распределение вероятностей случайной величины X1. В этом случае вводят условное распределение вероятностей случайной величины

X1 относительно события А (в предположении, что событие А имело место), которое обозначают FX1 | A

FX1 | A (x1) P(X1 x1 | A) .

Распределение FX1 (x1) , не связанное ни с какими условиями, уме-

стно назвать безусловным. Например, на коэффициент упругости стали (случайная величина X1) влияет время ее выдержки при отжиге в технологическом процессе (случайная величина X2). В связи с этим известное значение X2 = x2 (событие А) предоставляет дополнительную информацию для коррекции распределения вероятностей случайной величины X1 . Можно предположить, что в этом примере безусловное распределение FX1 (x1) не совпадает с услов-

ным распределением относительно события X2 = x2:

FX1 (x1) ≠ FX1 | X 2 (x1 | X 2 x2 ) .

128

Заметим, что аргументом условной функции распределения вероятностей FX1 | X 2 (x1 | X 2 x2 ) является x1, в то время как x2 – па-

раметр распределения. В теории вероятностей принята краткая нотация для условной функции распределения: FX1 | X 2 (x1 | x2 ) .

Пусть известно совместное распределение вероятностей FX (x1, x2 ) случайных величин X1 и X2 непрерывного типа. Опреде-

лим условную функцию распределения FX1 | X 2 (x1 | x2 )	следующим
предельным выражением:
FX1 | X 2 (x1 | x2 ) lim P( X1 x1 | x2 X 2 x2 x2 ) .	(3.47)
x2 0

Применим для преобразования правой части выражения (3.47) известные свойства условных вероятностей событий и совместной плотности распределения fX (x1, x2 ) :

FX1 | X 2 (x1 | x2 ) lim

P ((X1 x1) (x2 X 2 x2 x2 ))

P (x2

X 2 x2 x2 )

x2

0

x1

x2 x2

ds1

f X1, X 2 (s1, s2 ) ds2

lim

x2

(3.48)

x2 x2

x2 0

ds1

f X1, X 2 (s1, s2 ) ds2

x2

x1

x1

f X1, X 2 (s1, x2 ) x2 ds1

f X1, X 2 (s1, x2 ) ds1

lim

.

(x )

x2 0

f

X 2

f X1, X 2 (s1, x2 )

x2 ds1

2

Условная плотность распределения

f X1 | X 2 (x1 | x2 )

по аналогии

с (2.16) и (3.24) связана с функцией

FX | X

2

(x1 | x2 )

равенством:

1

f X1 | X 2 (x1 | x2 )

FX1 | X 2 (x1 | x2

)

.

x1

После дифференцирования выражения (3.48) получим следующий результат:

129

x1

f X1, X 2 (s1, x2 ) ds1

f X

, X

(x1, x2 )

f X1 | X 2

(x1

| x2 ) =

1

2

.

x1

f X 2 (x2 )

f X 2 (x2 )

Таким образом, получено следующее выражение:

f X1, X 2 (x1, x2 ) f X1| X 2 (x1 | x2 ) f X 2 (x2 ) .

(3.49)

Справедливо также и выражение:

f X1 , X 2 (x1, x2 ) f X 2 | X1 (x2 | x1 ) f X1 (x1) .

(3.50)

Можно обобщить равенства (3.49), (3.50) на случай n-мерного случайного вектора X = col(X1, X2, …, Xn), который представлен своими подвекторами X' и X":

X' = col(X1, X2, …, Xm), X" = col(Xm+1, Xm+2, …, Xn),

X = col(X'Т, X"Т).

Для этого случая справедливо равенство:

fX1, X 2 ,..., X n (x1, x2 , ..., xn )

f X1, X 2 ,..., X m | X m 1, X m 2 ,..., X n (x1, x2 , ..., xm | xm 1, xm 2 , ..., xn )

f X m 1 , X m 2 ,...,X n (xm 1, xm 2 , ..., xn ).

(3.51)

Случайные величины X1, X2, …, Xn называются независимыми,

если для	любых областей D1, D2, …, Dn числовой оси	события
(X1 D1),	(X2 D2), …, (Xn Dn) являются независимыми в сово-
купности, т.е. выполняется равенство (см. (1.42), § 8):
	P((X1 D1) (X2 D2) … (Xn Dn)) =
	= P(X1 D1) P(X2 D2) … P(Xn Dn).	(3.52)

В частности, если области Dk , k = 1, 2, …, n, таковы, что событие Xk Dk состоит в выполнении условия Xk < xk , то для незави-

симых событий выполняется равенство:
P((X1 < x1) (X2 < x2) … (Xn < xn)) =
= P(X1< x1) P(X2 < x2) … P(Xn < xn).	(3.53)

Равенство (3.53) означает следующее свойство функции распределения вероятностей FX (x1, x2 , ..., xn ) для независимых случай-

ных величин X1, X2, …, Xn:

FX (x1, x2 , ..., xn ) = FX1 (x1) FX 2 (x2 ) ... FX n (xn ) . (3.54)

130