[ Филиппов ] Гидродинамика (лекции)

31

4.4.2. Подъемная сила крыла

Рассмотрим крыло, длиной L и такого сечения, которое в максимальной степени позволяет сохранять поток ламинарным. Линия AB (максимальный размер в направлении потока) называется хорда. Крыло параллельно потоку, картина симметрична относительно оси сечения, подъемной силы нет.

Повернем теперь крыло на небольшой угол α по отношению к потоку. Угол α называют углом атаки. Такой поток неустойчив. У задней кромки крыла возникают и отрываются вихри. Их можно наблюдать в современных аэродинамических трубах с помощью специального оборудования. Вихри уносят момент количества движения, в результате вокруг крыла возникает круговой поток (вихрь) с противоположно направленным направлением вращения. В результате получаем картину обтекания, как в случае с эффектом Магнуса. Вихревое движение по контуру, охватывающем крыло, (присоединенный вихрь, по Жуковскому) захватывает область ВНЕ пограничного слоя (пограничный слой на дозвуковых скоростях – несколько см).

Суммарный поток, с учетом присоединенного вихря приводит к возникновению подъемной силы: v1 < v2 ; p1 > p2 . Связь подъемной силы с

характеристиками присоединенного вихря дает формула Жуковского.

Рассмотрим схематично крыло: L – длина крыла, b – хорда, наибольшее расстояние между задней и передней кромкой крыла.

dF = Ldl(P1 −P2 );

P =P +		ρv2	ρv	2
		0 −		i ;
i	0	2	2

P1 −P2 = 12 ρ(v22 −v12 )= 12 ρ(v2 +v1 )(v2 −v1 );

v1 +2v2 ≈v0 ; P1 −P2 ≈ρv0 (v2 −v1 ); dF =ρv0L(v2 −v1 )dl ;

b

F = ∫dF =ρv0L∫(v2 −v1 )dl .

0

32

b

Величина Г = ∫(v2 −v1 )dl – циркуляция.

0

4.4.3. Формула Жуковского

Для плоского крыла (пластина), Г пропорциональна углу атаки:

Г = 12 πbv0α.

Для профильного крыла подъемная сила существует и при α = 0 , она исчезает при отрицательных значениях угла атаки.

Казалось бы, увеличение угла атаки всегда выгодно, но это не так. Существует для каждого профиля крыла свой максимальный угол атаки (критический или посадочный), при котором F максимальна. При α > αкр

подъемная сила падает из–за срыва потока и возникновения завихрений, приводящих к повышению давления над крылом. Почему αкр называется

еще и посадочным? Во время посадки максимальная безопасная скорость vпос . Поскольку

Г =cv0α,

должно выполняться условие: F =mg =cvпосαкр , где m – масса самолета.

Реально в современных самолетах меняют профиль крыла, чтобы увеличить подъемную силу при малых скоростях при посадке.

4.4.4. Качество крыла

Важной характеристикой крыла является его «качество», отношение подъемной силы к лобовому сопротивлению. k = FF . Для легких

спортивных самолетов и истребителей эта величина k =12 −15. Для грузовых и пассажирских самолетов k ≈17 −25 .

4.4.5. Точка приложения подъемной силы

Существенно отметить, что точка приложения подъемной силы даже для плоского крыла смещена из–за общих закономерностей потока к передней кромке крыла. Эта сила стремится «развернуть» крыло поперек потока. Если, например, мы возьмем пластинку и закрепим ее на центральной оси, то поток все время будет разворачивать ее поперек.

33

5.СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ

5.1.Конус Маха

Рассмотрим однородный поток газа, распространяющегося со скоростью v . Найдем скорость, с которой в этом потоке могут распространяться возмущения. В системе координат, связанной с потоком, возмущение будет распространяться со скоростью звука c от точки возникновения возмущения A равномерно во все стороны: R = ct .

Теперь перейдем в систему координат стороннего наблюдателя. Скорость возмущения v′ будет складываться из скорости звука и скорости потока:

v′= v +c . Если M = vc <1, то мы имеем следующую картину дозвукового

течения: получается несимметричная картина скоростей распространения возмущений, причем они могут распространяться как вдоль, так и против движения потока.

Иная картина при сверхзвуковых скоростях. Мы видим, что скорости распространения возмущений в сверхзвуковом потоке могут находиться только внутри некоторого конуса. Найдем его параметры. Угол раствора

	этого конуса 2α, где sin α = c	=	1	. Этот угол - угол Маха. Поверхность,
			M
	v

ограничивающая область распределения возмущений - поверхность (конус) Маха.

5.2.Ударная волна

Задача движения тела со сверхзвуковой скоростью соответствующим выбором системы координат сводится к задаче обтекания неподвижного тела сверхзвуковым потоком. Эту задачу мы сейчас и рассмотрим в общих чертах.

Простые соображения показывают, что перед телом, при обтекании его сверхзвуковым потоком, возникает ударная волна. В потоке возмущения, вызванные наличием тела, могут распространяться только вниз по течению и частицы потока должны были бы достигать поверхности тела со скоростью v . Но на поверхности тела скорость должна быть равна нулю, бесконечных сил не бывает, поэтому в установившемся потоке должна образоваться зона, в которой скорость падает от v до нуля. Эта тонкая зона с большим градиентом давления (скачком давления) называют

34

ударной волной. Скачек давления - т.к. только увеличение давления вдоль траектории может затормозить частицы потока. Между передним концом тела и ударной волной движение газа становится дозвуковым. Это - головная волна. Если наше тело с тупым передним концом - ударная волна с телом не соприкасается. Поверхность ударной волны уходит на бесконечность, ослабевая по мере удаления от области своего зарождения. На расстояниях, во много раз больших размеров обтекаемого тела, эта волна близка по форме к конусу Маха.

Ударная волна может соприкасаться с телом, если его передний конец заострен. Тогда головная волна тоже обладает точкой заострения, совпадающей с острием тела. Такая картина оказывается возможной при значениях числа Маха, превышающих определенный предел (M >Mкр >1), при малых скоростях все равно существует отрыв ударной

волны от острия.

5.3.Лобовое сопротивление

Наличие острия уменьшает сопротивление потоку, даже если острие (игла) приделано к телу с тупым концом. Обтекание тела происходит при более благоприятных условиях, чем без иглы. На образование ударной волны тратится энергия, поэтому лобовое сопротивление оказывается выше, чем для дозвуковых скоростей. Лобовое сопротивление для ударной волны с заострением оказывается ниже, чем для случая закругленной лобовой волны. При больших M , как и в случае дозвукового обтекания при больших Re , пропорционально квадрату скорости (квадрату числа Маха),

	т.е. F = c		ρv2	. Значение	C	x	(M )	качественно можно изобразить
		x 2
	||

следующим образом. Для заостренным тел Cx при сверхзвуковых потоках лишь ненамного превышает Cx для дозвуковых.

Отдельная тема - гиперзвуковые потоки ( M >>1), например, случай спускаемых космических аппаратов. Сильное нагревание вблизи поверхности тела из-за резкого адиабитического сжатия газа и выделения теплоты вследствие вязкого трения.

5.4.Хорошо обтекаемые тела

Дозвуковые скорости.

•Капля. Уменьшает вероятность отрыва течения и возникновение зоны турбулентности

•Заостренный передний край приводит к резкому возрастанию

35

давления вдоль пограничного слоя в носовой части и к быстрому отрыву потока.

Сверхзвуковые скорости:

•Тело типа "веретено" с заостренными передней и задней частями.

6.ЖИДКОСТЬ В ПОЛЕ ВНЕШНИХ СИЛ

6.1.Основные уравнения

Как мы знаем, для сжимаемой жидкости мы можем записать: dPdt =c 2 ddtρ - материальное уравнение.

∂∂ρt +div(ρv) - уравнение непрерывности

ρddvt = −gradP - уравнение Эйлера.

Уравнение Эйлера - второй закон Ньютона.

Ускорение вызывается силой, связанной с перепадом давлений. Если среда оказывается еще и в поле массовых сил f , где f = mF - сила, действующая

на единицу массы среды;

тогда

ρ

dv

= −gradP +ρf или

dv

= −

gradP

+f

dt

dt

ρ

Если имеется ввиду сила тяжести, то

f =

F

=

mg

= g и

dv

= −

gradP

+g .

m

dt

m

ρ

6.2.

Барометрическая формула

Стационарная атмосфера.

dv

= 0 Меняется только вдоль x .

∂P

= −ρg , т.к.

проекция вектора g на x

dt

∂x

отрицательна. Будем считать воздух близким к

идеальному газу, тогда в неком объеме V :

m

m

RT

1 ∂P

µg

г

pV =

µ RT ;

V =ρ;

P =ρ µ

или

= −

;

µ = 29

. Для

P

∂x

RT (x)

моль

качественной

оценки

примем T (x )≈T

= 250К

при этом

отклонение в

пределах 100 км от поверхности Земли не более 15%.Получаем:

∂lnP = −

µg

; P =P exp −

µg

=P exp −

x

, где H

x

= RT

≈ 7,4км -

0

∂x

RT

0

RT

0

H

µg

0

приведенная высота атмосферы, т.е. каждые 7,4км давление уменьшается в e ≈ 2,7 раз.

36

ЗАДАЧИ

1.Найти скорость звука в гелии (γ = 5/3) при давлении 107 Па, если плотность гелия при давлении 105 Па составляет 0,18 кг/м3?

2.Какую силу лобового сопротивления испытывает самолет, летящий со скоростью 720 км/час, если качество крыла самолета составляет K = 20,

общая длина крыльев 30 м, величина циркуляции потока на крыле Γ = 60 м2/сек, а плотность воздуха равна 1,3 кг/м3?

3.Каков перепад давления воды на длине 1 м трубы диаметром 1 см, если вода протекает через трубу со средней скоростью 0,4 литра в секунду? Плотность воды равна ρ = 1,0 103 кг/м3, а кинематическая вязкость ν =

1,0 10-4 м2 .

сек

4.С какой скоростью стальной шарик (ρсталь = 7,5 103 кг/м3) радиуса 10 мм коснется дна заполненного глицерином (ρглиц = 7,5 103 кг/м3, ηглиц =

1,5 мкгсек ) высокого сосуда? Можно ли при этом считать поток глицерина, огибающий шарик, ламинарным?

ЛИТЕРАТУРА

Основная литература:

1.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т. 6. Гидродинамика М: Наука, 1986, 1988.

2.В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев. Механика сплошных сред. М., Физфак МГУ, 1998.

(Интернет-версия: http://phys.web.ru/db/msg/1164708/lect1-1.html)

3.К.В.Лотов. Физика сплошных сред. М., Ин-т компьютерных

исследований, 2002. Дополнительная литература:

1.Фейман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Феймановские лекции по физике, т. 7. Физика сплошных сред. М: Мир, 1967.

2.Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. М: Наука, 1982.

3.Седов Л.И. Механика сплошных сред. В 2-х т. М: Наука, 1973.

4.Островский Л.А. Вопросы динамики жидкости. Горький, ГГУ, 1982.

5.Курин В.В., Островский Л.А., Прончатов-Рубцов Н.В. Сборник вопросов и задач по механике сплошных сред: гидромеханика. Горький, ГГУ, 1989.