Мишулина Основы теории вероятностей 2011

Отсюда следует аналогичное свойство плотности распределения вероятностей для независимых случайных величин:

fX (x1, x2 , ..., xn ) = f X1 (x1) f X 2 (x2 ) ... f X n (xn ) . (3.55)

Выполнение равенств (3.54), (3.55) для любых значений x1, x2 , ..., xn является необходимым и достаточным условием неза-

висимости случайных величин X1, X2, …, Xn .

Рассмотрим равенство (3.55) для двух независимых случайных

величин (n = 2):
fX (x1, x2 ) =	f X1 (x1) f X 2 (x2 ) .	(3.56)
С другой стороны, плотность	распределения fX (x1, x2 )	может

быть представлена выражениями (3.49), (3.50). Сравнение выражения (3.56) с общим представлением плотности распределения (3.49), (3.50) приводит к выводу, что в случае независимости случайных величин X1 и X2 справедливы следующие равенства:

	f X1 | X 2 (x1 | x2	) f X1	(x1),	(3.57)
	f X 2 | X1 (x2 | x1 ) f X 2 (x2 ).

Таким образом, для независимых случайных величин X1 и X2 их условные и безусловные распределения совпадают. Аналогичным свойством обладают распределения координат случайного вектора при n > 2.

Пример 3.6. Случайные величины X1 и X2 непрерывного типа распределены равномерно в прямоугольнике со сторонами, параллельными осям координат. В примере 3.2 приведены выражения для совместной плотности распределения f X (x1, x2 ) (3.35) и од-

номерных плотностей f X1 (x1) (3.36) и f X 2 (x2 ) (3.37). Анализ этих

выражений показывает, что для любых аргументов x1, x2 выполне-

но равенство (3.56). Следовательно, случайные величины X1 и X2 являются независимыми.

Заметим, что согласно условию независимости случайных вели-

чин в форме (3.54) должно также выполняться равенство:
FX (x1, x2 ) = FX1 (x1) FX 2 (x2 ) .	(3.58)

Приведенные в примере 3.2 выражения для совместной и одномерных функций распределения вероятностей (3.38) – (3.40) удовлетворяют равенству (3.58).

131

Пример 3.7. Случайные величины X1 и X2 непрерывного типа распределены по следующему закону:

				0,	если min (x1, x2 ) 0;
FX						0 min (x1, x2 ) 1;
	1	, X	2	(x1, x2 ) min (x1, x2 ), если			(3.59)
				1,
					если min (x , x ) 1.
					1	2

Требуется установить, являются ли случайные величины X1 и X2 независимыми. С этой целью определим одномерные распределения FX1 (x1) , FX 2 (x2 ) и проверим выполнение равенства (3.58).

Выражения для FX1 (x1) , FX 2 (x2 ) находятся из (3.59) с использованием условий согласованности (3.8):

							0,	если	x1 0;
FX		(x1) FX							0 x1 1;
	1		, X		2		(x1, ) x1, если			(3.60)
		1					1,
								если x 1,
									1
							0,	если	x2 0;
FX		(x2 ) FX
	2			, X		2	( , x2 ) x2 , если 0 x2 1;			(3.61)
		1					1,
								если x 1.
									2

Полученные выражения свидетельствуют о равномерном распределении каждой из случайных величин X1 и X2 в интервале

[0; 1].

Несложно проверить, что распределения (3.59) – (3.61) не удовлетворяют условию (3.58) независимости случайных величин. Следовательно, случайные величины X1 и X2 зависимы. В данном примере между случайными величинами имеется функциональная связь: X1 = X2 .

Пример 3.8. Рассмотрим плотность распределения вероятностей двумерного случайного вектора X (3.41) (пример 3.3) и соответствующие одномерные плотности распределения (3.42), (3.43) его координат X1 и X2. В связи с тем, что равенство (3.56) в этом примере не выполнено, случайные величины X1 и X2 являются зависимыми.

132

Условные распределения, введенные для случайных величин непрерывного типа, могут быть определены и для случайных величин дискретного типа.

Рассмотрим случай двумерного случайного вектора с распределением pX1, X 2 (i1, i2 ) , ik = 1, 2, …, Nk , k = 1, 2. Определим условное распределение случайной величины X1 относительно X2:

pX	1	| X	2	(i1 | i2 ) P(X1	x1, i		| X 2 x2, i			2	) .	(3.62)
						1
Аргументом условного распределения							pX | X	2	(i1 | i2 )			является ин-
							1
декс i1 , а индекс i2				является параметром. В связи с этим условие
нормировки для распределения					pX | X	2	(i1 | i2 )		записывается в сле-
					1

дующей форме:

N1

pX1 | X 2 (i1 | i2 ) 1.

i1 1

Аналогично определяется условное распределение величины X2 относительно X1 :

pX 2 | X1 (i2 | i1) P(X 2 x2, i2 | X1 x1, i1 ) .

В соответствии с формулой умножения вероятностей

pX1, X 2 (i1, i2 ) pX1 (i1) pX 2 | X1 (i2 | i1)

p X 2 (i2 ) pX1| X 2 (i1 | i2 ).

(3.63)

случайной

(3.64)

В	общем	случае	n-мерного	случайного	вектора
X = col(X1, X2, …, Xn) дискретного типа				условное распределение

подвектора X' = col(X1, X2, …, Xm) (m < n) относительно подвектора X" = col(Xm+1, Xm+2, …, Xn) определяется следующим выражением:

pX'| X" (i1, i2 , ..., im | im 1, im 2 , ..., in )

	m			x		n			x		(3.65)
P		( X	k		) |		( X	l		) .
				k , ik					l, il
k 1						l m 1

Безусловное распределение вектора X выражается через условное распределение вектора X'| X" следующим образом:

pX (i1, i2 , ..., in )

pX" (im 1, im 2 , ..., in ) pX'| X"(i1, i2 , ..., im | im 1, im 2 , ..., in )

pX' (i1, i2 , ..., im ) pX"| X' (im 1, im 2 , ..., in | i1, i2 , ..., im ).

133

Случайные величины X1, мы, если для любых ik = 1, 2, венство:

X2, …, Xn дискретного типа независи- …, Nk , k = 1, 2, …, n, справедливо ра-

n
pX (i1, i2 , ..., in ) pX	k	(ik ) .	(3.66)
k 1

Для независимых случайных величин X1, X2, …, Xn дискретного

типа безусловное распределение pX' (i1, i2 , ..., im ) совпадает с ус-
ловным распределением pX'| X"(i1, i2 , ..., im | im 1, im 2 , ..., in )	при
любом m < n:
pX' (i1, i2 , ..., im ) = pX'| X"(i1, i2 , ..., im | im 1, im 2 , ..., in ) .	(3.67)

В частности, при n = 2 для независимых случайных величин X1, X2 справедливы равенства:

	pX1 (i1) pX1 | X 2	(i1	| i2 ),	(3.68)
	p X 2 (i2 ) pX 2 | X1 (i2 | i1).

Пример 3.9. Распределение вероятностей двумерного случайного вектора дискретного типа задано табл. 3.6.

Таблица 3.6

Распределение вероятностей двумерного случайного вектора

	X1		X2
		x21 = 0	x22 = 1	x23 = 2
	x11 = 0	p11 = 0,0	p12 = 0,03	p13 = 0,05
	x12 = 1	p21 = 0,18	p22 = 0,14	p23 = 0,08
	x13 = 2	p31 = 0,20	p32 = 0,17	p33 = 0,15

Требуется					рассчитать условные распределения	pX | X		2	(i1 | i2 ) ,
						1
pX	2	| X	1	(i2 | i1)	и проверить, являются ли случайные		величины

X1 и X2 независимыми.

Для расчета условных распределений с использованием равенств (3.64) необходимо рассчитать безусловные распределения

134

pX1 (i1) и p X 2 (i2 ) . Они рассчитываются в соответствии с теорией,

изложенной в § 21. Результаты расчета приведены во второй и третьей строках табл. 3.7. В первой строке указаны значения случайных величин X1 и X2 , которые принадлежат одному и тому же множеству {0, 1, 2}. В строках 4 – 7 указаны условные распределе-

ния pX1 | X 2 (i1 | X 2 k), k = 0, 1, 2, и pX 2 | X1 (i2 | X1 0) , рассчитанные в соответствии с равенствами (3.64). Из табл. 3.7 следует, что

pX1 (i1) ≠ pX1 | X 2 (i1 | X 2 0) , p X 2 (i2 ) ≠ pX 2 | X1 (i2 | X1 0) .

Следовательно, случайные величины X1 и X2 являются зависимыми.

Таблица 3.7

Безусловные и условные распределения вероятностей случайных величин X1 и X2

1		x1i , x2i	0	1	2
2		pX1 (i1)	0,08	0,40	0,52
3		p X 2 (i2 )	0,38	0,34	0,28
4	pX1 | X 2 (i1 | X 2 0)		0,0	0,474	0,526
5	pX1	| X 2 (i1 | X 2 1)	0,088	0,412	0,500
6	pX1 | X 2 (i1 | X 2 2)		0,178	0,286	0,536
7	pX 2	| X1 (i2 | X1 0)	0,0	0,375	0,625

Контрольные вопросы и задачи

1.Что называется условным распределением вероятностей случайной величины X относительно события А?

2.Дайте определение условной функции распределения вероятностей случайной величины X1 относительно X2 .

135

3.Запишите свойство нормировки для условной функции распределения вероятностей случайной величины X1 относительно X2 .

4.Каким равенством связаны условные функция и плотность

распределения вероятностей случайной величины X1 относительно X2 , если рассматриваемые случайные величины относятся к непрерывному типу?

5.Как выразить плотность распределения вероятностей дву-

мерного случайного вектора X = col(X1, X2) непрерывного типа через условную и безусловную плотности распределения его координат?

6.Ответьте на вопрос 5, если случайный вектор непрерывного типа имеет размерность n > 2?

7. Дайте	определение независимости случайных величин
X1, X2, …, Xn .

8.Каким свойством характеризуются функция и плотность распределения вероятностей n-мерного случайного вектора X, если его координаты являются независимыми случайными величинами непрерывного типа?

9.Выполнение какого условия может послужить критерием при проверке независимости двух случайных величин?

10.Случайные величины X1 и X2 независимы и характеризуются следующими плотностями распределения вероятностей:

			1/ 2, если x1 [ 1; 1];
f X		1	(x1)
			0, если x1 [ 1; 1],
			exp( x2 ), если x2 0;
f X			(x2 )
	2		0, если x2 0.

Напишите выражение для функции распределения FX (x1, x2 ) .

11.Дайте определение условного распределения вероятностей

случайной величины X1 относительно X2 , если рассматриваемые случайные величины относятся к дискретному типу.

12.Запишите свойство нормировки для условного дискретного распределения вероятностей.

13.Каким свойством характеризуется распределение вероятностей n-мерного случайного вектора X дискретного типа, если его координаты являются независимыми случайными величинами?

136

14. Для распределения вероятностей, приведенного в табл. 3.6

(пример 3.9), рассчитайте pX

2

| X (i2 | X1

1) ,

pX

2

| X

1

(i2

| X1 2) и

1

убедитесь, что случайные величины X1 и X2

являются зависимыми.

§ 24. Числовые характеристики случайного вектора

Понятие

математического

ожидания

произвольной

функции

ξ(X) случайной величины X, определенное в § 16 для скалярного

аргумента

X, может

быть

обобщено

на

случай

функции

ξ(X1, X2, …, Xn) нескольких случайных аргументов.

Математическим

ожиданием

произвольной

функции

ξ(X1, X2, …, Xn) случайных аргументов X1, X2, …, Xn

непрерывного

типа называется

M[ ( X1, X 2 , ..., X n )]

(3.69)

... (x1, x2 , ..., xn ) fX (x1, x2 , ..., xn ) dx1 dx2 ... dxn .

-

Для дискретных распределений случайных величин X1, X2, …, Xn математическое ожидание функции ξ(X1, X2, …, Xn) определяется следующим выражением:

M[ ( X1 , X 2 , ..., X n )]

N1 N2	Nn		, x2, i , ..., xn, i ) . (3.70)
... pX (i1 , i2		, ..., in ) (x1,i
i1 1i2 1	in 1	1	2	n
Математическое	ожидание	M[ (X1, X2 , ..., Xn )]		существует,

если интеграл (или ряд) в формулах (3.69), (3.70) абсолютно сходится. Таким образом, математическое ожидание функции n случайных аргументов, как и в случае скалярного аргумента, является средним всех ее возможных значений, взвешенных соответствующими вероятностями.

Смешанным	начальным	моментом	(X)	,...,r порядка
			r ,r
			1 2	n

( r1 r2 ... rn ) для случайного вектора X = col(X1, X2, …, Xn) , где r1, r2 , ..., rn – натуральные числа, называется

(X)	= M[X r1	X r2	... X rn ] .	(3.71)
r1 ,r2 ,...,rn	1	2	n
				137

Для непрерывно распределенного случайного вектора X

(X)

,...,r =

r ,r

1 2

n

=

... x1r1 x2r2 ... xnrn fX (x1, x2 , ..., xn ) dx1 dx2 ... dxn

,

(3.72)

-

а в случае дискретного распределения

(X)

N1

N2

Nn

r

r

r

= ...

r1 ,r2 ,...,rn

pX (i1, i2 , ..., in ) x1,1i

x2,2i2 ... xnn, i

. (3.73)

i1 1 i2 1

in 1

1

n

Если

в

выражениях (3.72),

(3.73)

для

(X)

положить

r ,r ,...,r

1 2

n

rm 0, m 1, n,

k m, то получим начальный момент порядка rk

случайной величины Xk :

(X)

r

( X

)

0,...0,r ,0,...,0 = M[ X kk ] = r

k

=

k

k

xkrk f X k (xk ) dxk для непрерывного распределения;

= -

(3.74)

N k

(ik )

r

для дискретного распределения.

pX

k

x k

1

k , ik

ik

При выводе формулы (3.74) применены свойства плотности распределения fX (x1, x2 , ..., xn ) (3.31) случайного вектора непрерыв-

ного типа и свойство (3.17) распределения pX (i1, i2 , ..., in ) дискретного случайного вектора.

Полагая в (3.74) rk = 1, k 1, n, получим выражение для математического ожидания координаты Xk случайного вектора X:

(X)	= M[ X rk ] = ( X k ) = m		X k	.
0,...0,1,0,...,0	k	1

Математическим ожиданием случайного вектора называется

вектор
M[X] = mX= col( mX	, mX	2	, ..., mX	n	).	(3.75)
1

Центрированным случайным вектором X называется отклоне-

ние вектора X от своего математического ожидания:

138

	mX		), (X2 mX			), ..., (Xn mX
X = X – M[X] = col( (X1		1			2		n	) ). (3.76)
Смешанным центральным						(X)		порядка
				моментом r ,r ,...,r
						1 2	n

( r1 r2 ... rn ) для случайного вектора X = col(X1, X2, …, Xn) называется

(X)

,...,r

= M[( X

1

m

X1

)r1 (X

2

m

X

2

)r2 ... ( X

n

m

X n

)rn ].

(3.77)

r ,r

1 2

n

Смешанный центральный момент второго порядка

klm M[(Xl mX

l

)(X m mX

m

)]

(3.78)

называется

ковариационным

моментом

случайных

величин

Xl и Xm , где l, m 1, n , l ≠ m.

Согласно определению (3.78) и формулам (3.69) и (3.70) расчета математического ожидания для непрерывных и дискретных распределений ковариационный момент klm определяется следующими выражениями:

klm =

				(xl mX l
-			-
= N		l		N	m
	p X					, X	m
i 1 i					l
					1
l				m

) (xm mX m ) f X l , X m (xl , xm ) dxl dxm

для непрерывного распределения; (3.79)

(il , im ) (xl,il mX l ) (xm,im mX m )

для дискретного распределения.

Согласно определению (3.78) при l = m ковариационный момент kmm равен дисперсии случайной величины Xm:

k

mm

M[ ( X

m

m

X

m

)

2] d

X

m

.

(3.80)

Ковариационные моменты klm ,

l, m 1, n , образуют ковариаци-

онную матрицу K:

K = (klm ; l, m 1, n) .

(3.81)

139

Согласно определению (3.78) klm = kml , поэтому ковариацион-

ная матрица является симметричной: K = KТ. Здесь верхний индекс «Т» означает транспонирование матрицы.

Определение ковариационной матрицы можно записать с использованием выражения (3.75) в следующей краткой форме:

K = M[ (X m	X	) (X m	X	)T ].	(3.82)

Заметим, что ковариационный момент klm измеряется в единицах, определяемых произведением единиц измерения случайных величин Xl и Xm . Более удобным в использовании является норми-

рованный ковариационный момент, или коэффициент корреляции

rlm :

rlm

klm

klm

klm

,

(3.83)

X l X m

kll kmm

d X l d X m

где

X

l

, X

m

– стандартные отклонения случайных величин Xl и

Xm . Покажем, что коэффициент корреляции rlm

случайных величин

Xl и Xm

совпадает с ковариационным моментом нормированных

~

( Xl

mXl ) Xl

~

( X m mXm )

Xm ,

случайных величин

Xl

,

X m

~

который обозначим klm :

~

( Xl

mX

l

) ( X m mX

m

)

klm M

X

X

l

m

(3.84)

1

M[(Xl mX l ) ( X m mX m )]

klm

rlm .

X

l

X

m

X

X

l

m

Коэффициент корреляции rlm

является безразмерной величи-

ной.

Симметричная матрица, образованная коэффициентами корре-

ляции rlm , где l, m 1, n , называется корреляционной матрицей R:

R = (rlm ; l, m 1, n) .

Как следует из определения (3.83), корреляционная матрица симметрична: R = RТ, а ее диагональные элементы равны единице.

140