[ Филиппов ] Теория упругости (лекции)

31

F < Fкр		F = Fкр		F = F2

z

x

Рис. 4.25

Рис. 4.27

Рис. 4.28

Задача об устойчивости стержня в XVIII в. была решена Эйлером. Рассчитаем значение критической силы и форму стержня, закрепленного

шарнирно за оба конца (Рис. 4.25).

А

M(x)

FРассмотрим условие равновесия участка стержня от x = 0 до x (Рис. 4.26). В сечении x

возникает момент сил Mx. Из уравнения (4.9) с учетом изменившегося направления оси x следует:

	M x = −EI	d 2 z	.	(4.11)
		dx2
z(x)	Сумма момента Mx и момента сдавливающей
	силы -Fz(x) должна быть равна нулю:
x	M x − Fz(x) = 0,

Рис. 4.26 откуда, учитывая (4.11), находим

32

d 2 z = − F z(x). dx2 EI

Решение этого уравнения можно записать в следующем виде:

z(x)= Acos kx + Bsin kx ,

где	F .
k =		(4.12)
	EI

Из граничного условия z(0) = 0 получаем

z(x)= Bsin kx .

Учитывая второе граничное условие z(l)=0, находим kl = nπ, откуда с учетом (4.12) следует

Fn = EI π2 n2 . l2

Минимальное значение силы достигается при n = 1:

F1 = EI π2 . l2

Это и есть искомое значение критической силы. При F < F1 = Fкр стержень остается прямолинейным. При F = Fкр равновесными будут состояния с любым прогибом и любым значением амплитуды B (Рис. 4.28). Реально, при больших значениях B деформации перестают быть малыми, и требуется более строгая теория. Эта более строгая теория и дает конкретную формулу при F > Fкр.

Состояния n = 2,3,… являются неустойчивыми. Их можно наблюдать, например, если дополнительно закрепить стержень шарнирной опорой в средней точке (Рис. 4.28). Для такого крепления: Fкр = F2 = 4F1.

33

5.ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УПРУГИХ СРЕДАХ

5.1.Продольные волны в стержне

5.1.1. Волновое уравнение

Рассмотрим однородный стержень бесконечной длины. Плотность материала стержня ρ, модуль Юнга E, сечение S. После удара в торец стержня, вдоль него побежит волна упругой деформации. Смещение u в любой точке будет зависеть от времени:

x(t) = x +U (x,t)

По закону Гука на сечение x действует сила:

F(x,t) = ES	∂u(x,t)	,	(5.1)
	∂x
			x

F(x-∆x/2)			F(x+∆x/2)

Рис. 5.1

Выражение для суммарной силы, действующей на выделенный элемент бруска (Рис. 5.1) с объемом ∆V = S∆x и массой ∆m =ρ∆V =ρS∆x , может быть записано в виде:

∆F = F(x + ∆2x) − F(x − ∆2x) ≈ ∂F∂(xx) ∆x ,

или, с учетом (5.1),

	∆F =	∂2u(x,t)	SE∆x .
		∂x2

При отличной от нуля силе ∆F выделенный элемент бруска будет двигаться с ускорением:

34

= ∂2u(x,t) ax ∂t2

Согласно второму закону Ньютона: ∆max = ∆F , или

ρS∆x ∂2u = SE∆x ∂2u .

∂t2 ∂x2

После сокращения подобных членов это уравнение приводится к виду:

u(x)	f				∂2u		= c2 ∂2u		,
					∂t2		1	∂x2
				представляющему					собой
		c1		уравнение волнового движения,
				где	c =	E		-	скорость
					1	ρ
				движения			волны.		Решение
				этого	уравнения может					быть
				записано в виде суммы двух
0	20	40	60	членов:
				80
		x		u(x,t) = f (x −c1t) + g(x + c1t),
		Рис. 5.2		где f	и	g	–	произвольные
u(x)				функции. Волна возмущения f
			g	распространяется						без
				изменения		своей		формы		по
				направлению оси x (Рис. 5.1), а
		c1		волна	g -	в противоположном
				(Рис. 5.2) направлении (прямая

волна и обратная волна).

0

20

40

60

80

x

Рис. 5.3

35

Лекция 5

5.1.2. Звуковые волны в тонком стержне

Рассмотрим характеристики звуковой волны, распространяющейся в бесконечном упругом стержне. Для определенности будем говорить о звуковой волне определенного тона (частоты):

u(x,t) = B cos(kx −ωt + ϕ0 ) ,

такие волны называются гармоническими. Аргумент гармонической функции ϕ = kx −ωt + ϕ0 называется фазой волны,

ϕ0 - начальная фаза;

ω= 2Tπ - циклическая частота;

T- период колебаний волны; k = 2λπ - волновое число;

λ - длина волны.

Очевидно, что ωk = Tλ = c1 - скорость распространения волны.

При выводе основных формул распространения волн в стержне, мы рассматривали стержень бесконечной длины, который, формально говоря, всегда можно считать тонким (длина гораздо больше толщины). С физической точки зрения, в распространяющейся вдоль стержня волне есть характерный линейный параметр - длина волны, поэтому выведенные в предыдущем разделе формулы оказываются справедливыми не для всякого стержня. Необходимо, чтобы стержень является тонким на отрезке длиной λ, т.е. для поперечных размеров стержня H должно выполняться условие:

H << λ.

Оценим длину волны звуковых колебаний для стального стержня. Величина λ = c1 T определяется скоростью распространения волны,

постоянной для данного вещества, и периодом ее колебаний. Для стали

11	Н		3 кг
E = 2 10		, ρ =8 10	м3 , откуда следует
	м2
		c =	2 1011	= 0,5 104 =5000 м =5 км ,
		1	8 103	с	с

36

что более чем в 10 раз превышает скорость звука в воздухе cg ≈ 0,3 кмс .

	Частота ν =	1	для звуковых волн лежит в диапазоне от 20 Гц до 20 кГц.
		T

Возьмем для оценок ν =50 кГц, что соответствует частоте ультразвуковых колебаний, тогда

	λ =	c	=	5 103	= 0,1м.
		1
				50 103
		ν

Очевидно, колебания звукового диапазона будут обладать еще большими длинами волн. Значит, стальной стержень диаметром 1 см уже можно считать тонким для задач по прохождению звуковых волн.

5.2.Волны в тонких пластинках

Рассмотрим тонкую, широкую и длинную пластину из однородного материала с плотностью ρ и модулем Юнга E (рис. 5.4).

x

z y

∆y

Рис. 5.4

Предположим, что вдоль оси x в пластине со скоростью c2

распространяется возмущение продольного растяжения-сжатия (смещения u(x,t) происходят вдоль оси x и не зависят от y и z). Для анализа этого процесса выделим в направлении x узкий фрагмент пластины, «брусочек», шириной ∆y (рис. 5.4). На рисунке 5.5 изображен вид сверху (в направлении оси z) на пластину с выделенным фрагментом. По обе стороны от этого фрагмента выделим еще по такому же узкому бруску. Если в области ∆x эти бруски испытывают деформацию сжатия в направлении x, то по закону Пуассона они увеличивают свои размеры в

37

направлении z. Но в направлении y они друг другу «мешают», т.к. каждый из соседей хочет увеличить свои размеры, и на границу раздела этих брусков начинают действовать противоположные по направлению, но равные по величине силы.

x

∆x

∆y ∆y ∆y

y

Рис. 5.5

Эти силы уравновешивают друг друга и препятствуют изменению размеров брусков в направлении y. Мы имеем задачу о продольных волнах

встержне с запрещенными боковыми смещениями, которую уже решали.

Втаком стержне продольные упругие деформации по-прежнему подчиняется закону Гука

	F	= E			∂u ,
	S			эф ∂x
	но с эффективным модулем Юнга E		эф	=			E	.
					1		−ν2

Применяя к нашему бруску те же рассуждения, что и к свободному
стержню в разделе 5.1, получим для деформации u(x,t)		следующее
волновое уравнение
∂2u	= c2 ∂2u
∂t2	2 ∂x2

	38
где
c	= Eэф .
2	ρ

Прием, который мы применили, рассматривая тонкие пластины, можно использовать и для анализа распространения волны в неограниченных средах.

5.3.Волны в неограниченных упругих средах

5.3.1. Продольные волны

Рассмотрим волны, связанные с деформациями растяжения-сдвига в неограниченных упругих средах, причем направление этих деформаций совпадает с направлением распространения волны. Такие волны

x

z

y

Рис. 5.6

называются продольными. Пусть волна распространяется в направлении x, и величина смещения u(x,t) не зависит от y и z. Выделим тонкий брусок с малыми размерами ∆y,∆z, вытянутый в направлении x (рис. 5.6). Рассуждениями, аналогичными приведенным в предыдущем разделе, можно показать, что при продольных деформациях растяжения-сжатия в направлении x поперечные деформации в направлении y и z будут запрещены. Мы имеем задачу о продольных деформациях в стержне с полностью запрещенными боковыми смещениями. Полученное нами ранее решение показывает, что закон Гука для продольных деформаций выполняется:

39

FS = Eэф′ ∂∂Ux ,

но значение эффективного модуля Юнга оказывается другим:

′		E(1−ν)	.
Eэф =	(1	+ ν)(1− 2ν)

В соответствии с этим, скорость распространения плоской волны в

неограниченном упругом теле: c	′
	= Eэф
3	ρ
x

x)

z

y

Рис. 5.7

5.3.2. Поперечные волны

Кроме деформаций растяжения-сжатия, в упругом теле возможны и деформации другого типа - сдвиговые. Пусть два соседних слоя (yz) в непрерывной среде, отстоящие друг от друга на величину ∆x испытывают сдвиг относительно друг друга в направлении z (рис. 5.7). Такое упругое возмущение будет распространяться как плоская волна в направлении оси x. Скорость распространения такой волны, как можно показать, будет

равна c =	µ	, где µ – модуль сдвига. Такие волны, при которых смещения
	ρ

точек среды перпендикулярны направлению распространения волны, называют поперечными или сдвиговыми. Если в случае продольных волн

40

достаточно было указать направление распространения волны, то поперечная волна только лишь своим направлением охарактеризована быть не может. Существенным будет еще и направление, в котором происходят сдвиговые деформации. При движении вдоль оси x, сдвиговые деформации могут происходить вдоль z или y, эти направления называются направлениями поляризации волны. Дополнительная характеристика – поляризация, есть неотъемлемое свойство поперечных волн. Поляризацию поперечной механической волны можно измерить (определить) различными экспериментальными методами. Световые волны при первых попытках их теоретического описания, тоже пришлось отнести к поперечным, поскольку была обнаружена их поляризация. Продольные волны поляризацией не обладают.

5.4Скорости распространения упругих волн

Сравним скорости распространения упругих волн в изученных случаях:

Продольные:

Стержень	c = E		; E
	1	ρ

Пластина	c2	=
Неограниченная среда	c3	=
Поперечные:
Неограниченная среда	c =

Поскольку µ < E < Eэф < Eэф′ , то

Eэф ;

ρ

Eэф′ ;

ρ

µρ ; c < c1

Eэф =1−Eν2

′		E(1−ν)
Eэф =	(1	+ ν)(1− 2ν)

µ = 2(1E+ ν)

< c2 < c3 .

5.5.Крутильные волны в стержнях

Рассмотрим малый (длиной ∆x) фрагмент стержня радиуса R, испытывающего крутильные возмущения. Угол поворота данного фрагмента (деформация кручения) может быть описан выражением:

∆ϕ = ϕ(x) −ϕ(x − ∆x) ≈ ∂∂ϕx ∆x .

Действующий в сечении x момент сил, соответствующий этой деформации, есть