Хангулян Избранныие вопросыи теории ядра ч.1 2009

Подставляя в это соотношение функцию Рарита и Швингера (2.98) и учитывая ортонормируемость спин-угловых функций S - и D-состояний, которая следует из равенства (2.97а), получим, что радиальные волновые функции u(r) и w(r) удовлетворяют усло-

вию

2

2)dr 1.

0

(

u(r)

w(r)

(2.99)

2 dr

Величины pS 0

u(r)

2 dr и pD 0

w(r)

можно тракто-

D-состояниях

вать как вероятность находиться дейтрону в

S - и

соответственно. При этом соотношение (2.99) означает

pS pD 1.

(2.99а)

Подставляя функцию Рарита и Швингера (2.98) в уравнение Шредингера (2.90), получим систему связанных дифференциаль-

ных уравнений для радиальных функций u(r)

и w(r):

2

u

m

m

d

(U(r) E)u 8

UT (r)w,

2

2

2

dr

(2.100)

d2w

6

m

m

2

r

2

w

2

(U(r) 2UT (r) E)w 8

2

U(r)u.

dr

При получении данной системы уравнений необходимо учиты-

вать соотношение (2.96а) для S122 , а так же ортонормируемость спин-угловых функций S - и D-состояний.

В систему уравнений (2.100) входят два потенциала: центральный потенциал, зависящий от спинов U(r) (нейтрон и протон на-

ходятся в триплетном спиновом состоянии), и тензорный потенциал UT (r) . Даже в простейшем случае, когда потенциалы заданы в виде прямоугольных ям, решение системы (2.100) зависит от четырех параметров: глубины центрального потенциала U0 , глубины тензорного потенциала U0(T) и радиусов действия центрального и тензорного потенциалов r0 и rT соответственно. Найти аналитиче-

ское решение даже в этом простом случае не удается.

71

Из соотношений (2.100) видно, что вне области действия сил, т.е. при r r0 и rT , эта система уравнений для радиальных волновых функций распадается на два независимых уравнения:

	d2u			mE
								u 0			(2.100а)
	dr2				2
для функции u(r) и
	d2w				6		w		mE	w 0	(2.100б)
	dr2				r2				2

для функции w. Учитывая, что E (где – энергия связи дейтрона), и введя параметр T (2.13а), уравнения (2.100а) и (2.100б) примут вид:

	d2u		2 u 0			(2.101)
	dr2
				T
и
	d2w			6	w 2 w 0.	(2.102)
	dr2			r2
					T

Уравнение (2.101) рассматривалось выше в п. 2.2 и его решение имеет вид

u(r) Ce T r.

Получим решение уравнения (2.102). При запишется в виде

d2w 2 w 0. dr2 T

(2.103) r это уравнение

Поскольку в пределе больших r оно должно быть затухающим, так как рассматривается связанное состояние дейтрона, то необходимо взять решение:

w ~ e T r ,

т.е. решение уравнения (2.101) следует искать в виде w(r) f (r)e T r.

При этом функция f (r) удовлетворяет уравнению

d2 f			df		6	f 0.
	2	T
dr2					r2
			dr

Обезразмерим переменную r , введя новую переменную x :

72

x Tr,

тогда функция f (x) удовлетворяет уравнению

	d2 f		df		6		f 0.	(2.104)
		2
	dx2					x2
			dx
Решение этого уравнения будем искать в виде ряда
		f (x) ak xk.						(2.105)
				k n

Подставляя этот ряд в уравнение (2.104), получим соотношение

akk(k 1)xk 2 2akkxk 1 6ak xk 2 0.

k n

Из этого выражения следует рекуррентное соотношение между ak

и ak 1	при k n :
или	akk(k 1) 2ak 1(k 1) 6ak 0
		2k
	ak 1		ak.	(2.106)
		(k 1)k 6

В случае, если k n , получим соотношение, определяющее первый член ряда. Оно имеет вид:

an(n(n 1) 6) 0.

Откуда следует, что n	может принимать два значения: либо
n 2, либо n 3.	n допустимо лишь первое, т.е. n 2.
Из этих двух значений

Действительно, решение w(r), описывающее связанное состояние

нейтрона и протона, т.е. дейтрон, вне области действия ядерных сил, должно быть экспоненциально затухающим. Следовательно, ряд (2.105) должен обрываться. Из соотношения (2.106) следует, что обрыв ряда происходит лишь при n 2, поскольку все коэффициенты ak 0 с k 1. Из всего сказанного следует:

f (x) a		(	1		1		1	).
	2
			3 x x2

Тогда радиальная волновая функция D-состояния дейтрона имеет вид

73

	3		3		T r
w(r) C(1				)e		.	(2.107)
	T r		( T r)2

Таким образом, асимптотические выражения для радиальных волновых функций, описывающих дейтрон в S - и D-состояниях, описываются выражениями (2.103) и (2.107) соответственно. В этих выражениях T определяется соотношением (2.13а), C и C – нормировочные коэффициенты.

Отметим, что выражение для радиальной волновой функции S - состояния (2.103) справедливо на расстояниях r , превосходящих как r0 , так и rT , в то время как асимптотическое выражение для w(r) (2.107) справедливо при r rT . Действительно, при получении уравнения (2.102) необходимо пренебречь членами, содержащими потенциал UT (r) , поскольку членом U(r)w(r) можно пре-

небречь уже при r rT , так как он мал по сравнению с центробежной энергией. В то время как при получении уравнения (2.101) необходимо отбросить члены, содержащие как потенциал U(r) , так и

потенциалUT (r) .

Отметим, что при малых r (r 0) радиальные волновые функ-

ции u(r) и w(r) ведут себя по-разному:

u(r) ~ r, w(r) ~ r3 (r 0).

Поэтому функция w(r) имеет резкий максимум при r rT . Дейст-

вительно, из выражения (2.107) для	w(r)	видно, что в области
rT r 1/ T она ведет себя как 1/ T r 2		(где T r 1). Следова-
тельно, интеграл, определяющий вес	D-состояния дейтрона pD ,
сидит на расстояниях r ~ rT .

2.6. Магнитный момент дейтрона

Как упоминалось выше, дейтрон обладает магнитным моментом. Вычислим его. Магнитный момент, создаваемый нуклонами в ядре, складывается из собственного магнитного момента нуклона и его орбитального момента, обусловленного движением заряженной

74

частицы, когда нуклон является протоном. Таким образом, магнитный момент дейтрона d можно представить как

d n p l ,

(2.108)

где p – вектор собственного магнитного момента протона, l –

вектор его орбитального магнитного момента, а n – вектор собственного магнитного момента нейтрона.

Согласно классической электродинамике магнитный момент, возникающий из-за движения заряженной частицы (протона), оп-

ределяется выражением	e			e
l
	2c rpvp			2mpc rp pp		,	(2.109)
где rp – радиус-вектор протона,			vp	– его скорость,			pp mpvp – им-

пульс протона, а e – его заряд. Введем момент количества движе-

ния протона, измеренный в единицах :
				lp ,	(2.110)
rp pp

тогда вектор орбитального магнитного момента протона запишется в виде

e

l

l

p

l

p

.

(2.111)

2mpc

я

Величина я

e

e

5.051 10 24 эрг Гс-1

называется

2mpc

2mpc

e

ядерным магнетоном. Он меньше магнетона Бора ( B

) в

2m c

e

me раз (где me – масса электрона). Обычно магнитные моменты mp

ядерных частиц измеряются в ядерных магнетонах.

Таким образом, в ядерных магнетонах вектор орбитального магнитного момента заряженной частицы (протона) пропорционален его орбитальному моменту (2.111). Для обобщения данной формулы на квантовую механику введем оператор вектора орби-

тального магнитного момента протона l и оператор вектора ор-

75

битального момента количества движения l p . Эти два оператора связаны соотношением

		я l p .	(2.112)
	l

Обобщая это соотношение, запишем связь между оператором спина нуклона и оператором его собственного магнитного момента в виде

	gp я
p		S p,
		(2.113)
n	gn я Sn,

где gp и gn – гиромагнитное отношение для протона и нейтрона соответственно. Вообще, гиромагнитные отношения gp и gn не равны единице, так в случае электрона, ge 2. Как следует из соотношения (2.111), гиромагнитное отношение для оператора орби-

тального магнитного момента l равно единице. В соответствии с

выше сказанным оператор магнитного момента дейтрона можно записать в виде

		gp я S p gn я Sn я l p .			(2.114)
	d

С другой стороны, оператор магнитного момента дейтрона можно

выразить через его спин Jd :

		(2.114а)
d	gd я Jd .

Обычно приводящийся в таблицах магнитный момент частицы

определяется как среднее значение оператора 3 в состоянии с

максимальным значением проекции спина на ось 3 и выражается в ядерных магнетонах. Следовательно, для магнитного момента дейтрона можно записать

	gd		gd 0,857,
d		M 1(Jd )3 M 1		(2.115)

в то время как для нейтрона и протона имеем соответственно:

76

n gn

n

1/2

(Sn)3

n 1/2

1 gn 1,913,

2

(2.116)

1

p gp

p 1/2

(S p )3

p 1/2

gp 2,793.

2

Оператор момента импульса протона l p выражается через ра- диус-вектор протона и его импульс. В дальнейшем при вычислении магнитного момента дейтрона необходимо провести усреднение по волновой функции дейтрона с M 1. Однако волновая функция дейтрона зависит от радиуса-вектора взаимного расстояния r rp rn . Поэтому необходимо момент импульса протона выра-

зить через орбитальный момент импульса относительного движения. Следовательно, необходимо выразить через радиус-вектор r и p орбитальный момент количества движения протона. Так как в Ц-системе имеет место

mprp mnrn 0, r rp rn,

то				mn		1
r					r		r.
		m		m
p			p		2
				n

В последнем равенстве данной цепочки равенств положили, что mn mp m (где m – масса нуклона). В соответствии с этим име-

ем

pp pn p.

Следовательно, момент импульса протона в дейтроне можно записать через орбитальный момент импульса относительного движения

			1
	l	p		l .	(2.117)
			2

После всего сказанного выше, для оператора магнитного момента дейтрона, используя равенства (2.114), (2.114а), и (2.117), можно записать

77

					1
gd я Jd gp я S p gn я			Sn					я l ,
откуда имеем					2
			1
gd Jd gp S p gn Sn					l .			(2.118)
			2

Преобразуем это выражение. С этой целью введем в него сум-

марный спин	протона				и нейтрона				S Sp Sn		и его разность
Sp Sn , тогда соотношение (2.118) запишется как
		1				1				1
gd	Jd			(gp	gn)S			(gp	gn)		l .
										2
		2				2

Умножим скалярно это соотношение на J , и получим

gd Jd2 1(g

2

			1		1
	p gn)(S Jd )			(gp gn)( Jd )		(l J).
			2		2

Учитывая, что в виде

d Jd2

1(g 2

Jd S l , соотношение (2.118) можно представить

1			2 1
		(gp gn)S					(gp gn)(Sl )
						2
2												(2.119)
			1					1			1
												2
p gn)( S)					(gp		gn)( l )			(l S)		l	.
											2
			2					2

Для вычисления магнитного момента дейтрона возьмем матричный элемент от этого операторного равенства между волновыми функциями дейтрона d (r) (2.91) , тогда левая часть запишется как

g		J	2		g	d	J(J 1) 2g	d	2	d	.
	d d		d	d

Так как спин дейтрона равен единице, а так же учтено соотношение (2.115). Следовательно, после усреднения соотношение (2.119) примет вид

1

1

2

(g

p

g

n

)

S2

(g

p

g

n

1)

Sl

в

2

d

d

2

d

d

78

1

1

(g

g

) S

(g

g

) l

2

p

n

d

d

2

p

n

d

d

					(2.120)
	1
			l	2	.
2		d			d

Рассмотрим правую часть этого соотношения. Спинкоординатная часть волновой функции дейтрона должна быть симметрична относительно перестановки нейтрона и протона, поскольку изотопический спин дейтрона равен нулю. Это означает, что

d	S	d		d	l	d	0.	(2.121)

Действительно, симметрия спин-координатной волновой функции дейтрона d (r) относительно перестановки нейтрона и про-

тона означает, что при замене n p или, что тоже самое, при за-

мене r r имеем:

d (r) d ( r),

в то время как операторы S		и l антисимметричны относитель-

но такой перестановки. Это и приводит к соотношению (2.121). Кроме того, как показано в п. 1.2, оператор суммарного спина

двух нуклонов коммутирует с гамильтонианом H и, следовательно, эта величина – квантовое число. В дейтоне она равна S 1, поэтому:

	S	2	S(S 1) 2.	(2.122)
d		d

Рассмотрим второй член левой стороны равенства (2.120), Учи-

тывая соотношение Jd	S l , можно записать

Jd2 S2 l 2 2(Sl ).

Усредняя это операторное соотношение по волновой функции дейтрона, можно получить:

79

			2			2			2
2 Sl		J			S			l
d	d	d		d	d		d	d		d

(2.123)

J(J 1) S(S 1)							.
	l	2			l	2
d			d	d			d

При написании этой цепочки равенств учтено, что S Jd 1. Тогда, подставляя соотношения (2.123),(2.122) и (2.121) в равен-

ство (2.120) и учитывая определение магнитного момента протона и нейтрона (2.116), получим выражение для магнитного момента дейтрона в следующем виде:

1

1

d

p

n

(

p

n

)

l 2

.

(2.124)

4 2

d

d

Рассмотрим матричный элемент

l 2

.

Если дейтонная

d

d

волновая функция является чистым S -состоянием, т.е. d

S , то

l

2

0.

S

S

Следовательно,

d p

n.

(2.125)

Однако,

при

учете

D-состояния в

дейтроне, т.е. когда

d S D , имеем

l 2

l 2

S

D

S

D

S

D

D

l 2

6

6p

D

.

D

D

D

D

При написании этой цепочки равенств учитывалось, что

l 2

6

, l 2

0.

D

D

S

Таким образом, для магнитного момента дейтрона с учетом D- волны окончательно получаем следующее выражение:

80