Хангулян Избранныие вопросыи теории ядра ч.1 2009

Из выше изложенного следует, что задание компонент j ( )

спиновой волновой функции j является общим случаем описания

частиц со спином. Следовательно, можно задать начальное состояние системы спиновыми волновыми функциями и импульсами, т.е. i ( (1), (2), p1, p2), которое в другой системе отсчета примет вид i ( (1), (2), p1, p2). При этом хорошо известен закон преобразо-

вания спиновых волновых функций при вращении. При преобразованиях

ri ri Rikrk

(где R – ортогональная матрица) спиновые волновые функции j

преобразуются согласно соотношению (3.8), которое в компонентах запишется как

	j
	j( ) j( ) D( j)(g) j( ),	(3.12)
	j
где D( j)(g)	– матрица неприводимого представления группы вра-
щений веса	j. Следовательно, зная компоненты спиновой волно-

вой функции в старой нештрихованной системе отсчета, можно найти их в новой штрихованной системе отсчета. Такое описание спиновых состояний частиц является ковариантным и, соответственно, ковариантным является начальное состояние i . В соответствии со всем сказанным выше, конечное состояние f будем зада-

вать как	f ( (3),..., (n), p3,..., pn), которое при вращениях пере-
ходит в	f ( (3),..., (n), p3,..., pn).
Отметим,что при преобразованиях Галилея, когда
	r	r r V0t,
			(3.13)

t t t,

где V0 – скорость движения новой системы отсчета относительно исходной, спиновые волновые функции не меняются. В то время как, закон преобразования импульса определяется изменением ско-

рости v v v V0 .

91

Требование инвариантности амплитуды рассеяния (3.5) означает, что амплитуда M в двух разных системах отсчета связана со-

отношением
M( (1),..., (n), p1,..., pn) M( (1),..., (n), p1,..., pn). (3.14)
В силу принципа суперпозиции в квантовой теории амплитуда
M должна быть линейной по каждой из		спиновых	волновых
функций (i)	(i 1,...,n). Однако, кроме	спиновых	волновых
функций (i)	(i 1,...,n), имеются еще и эрмитовски сопряженные
функции (i)	(i 1,...,n).
Условимся, что частицам в конечном состоянии соответствуют
(i) (i 3,...,n), в то время как частицам в начальном состоянии

ставится в соответствие (i) (i 1,2). Это соглашение следует из

того, что если происходит процесс 1 2 1 2, когда состояние налетающих частиц не меняется, то S -матрица равна единичной:

S I . Тогда в S -матрицу должны входить инварианты (1) (1) и

(2) (2), и если все функции нормированы на единицу, то полу-

чаем правильный результат. Следовательно, для удовлетворения условия (3.14) необходимо сконструировать из спиновых функций частиц и их импульсов инварианты относительно вращений и преобразований Галилея.

Такие инварианты можно представить в следующем виде:

Ci11,.i2			2,...,...,in, n (k) j1 ( 1) j2 ( 2) *j3 ( 3)... *jn ( n )p1,i1 p2,i2 ...pn,in ,	(3.15)
,i
где ji		( i )	– компоненты спиновой волновой функции i -й части-
цы, p	k	– компоненты импульса k -й частицы, а Ci1,i2 ,...,in (k)		– не-
		,ik	1. 2 ,..., n

которые числовые коэффициенты.

Вообще говоря, можно построить не один такой инвариант, а несколько. Разные инварианты нумеруются переменной k . Каждый такой инвариант должен входить со своей весовой функцией, которая является инвариантом относительно вращений и преобразований Галилея. Обозначим эту функцию через k . Эти весовые

92

функции и называются инвариантными амплитудами. Тогда амплитуду рассеяния M можно записать в виде

	M
			,tij	)
		k (sij
	k,						(3.16)
i1,i2 ,...,in				*	*
						( n )p1,i1	p2,i2 ...pn,in .
C 1. 2 ,..., n	(k) j1 ( 1) j2 ( 2) j3				( 3)... jn

,i

Рассмотрим свойства инвариантных амплитуд. Поскольку спиновые волновые функции в амплитуду рассеяния M в силу принципа суперпозиции могут входить линейно, то инвариантные амплитуды могут зависеть только от импульсов частиц, участвующих в процессе. В силу инвариантности этих амплитуд они могут зависеть от инвариантов, составленных из импульсов частиц. Их число, как известно из релятивистской квантовой теории, равно 3n 10, где n – число участвующих в процессе частиц. В релятивистской

теории в качестве таких переменных выбирают

s

(p

p

j

)2

и

ij

i

t

ij

(p

p

j

)2

, где

p и p

j

– 4-импульсы частиц

i

и

j соответст-

i

i

венно. В нерелятивистской теории в качестве таких переменных можно выбрать:

sij (mi mj)

2

2(mi

mj)(Ei

2

,

sij

Ej) (pi pj)

t

t (m m

)2

2(m m

)(E E

) (p

p

)2

,

(3.17)

ij

ij

i

j

i

j

i

j

i

j

где mi,Ei, pi – масса, кинетическая энергия и импульс i -й частицы соответственно. Переменные sij и tij инвариантны как относитель-

но вращений, так и относительно преобразований Галилея. Действительно, если выразить эти переменные через скорости i -й и j-й

частиц получим

			2					2
	mimj(vi	vj)		,	tij	mimj(vi	vj)		.	(3.18)
sij

Откуда немедленно следуют свойства инвариантности этих переменных. Таким образом, построено разложение амплитуды Mif по

инвариантным амплитудам.

Выясним, сколько инвариантных амплитуд описывают рассматриваемый процесс 1 2 3 ... n . Пусть i -я частица имеет

93

спин ji , т.е. в процессе участвуют частицы со спинами j1, j2,..., jn .

Будем рассматривать этот процесс в некоторой системе отсчета, в которой имеется выделенная ось, и i -я частица имеет проекцию i

на эту ось. Тогда амплитуда Mif в данной системе отсчета харак-

теризуется проекциями спинов частиц на эту ось, т.е. M( 1, 2 )( 3... n ) .

Так как имеется (2 j1 1)(2j2 1).....(2jn 1) различных комбинаций значений проекций спинов на эту ось, то при фиксированных им-

пульсах начальных	и	конечных		частиц	имеется всего
(2 j1 1)(2j2 1).....(2jn 1)		различных		амплитуд.	Следовательно,
число инвариантных амплитуд Nk			не может превышать этого чис-
ла, т.е.
Nk N0	(2j1	1)(2 j2	1)...(2 jn 1).		(3.19)

Реально число Nk оказывается как правило меньше этого числа

N0 . В частности, для реакции 1 2 3 4 при правильном выборе спиновых переменных оно оказывается вдвое меньше.

Перейдем к рассмотрению конкретных процессов.

3.2. Разложение по инвариантным амплитудам амплитуды упругого рассеяния частицы со спином 1/2

на частице со спином нуль

Рассмотрим простейший процесс – упругое рассеяние частицы со спином 1/ 2 на частице со спином нуль. Примером такого процесса может служить рассеяние нейтрона на четно-четном ядре,

например на -частице (He4 ) или на ядре O16 . Как показано в предыдущем параграфе, для получения разложения амплитуды Mif этого процесса по инвариантным амплитудам необходимо по-

строить инварианты из спиновых волновых функций (1) и (3)

и импульсов частиц p1, p2, p3, p4 .

Поскольку амплитуда Mif должна быть инвариантна относи-

тельно преобразований Галилея, то в Mif могут входить только

94

относительные скорости. Введем относительные скорости в начальном и конечном состоянии:

v

v

p1

p2

p

,

1

2

m

m

m

(3.20)

1

2

12

v

v

p3

p4

p

,

m

3

4

m

m

3

4

34

где

mi,vi, pi

– масса, скорость, импульс i -й частицы соответствен-

но,

p и p

– импульс частиц в Ц-системе в начальном и конечном

состоянии, а mik

– приведенная масса частиц l

и k :

m

mimk

.

ik

m m

i

k

Следовательно,

импульсы p

и

p инвариантны относительно пре-

образований Галилея. Из векторов p и

p сконструируем два еди-

ничных вектора m и l

:

p p

p p

m

,

l

.

(3.21)

p

p

p

p

В случае упругого рассеяния эти два вектора ортогональны. Действительно, в этом случае m34 m12 и из закона сохранения энергии

следует, что p2 p 2 , значит:

p2

p

2

(ml )

p

p

p

p

0.

(3.21а)

Кроме этих двух единичных векторов можно построить еще один единичный вектор n , перпендикулярный к плоскости реакции, т.е.

к векторам p и	p , следовательно,			ортогональный к двум единич-
ным векторам m и l		:
			[pp ]
		n			.	(3.22)
			[pp ]
Таким образом,		сконструирована тройка взаимноортогональ-
ных единичных					инвариантных	относительно
	векторов m,l,n

преобразований Галилея.

95

Из спиновых волновых функций (1) и (3), которые в слу-

чае частиц со спином 1/ 2 являются спинорами, можно построить инвариант как относительно преобразований Галилея, так и отно-

сительно вращений (3) (1). Действительно, спиновые волновые функции не меняются при преобразованиях Галилея, поэтому построенная величина инвариантна относительно их. При вращениях спиноры и преобразуются следующим образом:

D(1/2)(g) , (D(1/2) (g) ) ,

следовательно, величина при вращениях преобразуется как

(D(1/2)(g) ) D(1/2)(g)

D(1/2) g D(1/2)(g) ,

где в последнем равенстве данной цепочки учтена унитарность

D(1/2) (g) , т.е. D(1/2) (g) D(1/2) 1	(g) . Таким образом, величина
		1/2
(3) (1)		*j3 ( ) j1 ( )	(3.23)
		1/2

является инвариантом относительно вращений и преобразований Галилея.

Из спиноров (1) и (3), как известно из курса квантовой ме-

ханики, можно построить вектор, инвариантный относительно преобразований Галилея:

	1/2
			( ).
(3) (1)		*j3 ( ) j1		(3.24)

, 1/2

Инвариантность этого вектора относительно преобразований Галилея следует из инвариантности спиновых волновых функций относительно этих преобразований. Тогда, умножив этот вектор на три взаимно ортогональных инвариантных относительно преобразова-

ний Галилея	вектора
		m,l,n , получим три величины

(3)( m) (1), (3)( l ) (1), (3)( n,) (1), которые инвариантны как относительно преобразований Галилея, так и вращений.

96

Таким образом, имеется всего четыре инварианта, поэтому амплитуду рассеяния частицы со спином 1/ 2 на частице со спином нуль следует записывать в виде

M

A(s,t)

(3) (1) B(s,t) (3)( n) (1)

(3.25)

C(s,t) (3)( m) (1) D(s,t) (3)( l ) (1),

и

где A(s

,t),B(s,t),C(s,t)

D(s,t) – инвариантные амплитуды, ко-

торые так же, как и любой процесс 2 2, зависят от двух инвари-

	и t	:
антных переменных s
							2	,
s 2(m1	m2)(E1 E2) (p1				p2)
t 2(m m )(E E				) (p	p			(3.26)
			3			)2.
1	3	1		1	3
Потребуем, чтобы амплитуда				M была также инвариантна от-

носительно инверсии пространства, так как в сильных взаимодействиях сохраняется четность. При инверсии пространства, когда r r r, t t t спиновая волновая функция и операторы

преобразуются с помощью унитарной матрицы Up . В случае час-

тиц со спином 1/ 2 преобразование спинора и матрицы опре-

деляется соотношениями [6]:

Up p ,						(3.27)
	Up Up				,
где
	1	0				(3.27а)
Up p		1	,
	0

а величина p i . Следовательно, вектор (3) (1) инвариант-

ный при преобразованиях Галилея, инвариантен также относительно инверсии пространства

										(3.28)
		(3) (1) Up			(3) (1)UP				(3) (1).
В то же время		при преобразовании инверсии пространства им-
пульсы p и p		меняют знак. Значит, единичные векторы m и l
меняют знак при инверсии пространства:
						l l l,				(3.29)
		m m m,

97

а единичный вектор n знак не меняет:

n n n.

(3.29а)

Таким образом, из соотношений (3.28) и (3.29) следует, что ин-

варианты

относительно

преобразований

Галилея

и

вращений

(3)( m) (1)

и (3)( l ) (1) при инверсии пространства меняют

знак:

(3)( m) (1) Up (3)( m) (1)Up (3)( m) (1),

(3.30)

(3)( l ) (1) Up (3)( l ) (1)Up (3)( l ) (1),

а инвариант

не меняет знака при инверсии про-

(3)( n,) (1)

странства:

(3)( n,) (1) Up

(3)( n,) (1)Up

(3)( n,) (1). (3.31)

Используя

соотношения

(3.27), можно

показать,

что

инвариант

(3) (1) также не меняет знак, т.е.

(3) (1) Up (3) (1)Up

(3) (1).

(3.32)

Требованию, чтобы амплитуда рассеяния была инвариантна относительно инверсии пространства, можно удовлетворить, если по-

ложить				(3.33)
C(s,t) D(s,t) 0.

Следовательно, амплитуда рассеяния частицы со спином 1/ 2 на частице со спином нуль при учете закона сохранения четности (инвариантность амплитуды рассеяния относительно инверсии

пространства)				содержит			только две инвариантные				амплитуды
				и, соответственно, имеет вид
A(s,t)		и B(s,t)
											(3.34)
		M A(s,t)					(3) (1) B(s,t) (3)( n) (1).

Следует отметить, что полученная амплитуда рассеяния M (3.34) инвариантна также и относительно обращения времени. Действительно, при обращении времени, когда r r r , а время t t t , спиновая волновая функция и операторы преобразуются по антиунитарному закону [6]:

			*
Ut			,
			(3.35)

A A Ut ATUt .

98

	где AT – транспонированный оператор, а матрица Ut					для частиц
	со спином 1/ 2 имеет вид:
		i
	Ut exp		2		i 2.	(3.35а)
		2

Следовательно, при обращении времени матрицы меняет знак:

i 2 Ti 2 .

При обращении времени импульс также меняет знак, при этом начальное и конечное состояния меняются местами, т.е. p p , по-

этому единичный вектор n при обращении времени меняет знак: n n n.

Следовательно, матрица ( n)		при обращении времени не меняет
знак:
		T			(3.36)
( n) ( n) Ut		( n)	Ut	( n).
Тогда преобразование инварианта					при обращении
			(3)( n) (1)

времени определяется следующей цепочкой:

(3)( n) (1) (1)( n) (3)

T (1) 2( n) 2 *(3) T (1)( n)T *(3)

(3)( n) (1).

При написании этой цепочки равенств используются соотнлшения (3.35), (3.35а) и (3.36). Следовательно, эта величина инвариантна относительно обращения времени.

Совершенно аналогично можно показать, что величина

(3) (1) при обращении времени не меняется. Следовательно, ам-

плитуда M (3.34) инвариантна относительно обращения времени, и никакие новые ограничения на вид амплитуды рассеяния требование инвариантности относительно обращения времени не накладывает.

Пусть в рассматриваемой системе отсчета имеется выделенное направление, т.е. ось 3. Тогда падающий и выходящий из реакции пучки частиц можно характеризовать проекцией спина на эту ось, т.е. спиноры (1) и (3) являются собственными функциями опе-

99

ратора S3 с собственным значением . Следовательно, амплитуду

рассеяния можно характеризовать проекциями 1

и 3, и она име-

ет вид

j1 1

( n) j1 1 .

(3.37)

M 3 1 A(s,t) j3 3

B(s,t) j3 3

Учитывая соотношение (3.11), можно записать

1/2

*

( )

( )

j1 1

j1 1

j3 3

j3 3

3 1

1/2

и

1/2

*

j3 3

( n) j1 1

j3 3 ( )( n)

j1 1 ( ) ( n) 3 1 .

, 1/2

Следовательно, амплитуду рассеяния M

можно представить в

3

1

виде

M

(3.38)

A(s,t)

B(s,t)( n) .

3

1

3

1

3

1

Наконец, амплитуду упругого рассеяния частицы со спином 1/ 2 на

частице со спином нуль можно		представить		в виде матрицы
2 2,которая записывается				(3.38а)
M A(s,t)I B(s,t)( n),

т.е. она содержит единичную матрицу и матрицу ( n) .

В п. 2.1 было показано, что спиновая структура потенциала взаимодействия ядерных частиц со спинами нуль и 1/ 2 имеет вид

(1.36)

V(r) V0(r) VLS (r)(Sl ),			(3.39)
		1
где l – орбитальный относительный момент l			[rp]. Второй

член в потенциале (3.39) описывает спин-орбитальное взаимодействие. Покажем, что наличие в потенциале спин-орбитального взаимодействия приводит к амплитуде рассеяния M (3.38). Действительно, в борновском приближении амплитуда рассеяния определяется выражением

		m12		i	pf	r			i	pir	d3r .
	M			e	(V (r) V (r)(Sl ))e
		2 2				0		LS

100