[ Лялинов ] Программа и задачи по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии в основном потоке

Проект ¾Инновационная образовательная среда в классическом университете¿

Пилотный проект № 22 ¾Разработка и внедрение инновационной образовательной программы ¾Прикладные математика и физика¿¿

Физический факультет

Кафедра высшей математики и математической физики

М. А. Лялинов

Программа и задачи по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии в основном потоке

Учебно-методическое пособие

Санкт Петербург 2007 г.

Оглавление

1.3.4.Плоскость в пространстве . . . . . . . . . . . . 10

1.3.5.Прямая в пространстве. Прямая и плоскость . 10

1.3.6.Кривые 2-го порядка на плоскости. Эллипс. Гипербола. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . 11

§1.4. Программа экзамена в 1 семестре. . . . . . . . . . . . 13

1.4.1.Матрицы и определители. Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1.Квадратичные формы и приведение к каноническому виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3

Глава 1

§1.1. Вводные замечания и правила отчетности

Цель настоящего пособия предложить набор типовых задач по курсу аналитической геометрии и линейной алгебры. Программа курса разбита на 4 части – по две в первом и втором семестрах. Представленные задачи позволяют оценить уровень требований к студентам основного потока физического факультета СПбГУ. Предлагаемый набор не является исчерпывающим, однако, он ориентирован на освоение ключевых теоретических понятий и утверждений, в том числе, посредством приобретения практических навыков решения стандартных задач по курсу. Представлен подробный разбор решения ряда задач, которые с одной стороны иллюстрируют ключевые теоретические утверждения и понятия курса, а с другой стороны призваны помочь студенту приобрести необходимую ”культуру“ решения типовых задач. Предлагаемые задачи стандартны, в том смысле, что их решение не требует специального подхода, применения какого-либо нетрадиционного приема или теоретического утверждения, выходящего за рамки курса. Тем не менее, их можно отнести к уровню от 1-2 до 6-7 баллов по десятибальной шкале сложности. Задачи, предназначенные для самостоятельного решения, пронумерованы.

Предполагается, что в нормальной ситуации оценка за курс линейной алгебры и аналитической геометрии (в первом и втором семестрах по отдельности) формируется как среднее арифметическое 3-х оценок по “болонской” шкале: оценки за семинарские занятия, оценки за коллоквиум и оценки за экзамен. Однако, если хотя бы

4

одна из 3-х этих оценок ниже 2-х баллов, то итоговая оценка – 1 балл, т.е. результат неудовлетворительный. Одна из целей такой системы отчетности – повысить роль семинарских занятий и их вклад в итоговую оценку.1 Билет экзамена (коллоквиума) содержит одну задачу уровня сложности типовых задач и один теоретический вопрос.

Преподаватель, ведущий семинарские занятия по линейной алгебре и аналитической геометрии, выставляет “болонскую” оценку по результатам контрольных работ, а также учитывает работу студента в течение семестра. Использование каких либо учебников, конспектов, задачников, калькуляторов и т.д. во время контрольной работы запрещено. То же самое касается коллоквиума и экзамена. Возможны вариации задач в контрольных работах, но трудность должна приблизительно соответствовать примерам задач, приведенным ниже. Более точно – две простые задачи уровня типовых, а также другие, возможно более сложные задачи по усмотрению преподавателя.2

§1.2. Программа коллоквиума в 1 семестре.

Векторы, сложение и умножение на число, скалярное произведение, свойства основных операций с векторами, колинеарность и компланарность. Координатная ось, системы координат, проекция вектора на заданное направление или вектор, свойства проекции, координаты точки, ориентация, левые и правые системы координат. Определители 2 и 3 порядков, разложение определителя по строке. Векторное произведение и его свойства, псевдовекторы. Двойное векторное произведение. Смешанное произведение, геометрический смысл

1В исключительных случаях лектор потока оставляет за собой право выставить итоговую оценку за семестр в соответствии с результатом сдачи экзамена (возможно после согласования с экзаменатором, если опрос проводил не лектор потока, и с преподавателем, проводившим семинарские занятия студента). При этом, роль двух других оценок может быть существенно снижена.

2Это правило необходимо для унификации требований к студентам разных групп основного потока. Допускается разумное число ”переписываний“ контрольных работ, но уже второе переписывание должно приводить к заметному снижению болонской оценки за семинарские занятия.

5

и свойства. Доказательство свойства дистрибутивности векторного произведения. Прямая на плоскости, различные формы уравнения прямой, уравнение пучка прямых, параллельность и ортогональность, угол между прямыми. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Плоскость в пространстве, различные формы уравнения плоскости, условие параллельности и ортогональности плоскостей, угол между плоскостями, уравнение пучка плоскостей. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве, взаимосвязь различных форм уравнений прямой, взаимное расположение двух прямых в пространстве. Плоскость и прямая в пространстве, угол, параллельность и ортогональность. Эллипс, каноническое уравнение, оптическое свойство (без доказательства), условие касания прямой и эллипса, касательная к эллипсу. Гипербола, каноническое уравнение, оптическое свойство (без доказательства), условие касания прямой и гиперболы, асимптоты гиперболы, касательная к гиперболе. Парабола, каноническое уравнение и основные свойства, оптическое свойство (без доказательства). Полярные координаты, уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Преобразование декартовых координат на плоскости, параллельный перенос, поворот и отражение. Приведение уравнения второго порядка на плоскости к канонической форме.

Коллоквиум (начало ноября).

§1.3. Набор типовых задач: линейная алгебра и аналитическая геометрия.

1 семестр. Задачи 1-24 соответствуют материалу коллоквиума, остальные 25-35 – экзамена в первом семестре.

1.3.1.Сложение векторов. Умножение на число. Скалярное произведение

¡! ¡!

1. В параллелограмме ABCD обозначены: AB= a и AD= b: Вы-

¡! ¡! ¡! ¡!

разить через a и b векторы MA; MB; MC и MD, где M есть точка

6

пересечения диагоналей параллелограмма.

Задача. Даны две точки на плоскости: A(Ax; Ay) и B(Bx; By).

На отрезке AB найти точку C такую, что jACj : jCBj = m : n.

¡! ¡¡!

Решение. Рассмотрим векторы AC и CB. Так как точка C ле-

¡! ¡¡!

жит на отрезке [AB], то AC и CB коллинеарны и одинаково на-

Из этих уравнений находятся Cx и Cy:

Иногда обозначают mn = ¸, тогда ответ имеет вид

В частности, при m = n (деление отрезка пополам):

2.Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: m = a ¡ b + c; p = a + b; n = 2b+ +c; q = b ¡ c.

3.Пусть i; j и k взаимно перпендикулярные орты. Вычислить

скалярное произведение векторов a и b, где a = i ¡ 2j + 3k, b =

=4i + j ¡ 2k. Найти длину векторов a и b и угол между ними.

4.Какой угол образуют единичные векторы s и t, если известно, что векторы p = s + 2t и q = 5s ¡ 4t взаимно перпендикулярны.

1.3.2.Векторное и смешанное произведения

5. Лежат ли точки A(2; 4; 1); B(3; 7; 5); C(4; 10; 9) на одной прямой?

¡! ¡!

Указание: проверить колинеарность векторов AB и AC.

6. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на трех векторах: a = 3p + 2q ¡ 5r; b = p ¡ q + 4r и c = p ¡ 3q + r, если за

7

основание взят параллелограмм, построенный на a и b. Известно, что p, q и r взаимно перпендикулярные орты.

7. Пусть a; b и c взаимно перпендикулярные орты. Проверить, компланарны ли данные векторы:

Решение a).

1 способ. Вычислим смешанное произведение

Вычтем из второй строки 1-ую строку, умноженную на три, а из 3-ей строки вычтем 1-ую строку, умноженную на семь, получим

Разложим определитель по первому столбцу

Ответ: векторы p; q; r компланарны.

2 способ проверки компланарности не связан с понятиями векторного и смешанного произведений, он более общий, так как пригоден и для случая неортогональных базисных векторов. Ищем линейную зависимость между данными векторами: существуют ли числа ®, ¯, °, не все равные нулю, такие, что

®p + ¯q + °r = 0 :

Это векторное равенство равносильно трем координатным:

8< 1 ¢ ® + 3 ¢ ¯ + 7 ¢ ° = 0 ; : ¡2 ¢ ® + 1 ¢ ¯ + 14 ¢ ° = 0 ;

1 ¢ ® ¡ 2 ¢ ¯ ¡ 13 ¢ ° = 0 :

Решая эту линейную систему методом исключения, получаем ® = 5°, ¯ = ¡4°, где ° - произвольно. Полагая ° = 1, получаем ® = 5,

8

¯ = ¡4, ° = 1, т.е. найдена линейная зависимость данных векторов. Следовательно, они компланарны.

=¡2 i + 3 j ¡ 4 k :

1.3.3.Прямая линия на плоскости

8. Из точки A(6; 9) направлен луч под углом ¼=4 к прямой 2x ¡ 5y+ 4 = 0. Найти уравнение луча, отраженного от этой прямой.

9.Даны вершины треугольника: A(4; 6); B(¡4; 0); C(¡1; ¡4). Составить уравнения:

а) трех его сторон;

б) медианы, проведенной из вершины C; в) биссектрисы угла при вершине B;

г) высоты, опущенной из вершины A на сторону BC.

10.Найти расстояние от точки P до заданной прямой:

11. Найти уравнения биссектрис углов между прямыми: x + 7y¡

6 = 0; 5x ¡ 5y + 1 = 0.

Задача. Какая из точек A(1; 3), B(¡2; ¡1) ближе к прямой 2x¡

4y + 7 = 0?

Очевидно, j±Aj < j±Bj , т.е. точка A ближе к прямой, чем точка B. При этом можно дополнительно отметить, что точка B и начало координат находятся по одну сторону от прямой, а точка A - по другую сторону.

9

Задача. Уравнения сторон треугольника: 2x¡y +3 = 0, x+5y ¡ 7 = 0, 3x ¡ 2y + 6 = 0. Найти уравнения высот треугольника.

Решение. Пучок, заданный 1-ой и 2-ой прямыми: (2x ¡ y + 3) +

¸(x + 5y ¡ 7) = 0 или (2 + ¸)x + (¡1 + 5¸)y + (3 ¡ 7¸) = 0. Различным значениям ¸ отвечают различные прямые пучка. Условие перпендикулярности искомой прямой к третьей стороне: (2 + ¸)3 + (¡1 + 5¸)(¡2) = 0. Отсюда ¸ = 8=7.

Ответ: 22x + 33y = 35 . Аналогично определяются две другие высоты.

1.3.4.Плоскость в пространстве

12. Вычислить расстояние

а) от точки (4; 3; ¡2) до плоскости 3x ¡ y + 5z + 1 = 0;

б) от точки (2; 0; ¡1=2) до плоскости 4x ¡ 4y + 2z + 17 = 0.

13.Известны координаты вершин тетраэдра: A(0; 0; 2), B(3; 0; 5), C(1; 1; 0), D(4; 1; 2). Составить уравнения его граней.

14.Через линию пересечения плоскостей 4x ¡ y + 3z ¡ 1 = 0 и x + 5y ¡ z + 2 = 0 провести плоскость, проходящую через точку

(1; 1; 1).

Задача. В пучке, определенном плоскостями 3x + y ¡ 2z ¡ 6 = 0 и x ¡ 2y + 5z ¡ 1 = 0, найти плоскости, перпендикулярные к этим основным плоскостям.

Решение. Уравнение пучка: (3x+y¡2z¡6)+¸(x¡2y+5z¡1) = 0 или (3 + ¸)x + (1 ¡ 2¸)y + (¡2 + 5¸)z ¡ 6 ¡ ¸ = 0. Условие перпендикулярности искомой плоскости к первой из основных плоскостей:

и получаем ответ: 41x ¡ 19y + 52z = 68. Аналогично получается уравнение второй из искомых плоскостей: 33x + 4y ¡ 5z ¡ 63 = 0.

1.3.5.Прямая в пространстве. Прямая и плоскость

15. Даны точка A(1; ¡2; 4) и вектор L = (2; 3; ¡1). Написать уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору L. Лежит ли точка Q(3; 1; 3) на этой прямой?

10