Оганесян Введение в физику тяжелых ионов 2008

единицу поверхности) — I0 , а также числу провзаимодействующих ядер мишени d:

σ =	N	.	(2.7)
	I0d

Единицей сечения в ядерной физике является барн (обозначается символом b: 1 барн = 10−28 м2 = 100 фм2). В эксперименте обычно измеряется число частиц, испускаемых в единицу времени в часть полного телесного угла dΩ , определяемой полярными углами (θ, φ) по отношению к падающему пучку. Оно пропорционально величине dσdΩ , называемой дифференциальным сечением реак-

ции.

Полное сечение реакции определяется из дифференциального интегрированием во всем диапазоне углов от 0 до 4π:

σ = ∫(dσ dΩ)dΩ ,

(2.8)

Если учесть, что dΩ = sin θdθ, то
σ = ∫π sin θdθ2∫π dϕ(dσ dΩ).		(2.9)
0	0

Качественная картина взаимодействия тяжелых ионов с ядрами, показана на рис. 2.1 и 2.2. На рис. 2.3 представлена угловая зависимость сечения упругого рассеяния.

Рис. 2.3. Отношение сечений упругого рассеяния к резерфордовскому в зависимости от угла рассеяния

41

Полное сечение близко к сечению резерфордовского рассеяния при траекториях, соответствующих прохождению ядра вне области ядерного взаимодействия. Предельный угол рассеяния, определяемый касательной траекторией, соответствует “grasing” углу. В соответствии с дифракционной теорией он определяется как угол, соответствующий 1/4 от сечения упругого рассеяния.

Таким образом, определили “grasing impact parameter” как некий критический прицельный параметр, при котором начинается ядерное взаимодействие и падает сечение упругого рассеяния с уменьшением b. Тогда полное сечение реакции можно записать как

σR = πbgr2 = πR2 1−V (R) Ecm .

(2.10)

Здесь Ecm — энергия иона в системе центра масс, V (R) — энерге-

тический потенциал при определенном радиусе взаимодействия, который определяет так называемый барьер взаимодействия. Это выражение может быть получено с учетом сохранения углового момента и энергии при движении частицы по касательной траектории. Выражение для сечения реакции хорошо согласуется с экспериментальными результатами (см. рис. 2.4). Оно позволяет определить из сравнения с экспериментальными данными барьер и радиус взаимодействия. Когда ядерное взаимодействие между двумя яд-

рами мало, барьер V (R) определяется только кулоновскими силами:

V (R) ≈Vкул (R) = Z1Z2e2 R .

(2.11)

Рис. 2.4. Зависимость сечения образования составного ядра от величины, обратной энергии бомбардирующего иона в системе центра масс

42

Значение радиуса взаимодействия R как функции A11 3 + A21 3 по-

казано на рис. 2.5, где для сравнения представлены значения R, определенные из опытов по упругому рассеянию. Радиус взаимодей-

ствия	оказывается	значительно	большим	расстояния
R0 ≈1.2	(A11 3 + A21 3 )(фм)	для двух соприкасающихся сферических

ядер в жидкокапельной модели. В этом случае только хвосты распределения нуклонов, которые составляют обычно 1/10 от центральной плотности ядер, накладываются на радиус взаимодействия.

Рис. 2.5. Зависимость радиуса взаимодействия двух ядер, полученного из полного сечения реакции от A11 3 + A21 3

Экспериментальное значение R может быть фитировано выражением

R = 1,36(A11 3 + A21 3 )+ 0,5 фм

(2.12)

для столкновения легких ядер и

R = 1,36(A11 3 + A21 3 )+ 2,4 фм

(2.13)

для тяжелых ядер. Значения радиусов взаимодействия R и барьеров взаимодействия, определенные из (2.9)–(2.11) представлены на рис. 2.5–2.6.

43

Рис. 2.6. Барьер взаимодействия V (R) в МэВ (верхняя часть квадрата) и радиус взаимодействия R в фм (нижняя часть квадрата) для реакций между двумя ядрами с массовыми числами A1 и A2 и зарядами Zi = 0.5Ai (1−0.006Ai23 )

Как уже обсуждалось выше, при фиксированном значении энергии бомбардирующей частицы Ecm может одновременно протекать три типа реакции, соответствующих разному значению прицельного параметра b: дальние столкновения ( b > bgr ), касательные

( b ≈ bgr ) и лобовые (или близкие) ( b < bgr ). Это может быть нагляд-

но изображено в виде диаграммы зависимости b2 от Еcm, представленной на рис. 2.7, где показаны все три типа взаимодействий. Согласно выражению (2.10) полное сечение реакции пропорционально bgr2 . В таком представлении сегмент, соответствующий каса-

тельным столкновениям, отражает поведение полного сечении ре-

акции как функции от Еcm. Подобная зависимость полного сечения σR для реакции 40Ar+109Ag показана на рис. 2.8.

44

Рис. 2.7. Классификация ядерных реакций в зависимости от прицельного параметра b и энергии бомбардирующей частицы в системе ц. м. Ограничение образования составного ядра объясняется критическим значением углового момента lкр

Рис. 2.8. Зависимость от энергии иона полного сечения реакции σполн. и сечения образования составного ядра σс.я. вреакции 109Аg + 40Аr

Для малых энергий бомбардирующей частицы сечение реакции с образованием компаунд ядра σCN близко к полному сечению реакции. Разница между σR −σCN объясняется вкладом в полное сече-

ние прямых реакций. При больших энергиях Elab > 250 МэВ эта разница увеличивается, что объясняется значительной ролью прямых реакций при таких энергиях. B этой области энергий диссипативные процессы вносят преобладающий вклад в полное сечение

45

реакции. При таких взаимодействиях ограничение по σCN может быть определено критическим значением lcrit углового момента. Поскольку l ~ bECN1 2 ~ Elab1 2 , то фиксированному значению критического

углового момента lcrit в плоскости b1 = f (Elab ) или b2 = f (Ecm ) соответствует гипербола. Для столкновения очень тяжелых ядер сечение реакции образования компаунд ядер чрезвычайно мало. В этом случае полное сечение реакции практически соответствует сечению σdis диссипативных процессов. Соотношение сечений реакций в зависимости от прицельного параметра b принято также представлять для разных значений углового момента, полагая, что l = kb :

	dσ dl = k −1 dσ db = 2πk −2l ,	(2.14)
где k	— некое асимптотическое волновое число. Зависимость
dσ dl	как функции l показана на рис. 2.9. Область, ограниченная

сплошной линией и пунктирной, при lgr соответствует сечению реакции. Значениям l > lgr соответствует область реакции упругого

рассеяния и кулоновского возбуждения. Области l < lgr соответст-

вуют сечения реакции образования компаунд ядра (σCN), диссипативные взаимодействия (σdis) и прямые реакции (σD). Области, соответствующие этим реакциям, перекрываются таким образом, что вблизи lcrit и lmax, могут проходить одновременно два разных процесса.

Рис. 2.9. Схематическое представление полного сечения реакции, включающего в себя сечения образования составного ядра σCN, диссипативных процессов σdis и прямых реакций σD в зависимости от углового момента l,(σEL и σCE — сечение упругого рассеяния и кулоновского возбуждения)

46

Такие классические представления основных характеристик ядерных реакций с тяжелыми ионами являются довольно упрощенными, т. к. не учитывают всех особенностей взаимодействия двух сложных ядер. Между тем, для качественного представления реакций с тяжелыми ионами, а также некоторых количественных оценок их характеристик эти представления оказываются чрезвычайно удобными и широко используются.

47

3. КУЛОНОВСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ ЯДЕРНЫХ УРОВНЕЙ ТЯЖЕЛЫМИ ИОНАМИ

3.1. Классическое рассмотрение

Кулоновское возбуждение ядерных уровней относится к тому типу ядерных реакций, которые обусловлены дальними столкновениями и в которых проявляются только электромагнитные взаимодействия тяжелого иона с ядром. Такие взаимодействия происходят

либо при больших параметрах столкновений (b > R), либо при кинетической энергии иона, меньшей высоты кулоновского барьера ядра (E <Vk ), где

V =	Z Z		e2
	1	2		.	(3.1)
k	R1	+ R2

В последнем случае даже при малом параметре столкновения наименьшее расстояние между центрами ядра и иона будет превы-

шать сумму их радиусов (a > R1 + R2 ). Расстояние наибольшего сближения определяется соотношением между кинетической энергией иона и высотой кулоновского барьера a = (R1 + R2 )EVk .

Как уже отмечалось выше, малая длина волны иона λ << a позволяет считать, что движение иона в кулоновском поле ядра подчиняется законам классической механики. В этих условиях движение налетающей частицы в кулоновском поле ядра можно охарактеризовать безразмерной величиной ξ, которая определяется соотношением

ξ =	a E	=	Z Z	e2	E	,	(3.2)
	hv		1 2
			hv2E

где v — скорость налетающей частицы.

Параметр ξ определяет эффективную величину взаимодействия налетающей частицы с ядром. Для частиц, вызывающих возбуждение ядерных уровней, необходимо, чтобы ξ <<1. Это означает, что

столкновение можно описывать, приближенно считая, что частица движется по классической траектории. При этом потери энергии частицы при неупругих столкновениях должны быть малы по срав-

48

нению с их начальной энергией и поэтому влиянием возбуждения на движение частицы можно пренебречь.

При таком рассмотрении возбуждение ядра является результатом действия на него зависящего от времени электромагнитного поля налетающей частицы. В большинстве случаев действие этого поля мало и может быть рассмотрено в первом приближении квантовомеханической теории возмущений. Это означает, что вероятность возбуждения может быть выражена через те же самые ядерные матричные элементы, которые определяют радиационные переходы между различными состояниями ядра. В этом особенность и привлекательность использования кулоновского возбуждения в изучении ядер, т. к. получение новых данных из различных экспериментов не требует привлечения каких-либо новых модельных представлений о ядерной структуре по сравнению с тем, что уже использовалось при описании ядерных уровней. Доказательством этого служат практически одинаковые значения матричных элементов переходов, полученные и из сечений кулоновского возбуждения, и из времен жизни ядерных уровней.

При таком классическом описании траектории движения налетающего иона в кулоновском поле ядра угол отклонения иона:

tan θ 2 =	Z Z	e2	=	V (R + R )		(3.3)
	1 2			k	1 2
	mv2b				2Eb
и сечение рассеяния на этот угол:
dσR = α2 sin−4 (θ 2)dΩ						(3.4)

Сечение кулоновского возбуждения выражается через сечение

рассеяния:
dσk = PdσR ,	(3.5)

где Р — вероятность возбуждения ядерного уровня с энергией E и спином I j из основного состояния ядра со спином Ii . Эта веро-

ятность возбуждения может быть выражена через амплитуду перехода ядра из начального состояния в конечное bij :

	P =	1	∑		bij		2 ,	(3.6)
		2Ii +1 MiM j

где Mi , M j — магнитные квантовые числа начального и конечного состояний. Если вероятность столкновения при отдельном

49

столкновении мала (P <<1) , то в первом порядке теории возмущений:

∞
bij = i1= −∞∫ f H (t) i eiωt dt ,	(3.7)

где H (t ) — энергия взаимодействия, ω — частота, связанная с

энергией возбужденного уровня			E :		− Ei
ω =	E	=		Ej		.	(3.8)
	=				=

Если основным взаимодействием является кулоновское, и его потенциал можно разложить по мультипольным моментам ядра

m(Eλ), то сечение возбуждения, связанное с каждым из этих моментов, при рассеянии частицы на угол θ имеет вид:

dσEλ =		Z1e a−2λ+2 B(Eλ, Ii → I j )dfEλ (θξ) ,	(3.9)
		=v

где B(Eλ, Ii → I j ) — приведенная вероятность радиационного перехода из основного состояния в возбужденное:

	B(Eλ, Ii → I j )=	1		Ii m(Eλ) I j	2 ,	(3.10)
		2Ii +1

fEλ (θξ) — функция кулоновского возбуждения, которая выража-

ется через орбитальные интегралы и шаровые функции.

Из выражений (3.9) и (3.10) видно, что измерения сечений кулоновского возбуждения позволяют определить значения электрических мультипольных моментов, из которых можно получить целый ряд важных сведений о структуре ядра, и, в первую очередь, о распределении электрического заряда в ядре. Исследования кулоновского возбуждения показали, что в атомных ядрах преобладающим мультипольным моментом является электрический квадрупольный момент, который определяет степень отклонения заряда ядра от сферической симметрии:

Q2	=	1	∫ρ(r)(3Z	2	−r2 )dV ,	(3.11)
		e

50