[ Филиппов ] Гидродинамика (лекции)

21

	2	2	2
f1 = η d v1		+ d v1	+ d v1	.
	dx2	dx2	dx2
	1	2	3

Заметим, что

∂2		∂2		∂2
	+		+		= ≡ ∆,
∂x2		∂x2		∂x2
1		2		3

где ∆ – оператор Лапласа. Окончательно, сила вязкого трения, отнесенная к единице объема:

fi = η∆vi

или

f = η∆v .

При учете этих сил, в уравнении Эйлера нужно добавить еще один член:

ρddvt = −grad(P ) +f ;

ρddvt = −grad(P ) +η∆v .

Найденное уравнение называется уравнением Навье–Стокса для жидкости с вязким трением.

3.3.Примеры течений вязкой жидкости

3.3.1. Течение Куэтта

Течение Куэтта. Две очень больших плоских параллельных пластины на расстоянии H друг от друга, верхняя движется относительно нижней со скоростью v:

ρ∂v = −∂P +η ∂2v = 0, ∂t ∂y ∂y2

но ∂∂Py = 0 , иначе возникла бы компонента скорости вдоль y, значит

22

∂∂2v2 = 0 ; y

v =v0 Hy – линейная зависимость скорости от расстояния до нижней неподвижной пластины.

3.3.2. Течение Пуазейля между двумя пластинами

Две очень большие неподвижные пластины на расстоянии h друг от друга. Стационарное течение вдоль направления x, расстояние от нижней пластины до исследуемой точки - y.

	vx =v(y)	;		∂P			= 0 ;		P =P (x) ;
				∂y
	ρdv				∂v		+ v	∂v		= 0 ,
		=ρ
					∂t
	dt							∂y

т.к. реальных ускорений нет, стационарный поток.

−∂P + ∂2v = 0; ∂x ∂y2

∂2v	=	1	∂P .
∂y2
		η ∂x

Левая часть зависит только от y, правая только от x. Значит, они могут быть только постоянными.

Интегрируем: b ≡ −∂∂Px > 0 ,

∂∂yv = −bηy + A ;

v = −2bηy2 + Ay +B .

23

При y = 0 и y = h v = 0 следовательно B = 0; A = bh2η ;

v = 2bηy(h −y) = −21η ∂∂Px y(h −y) .

Параболическая зависимость скорости от расстояния до неподвижных пластин.

Найдем силу, действующую на единицу площади пластин:

fx = η

∂v

y=0 = −h

∂P

;

∂y

2 ∂x

fx > 0 ;

∂P

< 0 – давление падает.

∂x

Средняя скорость потока:

1 h

bh 2

bh 2

bh 2

vm =

∫v(y)dy =

4η −

6η =

12η ;

h

0

vm = − h 2 ∂P . 12η ∂x

3.3.3. Течение Пуазейля в круглой трубе

Течение происходит в направлении оси x, совпадающей с осью трубы. Расстояние от точки измерений до оси трубы: r = y2 +z 2 .

Из соображений симметрии:

vx =v(r ) ; vy = 0 ; vz = 0 ;

∂P			= 0 ;		∂P	= 0 ;
∂y					∂z
−	∂P			+η∆v = 0 .
		∂x

	24
Поскольку течение стационарное,	∂v	= 0 , и	∆v от x не зависит. Отсюда
следует:	∂x

− ∂∂Px =b =const .

Оператор Лапласа в цилиндрически симметричном случае есть:

	−1	d		d
∆ =r			r		;
		dr		dr

отсюда:

d		dv		br
	r		= −	η	;
dr		dr

r dv = −br 2 + A ; dr 2η

∂∂vr = −br2η + Ar .

Чтобы ∂∂vr было везде конечно (и при r = 0), нужно, чтобы выполнялось условие A = 0:

v = −br 2 +B .

4η

При r = R скорость v = 0, значит B = bR2 , и 4η

v= −41η ∂∂Px (R2 −r 2 )

–параболический профиль скоростей.

Средняя скорость:

25

	1		R 2π		b	R
vm =			∫∫vrdrdϕ =			∫(R2 −r 2 )rdr ;
	πR	2			2R2η
		0		0	0

= bR2 vm 8η .

Расход жидкости:

Q =Svm = πR2 bR2 = πbR4 ; 8η 8η

Q =	πR4		dP		;
	8η		dx

Q = πR4 P1 −P2 . 8η l

	Сила на единицу площади:
	fx = −ηdv		r =R = bR	= −R	∂P	.
	dr		2	2 ∂x

3.4.Число Рейнольдса

Мы рассмотрели силы вязкого трения и несколько примеров течения вязкой жидкости. Как охарактеризовать степень влияния вязкости на характеристики потока? Одним из критериев служит коэффициент сопротивления CD , он характеризует отношение силы вязкого трения

	f = F	и так называемого скоростного напора	1	ρv	2	, где v	– средняя
			2
	S

скорость потока: CD = ρ2vf2 . Рассчитаем значение этого коэффициента для случая вязкого течения в трубе радиуса R.

Для средней скорости было получено выражение:

			26
	v	=vm =	bR2	;	b = −	∂P	.
			8η			∂x

С другой стороны,

f = SF = −η∂∂vr r =R ,

знак (–) потому, что с ростом r расстояние до стенки уменьшается. Но, v = −41η ∂∂Px (R2 −r 2 ),

и

	∂v		r =R =	1	∂P R ,
	∂r
				2η ∂x

f = −R2 ∂∂Px .

Отсюда

−R

∂P

8η

CD =

∂x

=

.

R

2

∂P

ρvR

−

ρv

8η ∂x

Обозначив ν = ηρ (кинематическая вязкость жидкости) и вводя число Рейнольдса:

Re = Rνv ,

получим
CD =	8	.
	Re
Для течения между двумя пластинами			CD =	4	, где	Re = hv	.
				Re		ν

27

Коэффициент CD показывает, насколько эффективно тормозится поток силами вязкого трения, Re – в какой степени жидкость можно

рассматривать как невязкую. Из опытов следует, что силы вязкого трения становятся существенными при Re <1, при Re >1жидкость можно

рассматривать как невязкую. Но даже в этом случае малые силы вязкости играют определенную роль. Рассмотрим два типа потока. Введем краску в струю. (1) называется ламинарным. Поперечные составляющие скорости, возникающие случайно, гасятся силами вязкого трения. (2) – течение турбулентное, возникает при очень низкой вязкости среды. Дадим некоторые оценки течения жидкости по трубе радиуса R. Для воды

η≈10−3

кг

; ρ =103

кг

и

ν =10−6 м2 .

R

e

=

Rv

.

При v =10−2 м

и

м с

м3

с

ν

с

D =10−2 м

находим:

Re ≈100 . Это

означает,

что воду можно

с

кг

рассматривать как невязкую жидкость. При течении глицерина η≈1,4

,

м с

ρ =1,3 103 кг

и

R ≈ 0,1

–

течение вязкое.

Для

воздуха ρ =1,3

кг

;

м3

e

м3

м2

η≈1,8 10−5

кг

;

ν =10−5

;

R ≈10 . Воздух (газы) более вязкий объект,

м с

с

e

чем вода.

4.ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТЕЛА С ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ

4.1.Поток идеальной жидкости

Обтекание шара идеальной жидкостью (ламинарный поток).

Уравнение Бернулли:P +	ρv	2	=P +	ρv2	.
		0
0	2			2
При симметричном потоке			скорости		симметричны относительно				оси
′		Распределение давлений P =P0				+	ρv	02	ρv2	.
О−О , струи огибают шар.							2	−	2

Симметричные картины скоростей приводят к симметричной картине давлений. Сила сопротивления жидкости (лобовое давление) равно нулю. Этот результат носит название парадокс Даламбера.

4.2.Тело в потоке вязкой жидкости

Качественную картину обтекания тела потоком вязкой жидкости со

28

скоростью v0 можно наблюдать на примере обтекания цилиндра радиуса

R , для которого можно ввести число Рейнольдса Re = Rvν0 .

•Re ≈10−2 , непрерывное обтекание, ламинарный поток;

•Re ≈ 20 , образование стационарных вихрей;

•Re ≈ 200 , нестационарное, но периодическое отрывание вихрей, вихревая дорожка;

•Re ≈105 , нерегулярное, нестационарное движение, турбулентный след.

Качественно все определяется числом Рейнольдса. Количественно - зависит от геометрии задачи.

Рассмотрим шар, радиуса R . Для него тоже можно ввести число Рейнольдса Re = Rvν0 . При малых числах Рейнольдса вокруг сферы

возникает пограничный слой, в котором скорость меняется от значения, характерного для идеальной жидкости, до нуля. Толщина этого слоя

	δ ≈	R	. Сила вязкого течения о поверхность шара по порядку величины
		Re	= ηdv		v0
	равна f			≈ η		– растет с ростом скорости. При Re ≈1 говорить о
					δ
			dy

слое некорректно. Область изменения скорости сравнима с R . Точные расчеты в этом случае дают для величины лобового сопротивления шара формулу Стокса:

F|| = 6πηRv0 .

Эту формулу используют для измерения коэффициента вязкости. Для движения шарика плотности ρ1 в вязкой жидкости плотности ρж , вес

шарика с учетом

силы Архимеда:

F =

4 πR3 (ρ −ρ

ж

).

При

некоторой

3

1

скорости

вес

уравновешивается

силами

вязкого

трения:

4 πR3 (ρ −ρ

ж

)= 6πηRv . Замеряя v

при известных ρ ,

ρ

ж

и

R , находим

3

1

1

значение η.

		29
			При	больших		значения		числа
	ФОРМА ТЕЛА	Cx
			Рейнольдса				( Re ≥100 )
	диск поперек потока	1,11
			пограничный		слой		становится
	полусфера (круглой частью	1,35-1,40
	назад)		очень	тонким,		а	градиенты
			скорости в			нем	-	очень
	полусфера (круглой частью	0,3-0,4
	вперед)		большими. Частицы среды,
			движущиеся		вдоль		поверхности
	шар	0,4
			шара,	сильно		тормозятся и
	капля (острием вперед)	0,1
			оказываются		не в		состоянии
	капля (острием назад)	0,045

обогнуть шар, они отрываются от поверхности и позади шара возникает зона хаотичного движения частиц жидкости, зона турбулентности. В передней части шара давление как в

отсутствие трения, скорость замедлена P					≈P +	ρv2
							0 . С обратной стороны
					0		2
скорость большая и P ≈P0 . Возникает
					сила		лобового сопротивления
F ~ v2 :
|| 0
F	=C		S	ρv2
		x			0 ,
||				2
где S - площадь поперечного сечения тела, а Сx							- коэффициент лобового

сопротивления для тел данной формы (см. таблицу). Последний случай (капля, движущаяся тупым концом вперед) - хорошее обтекание, сужение в

задней части тела плавное, отрыв струи		затруднен. Эту формулу можно
обобщить, считая	Сx =Сx (Re ), т.е.	функцией числа Рейнольдса.

Качественно, эта зависимость по мере роста Re может быть разбита на несколько участков.

•Участок I - неотрывный поток, ламинарное течение, сопротивление определяется наличием пограничного слоя, в котором проявляются

эффекты вязкости, F ~ v , C	x	~	1 .
||			v
• Участок II – возникновение зоны турбулентности, F ~ v2				,
			||

Cx =const .

•Участок III – турбулентность захватывает пограничный слой, слой, примыкающий к телу, «турбулезуется». Это сопровождается уменьшением зоны отрыва течения, уменьшением Cx (кризис сопротивления).

•Участок IV – весь пограничный слой турбулезован. Дальнейшее

30

увеличение Re не меняет уменьшенного значение коэффициента

Cx , F|| ~ v2 .

Можно отметить, что кризис сопротивления начинается при скоростях, когда заметным становится эффект сжимания жидкости. Эти скорости

можно оценить по значению числа Маха M =vc , где c – скорость звука в

жидкости (газе). При M <<1 жидкости (газы) можно считать несжимаемыми. При заметном возрастании M кризис сопротивления сдвигается к большим значениям Re . Случай M >1 (сверхзвуковое

обтекание) будет рассмотрен отдельно.

4.3. Закон подобия

Мы видим, что все определяется числом Re , которое зависит от скорости и

линейных размеров системы. Поэтому, не меняя формы системы, мы можем уменьшить ее размер, но увеличить скорость потока. Результат - характер обтекания тела потоком не изменится. Этот закон называется законом подобия, он используется в технике для исследования свойств больших объектов на малых моделях.

4.4.Подъемная сила

4.4.1. Эффект Магнуса

Кроме лобового сопротивления F|| на тело в потоке могут действовать силы направлению потока. Такая силаF называется подъемной силой.

Эффект Магнуса. Вращающийся цилиндр в потоке жидкости. Жидкость (газ) в пограничном слое увлекается движущейся поверхностью цилиндра. В результате скорость потока с одной стороны уменьшается, а с другой – увеличивается: v1 <v2 , но

P1 + ρv212 =P2 + ρv222 ;

следовательно P1 >P2 . Возникает подъемная сила F . Одно время на

основе этого эффекта пытались создать корабли, в которых вращающиеся цилиндры заменяли бы паруса (цилиндры Флеттнера), однако это оказалось не эффективно. Однако в теннисе, в футболе закручивание мяча часто используется для изменения траектории его полета.