[ Благовещенский, Пламеневский ] Математический анализ. Задачи для самостоятельной работы студентов 1 курса

9

4.6. Определение. Пусть A любой из отрезков [a, b], [a, b), (a, b], (a, b). Пусть функция f задана на множестве A. Модулем непрерывности функ-

öèè f называется функция δ 7→ω(δ), определенная для δ (0, b − a)

равенством

ω(δ) = sup{|f (x1) − f (x2)|},

ãäå supremum вычисляется для всех таких x1, x2, ÷òî |x1 − x2| 6 δ.

4.7. Найти модуль непрерывности функции f (x) = x1 на промежутке

[1, ∞).

4.8. Пусть функция f задана и непрерывна на конечном замкнутом отрезке [a, b]. Тогда

lim ω(δ) = 0.

δ→+0

4.9. Пусть функция f задана и непрерывна на конечном открытом ин-

тервале (a, b). Для того, чтобы f была равномерно непрерывна на (a, b), необходимо и достаточно выполнение равенства

lim ω(δ) = 0.

δ→+0

4.10. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции конечно или счетно.

5 Производная

5.1. a) Пусть функция f определена на [a, b] и для любых x1, x2 [a, b] справедливо неравенство

|f (x1) − f (x2)| 6 C|x1 − x2|α,

ãäå C постоянная и α > 1. Доказать, что f постоянна на [a, b]. b) Пусть функция f äëÿ âñåõ x [a, b] удовлетворяет условию

f (x + x) − f (x) = A x + ϕ(x, x),

ãäå |ϕ| 6 C| x|3. Доказать, что f (x) = Ax + B.

5.2. Найти f ′(a), åñëè

f (x) = (x − a)ϕ(x),

где функция ϕ непрерывна при x = a.

10

5.3.Пусть функция f дифференцируема в точке x0 è f (x0) 6= 0, а функция g непрерывна, но не дифференцируема в x0. Доказать, что функция f g не является дифференцируемой в x0. Верно ли это утверждение, если обе функции f è g не дифференцируемы в точке x0?

5.4.Пусть функция f непрерывна в точке x0 и существует предел

lim f ′(x) = A.

x→x0+0

Доказать, что существует правая производная

f+′ (x0) = lim	f (x0 +	x) − f (x0)	= A.
		x
x→+0

5.5. Пусть f имеет ограниченную производную на (a, b). Доказать, что f равномерно непрерывна на (a, b).

5.6. a) Пусть функции f è g дифференцируемы на промежутке [a; +∞). Доказать, что если f (a) > g(a) è ïðè âñåõ x > a справедливо неравенство

f ′(x) > g′(x), òî f (x) > g(x) ïðè âñåõ x > a.

b) Пусть x > −1 è x 6= 0. Доказать, что

(1 + x)α

>

1 + αx,

åñëè α > 1 èëè α < 0;

(1 + x)α

<

1 + αx,

åñëè 0 < α < 1.

c) Пусть x > 0. Доказать, что для любого n N

1 + 2n−1

(−1)kx2k

< cos x < 1 + 2n (−1)kx2k

,

X

X

k=1

(2k)!

(2k)!

(−1)kx2k+1

k=1

2n−1

< sin x < 2n

(−1)kx2k+1 .

X

X

k=1

(2k + 1)!

k=1

(2k + 1)!

d) Пусть x > 0. Доказать, что для любого n N

n

xn

xn+1ex

n xn

X

< ex <

X

+

.

k=0

k!

(n + 1)!

k!

k=0

5.7.a) Найти f (4n)(x), ãäå f (x) = x2 sin x.

b)Найти f (92)(1), ãäå f (x) = (x − 1)86ex.

11

5.8. Пусть функция y = f (x) задана параметрически:

x = arcsin t, y = arccos t, t (0, π/2).

Найти yx′ , yxx′′ . Объяснить результат. 5.9. Найти кривизну эллипса

x = a cos t, y = b sin t, t [0, 2π).

5.10. Сделать замену переменных ex = t в уравнении

yxx′′ + yx′ − 2y = 0.

5.11. Пусть функция f (x) непрерывно дифференцируема и строго монотонна в окрестности точки x = 0 и пусть функция y(x) задана в окрестности x = 0 соотношениями

Найти d

d x

f (x) + f (y) = 2f (0), y(0) = 0.

(y (y(x))) в окрестности x = 0.

5.12. Написать уравнение касательной к кривой

x2 sin(πy) + ex−y − y = 0

в точке x = y = 1.

5.13. Построить следующие кривые:

p

1. y = 3 (x − 1)2x + x3 ;

2.	x = t3 − 3t, y = 2t3 + 3t2 − 12t − 4;
3.	x4 − y4 = x3 − y3;
4.	(x2 + y2)2 = x3 − 3xy2.

6 Первообразная. Определенный интеграл.

6.1. Найти первообразные

1. R ex+1 dx,

e4x+e2x

12

2. R x√1 + x + x2 dx,

3. R (2x + 1) ln(x2 + x5) dx.

6.2. Определение. Пусть функция f задана на отрезке [a, b], è a = x0 <

x1 < . . . < xn = b. Положим Mi = supx [xi,xi+1] f (x), mi = infx [xi,xi+1] f (x),

è δ = maxi xi, ãäå xi = xi+1 − xi. Величина

Xn−1

S(f, δ) = Mi xi

i=0

называется верхней суммой Дарбу, а величина

Xn−1

s(f, δ) = mi xi

i=0

нижней суммой Дарбу.

6.3. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b]. a) Доказать, что

S(f, δ) − s(f, δ) 6 (b − a)ω(δ),

ãäå ω(δ) модуль непрерывности функции f (см. определение 4.6).

b)Доказать, что f интегрируема на [a, b].

6.4.Доказать, что изменение интегрируемой функции на конечном множестве точек не нарушает интегрируемости функции и не изменяет величины интеграла.

Указание. Рассмотреть функцию ϕ, равную единице в одной точке

и нулю во всех остальных.

6.5. Доказать, что функция Римана

½

R(x) =	0,		åñëè x иррациональное,
	1	,	åñëè x =	m	,	дробь m	(m 6= 0),
	n			n		n несократима

интегрируема на отрезке [0, 1], è ÷òî

Z β

R(x) dx = 0

α

на любом отрезке [α, β] [0, 1].

13

6.6. Функция Дирихле

½

D(x) =

1, åñëè x рациональное,

0, åñëè x иррациональное,

отличается от функции Римана только в рациональных точках. Доказать, что D не интегрируема на [0, 1].

6.7. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и на нем не равна тождественно нулю. Доказать, что найдется отрезок [α, β] [a, b],

такой, что Z β

f (x) dx =6 0

α

(ср. с задачей 6.5).

6.8. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] è

Z b

f 2(x) dx = 0.

a

Доказать, что f есть тождественный нуль на [a, b].

6.9. Пусть

½	0	x = 0.
f (x) =	sinx x ,	x 6= 0,

Доказать, что f интегрируема на [−1, 1] è

F (x) =	Z−1 f (t) dt
	x

дифференцируема на (−1, 1). Найти F ′(0) и сравнить с f (0).

6.10. Можно ли сходящийся несобственный интеграл от неограниченной функции рассматривать как предел соответствующей интегральной суммы? Обоснуйте ответ.

6.11. Верно ли, что если интеграл

Z +∞

f (x) dx

a

14

сходится, то f (x) → 0 ïðè x → +∞? Рассмотрите пример

Z +∞

sin(x2) dx.

0

Указание. В интеграле R0N sin(x2) dx сделать замену x2 = t и проинтегрировать по частям.

6.12. Пусть функция f имеет непрерывную ограниченную производную на интервале [a, +∞), причем интеграл

Z +∞

|f (x)| dx

a

сходится. Доказать, что f (x) → 0 ïðè x → +∞.

Указание. Рассмотреть интеграл

Z +∞

f (x)f ′(x) dx.

a

6.13. Пусть f нечетная монотонная функция, интегрируемая на лю-

бом конечном промежутке. Найти необходимое и достаточное условие для выполнения равенства

v.p. Z−∞	f (x) dx = v.p. Z−∞	f (x + a) dx.
+∞	+∞

7 Приложения определенного интеграла

7.1. Найти длину части кривой

x = cos t + t sin t, y = sin t − t cos t,

расположенной между точками A(1, 0) è B(π/2, 1).

7.2. Найти длину кривой, заданной в полярной системе координат:

r= a(cos ϕ + sin ϕ).

7.3.Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми

y = 2x3, è y = πx2 sin x.

15

7.4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

r= a(cos ϕ + sin ϕ).

7.5.Найти площадь фигуры

x6 + y6 6 yx4.

Указание. Задать кривую параметрически, полагая t = y/x.

7.6. Найти площадь петли

x = t3 − 7t, y = t2 − 3t.

Указание. Чтобы найти пределы изменения параметра, решите сис-

òåìó

½

x(t1) = x(t2), y(t1) = y(t2)

при условии t1 =6 t2.

7.7. Найти площадь общей части двух фигур

(x2 + y2)2	6 a2(x2 − y2),
x2 + y2	6 √		ay.
		2

7.8. Найти площадь поверхности, полученной вращением фигуры

1			, y =	t
x =
		2		2
1 + t				1 + t

вокруг оси Oy.

7.9. Найти объем тела, полученного вращением фигуры

y > 2x − x2, y + x 6 0

вокруг оси Oy.

7.10. Найти объем тела, полученного вращением фигуры

y4 + x6 6 x2

вокруг оси Ox.

в дне котла?

16

7.11. Найти объем тела, полученного вращением фигуры

x2 + x2y + y2 = x

вокруг оси Ox.

7.12. Найти объем тела, полученного вращением нижнего лепестка фигу-
ðû			(x2 + y2)3 = a3y(x2 − y2)
вокруг оси Ox.
7.13. Найти объем тела, полученного вращением фигуры
вокруг оси	x = −a/2	.	x2 + y2 6 a(px2 + y2 + x)

7.14. Найти объем тела, ограниченного шестью плоскостями, две из которых (основания) параллельны, а четыре других расположены так, что в сечении тела любой плоскостью, параллельной основаниям, получа- ется прямоугольник. Известны высота тела H, длина A и ширина B

нижнего основания, длина a и ширина b верхнего основания.

7.15.Найти потенциальную энергию полушарового кургана радиуса R и плотности ρ относительно основания.

7.16.С какой силой отталкивается заряженный стержень 0 6 x 6 a от заряда q, расположенного в точке x = b (b > a), если линейная плотность заряда стержня равна ρ(x) = kx?

7.17.С какой силой диск радиуса R, заряженный до плотности σ, притягивает заряд величины q, находящийся на высоте H над центром диска?

7.18.За какое время вытечет вода из полушарового котла радиуса R

через малое отверстие площади s R2 √

Указание. Скорость вытекания воды равна v = 2gH, ãäå H высота уровня воды над отверстием.

7.19. Однородная пластина, имеющая форму равнобедренного треугольника с основанием b = 0, 2м и высотой H = 0, 3м, вращается вокруг

основания, делая 1об/мин. Найти кинетическую энергию пластины, если ее масса M = 1êã.

8.2. Пусть

17

7.20.Найти момент инерции однородного правильного шестиугольника плотности 1 относительно его главной диагонали.

7.21.На каком расстоянии от острия сектора раствора α и радиуса R находится его центр тяжести?

8Функциональные последовательности и ряды. Интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость

8.1. Найти пределы последовательностей:

½

	1.	fn(x) =	min(1, nx),			åñëè x > 0,
			max(−1, nx), åñëè x < 1,
		fn(x) = ½
	2.		0,	x )		åñëè x = 0.
			min(n, 1		,	åñëè 0 < x 6 1,

Сходятся ли они равномерно?

fn(x) = xn. Показать, что fn сходится равномерно на отрезке [a, b] (0, 1), но не сходится равномерно на (0, 1).

8.3. Пусть			sin nx
	fn(x) =		√		.
				n
Показать, что f (x) 0 ïðè n		→ ∞	, а последовательность f ′			(x)
n					n
дится всюду.

	8.4. Пусть	x
	fn(x) =
		1 + n2x2
	Показать, что

любом

расхо-

1. fn(x) f (x) ≡ 0 ïðè n → ∞,

2. limn→∞ fn′ (x) =6 f ′(x).

Объяснить результат.

18

8.5. Пусть fn(x) = n2xe−nx ïðè 0 6 x 6 1. Показать, что

1			Z0	1
lim	f	(x) dx =		lim f		(x) dx.
n→∞ Z0	n	6		n→∞	n

Какое условие теоремы о предельном переходе под знаком интеграла нарушено?

8.6. Пусть	½	0,		åñëè x > n.
fn(x) =
		1	,	åñëè 0 6 x 6 n,
		n

Показать, что fn(x) 0 ïðè n → ∞, но величина является бесконечно малой.

8.7. a) Разложить функцию

1

f (x) = (x − 2)(x − 3)

R +∞

0 fn(x) dx íå

в ряд Тейлора по степеням (x − 1). Найти область справедливости полученного разложения. Найти f (100)(1).

b)Разложить f (x) = arctg (1 + x) в ряд Тейлора по степеням x.

c)Найти C è n из условия

tg x − sin x C xn						ïðè n → ∞.
ëè ðÿä â6.				P		n=1 sin		¡		¢	. Выяснить, сходится
8.8. Найти область сходимости ряда								n2
						∞			x
этой области равномерно. Сходится ли ряд равномерно в области
|x| < 10
8.9. Найти область сходимости ряда
∞	(−1)npn						.
X
	1		−		pn
n=1
Будет ли ряд сходиться в этой области равномерно?
8.10. Найти область сходимости интеграла
+∞ e−px
Z0						dx.
		1 + x2

Выяснить, сходится ли интеграл в этой области равномерно.