[ Благовещенский, Пламеневский ] Математический анализ. Задачи для самостоятельной работы студентов 1 курса

! "

! ! " # !$% &

' ()' ( *) + , " - .

. / * /-0 '$ ($0()-1"$, 2 $(3 (4/)"($% 5 +42

#$

%

6778

& % "

' % % % % ( )%*%

+ " ,

*-#%

# *-#%

' ()' ( *) + , " - . . / * /-0 '$ ($0()-19 "$, 2 $(3 (4/)"($% 5 +42 : ! 6778

) $

' + +

% . /

0 1 0%

+ 2$ %

1

Эта брошюра содержит задачи, предлагаемые студентам первого курса для самостоятельной работы. Заниматься ими следует параллельно с обсуждением соответствующих вопросов на лекциях. Большая часть задач имеет "теоретический"характер; их обдумывание поможет лучше понять материал лекций.

Рекомендуется подробно и тщательно записывать решения в отдельную тетрадь (и для самоконтроля, и для возможности проверки преподавателем). Зачет преподавателем достаточного количества решенных задач из предложенного списка приведет к повышению оценок при аттестации студента (на коллоквиумах и экзаменах). Студентам усиленного потока задачи аналогичного характера могут предлагаться на коллоквиумах и экзаменах.

1 Алгебра множеств

1.1. Доказать формулы

1. A ∩ A = A A = A;

2. (A \ A ∩ B) B = A B;

3. (A B) ∩ C = (A ∩ C) (B ∩ C).

1.2. Установить, какие из соотношений правильны:

1. (A B) \ C = A (B \ C);

2. A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ (C B);

3. A B C = A (B \ A ∩ B) (C \ A ∩ C); 4. A B = (A \ A ∩ B) B;

5. (A ∩ B) (B ∩ C) (C ∩ A) A ∩ B ∩ C; 6. (A ∩ B) (B ∩ C) (C ∩ A) A ∩ B ∩ C; 7. (A B) \ A = B.

f) Показать, что для всякого жению:

2

2 Отношение эквивалентности

Задачи 2.1 и 2.2 показывают, как с помощью отношения эквивалентности можно вводить новые классы чисел, отправляясь от уже известных; в частности, в задаче 2.2 совершается переход от натуральных чисел к целым числам.

2.1.a) На множестве Z целых чисел определим отношение : x y x − y четное число.

Проверить, что есть отношение эквивалентности.

b) Положим Z2 := Z/ . Для классов x,e ye Z2 введем операции

• сложения

xe + ye = (x + y)e, ãäå x, y представители классов x,e ye;

• умножения

xe ye = (x y)e.

Проверить корректность этих определений. Доказать коммутативность, ассоциативность сложения и умножения; дистрибутивность умножения относительно сложения.

c) Найти число различных классов в Z2 и указать все классы.

e

d) Показать, что в Z2 существует класс 0, такой, что для всякого

xe Z2

e

xe + 0 = xe.

e)Показать, что для всякого xe Z2 существует обратный по сложе- нию, т.е. такой элемент ye Z2, ÷òî

e xe + ye = 0.

e

xe 6= 0 существует обратный по умно-

1		x · 1 = x x e			2.
			x z = 1,
			e e
à		e	e e e
e	такой класс, что			Z

3

2.2. (Определение целых чисел) Пусть N множество всех натуральных чисел 1, 2, . . .. Åñëè m, n N, òî m + n N è mn N. Однако разность m −n, вообще говоря, не определена на множестве N: åñëè m 6 n, то число

m−n не является натуральным. В этой задаче описывается математически

строгий способ перехода от множества натуральных чисел к множеству целых; с этой целью используется подходящее отношение эквивалентности. Иными словами, цепочка задач a) − f ) объясняет, как определить целые

числа, отправляясь от натуральных.

Пусть X множество упорядоченных пар (m, n) натуральных чи- сел. На множестве X введем отношение условием

(m, n) (m1, n1) существуют натуральные p, q,

такие, что (m + p, n + p) = (m1 + q, n1 + q).

a)Показать, что есть отношение эквивалентности на множестве X.

b)Обозначим через (m, n)e класс в X/ с представителем (m, n). Введем сложение по правилу

(m, n)e+ (m1, n1)e= (m + m1, n + n1)e.

Проверить корректность определения. c) Введем умножение:

(m, n)e(m1, n1)e= (mm1 + nn1, mn1 + nm1)e.

Проверить корректность определения.

d) Доказать, что в X/ существует такой класс ze, ÷òî

(m, n)e+ ze = (m, n)e (m, n)e X/ ,

(ò.å. ze нулевой элемент в X/ ).

e) Доказать, что для любого элемента (m, n)e X/ существует такой элемент ue X/ , ÷òî

(m, n)e+ ue = z,e

ãäå ze тот же класс, что и в d). (Таким образом, ue "противоположный"элемент для (m, n)eâ X/ .)

4

f) Пусть N множество натуральных чисел. Указать инъекцию f : N → X/ , удовлетворяющую условиям:

f (n1 + n2) = f (n1) + f (n2), f (n1n2) = f (n1)f (n2)

для любых натуральных n1 è n2. (В правой части под суммой f (n1)+f (n2) и произведением f (n1)f (n2) понимаются сумма и произведение классов

f (n1) è f (n2) â X/ .)

2.3. Пусть X, Y множества, f : X → Y произвольное отображение. На X введем отношение :

			x1 x2 f (x1) = f (x2).
Доказать, что			есть отношение эквивалентности. Введем отображе-
íèå			равенством	e e
f e
	f : (X/ ) → Y			f (x) = f (x), где x представитель класса

xe. Убедиться в корректности определения и показать, что отображение e инъекция.

3Последовательности. Предел последовательности. Частичные пределы.

3.1.Определение. Пусть X некоторое подмножество числовой оси. Точка a R называется точкой сгущения множества X, если любая проколотая окрестность точки a содержит (хотя бы одну) точку множества X.

3.2.Пусть a точка сгущения множества X. Доказать, что любая проколотая окрестность точки a содежит бесконечно много точек из

X.

3.3.Пусть X множество всех рациональных чисел интервала (0, 1). Найти все точки сгущения множества X.

3.4.Пусть x1, . . . , xn, . . . последовательность, имеющая конечный пре-

дел. Доказать, что множество X, состоящее из элементов этой последовательности, может иметь не более одной точки сгущения.

ограничена сверху. Поло-

Доказать, что новая последовательность

x1, . . . , xn, . . .

5

3.5.Определение. Пусть x1, . . . , xn, . . . произвольная последовательность, и пусть xn1 , . . . , xnk , . . . какая-нибудь ее подпоследовательность. Если существует предел q = limk→∞ xnk , то число q называют частич- ным пределом последовательности x1, . . . , xn, . . ..

3.6.Пусть x1, . . . , xn, . . . последовательность, имеющая предел l (êî-

нечный или бесконечный). Доказать, что всякая подпоследовательность имеет тот же предел, т.е. все частичные пределы совпадают и равны пределу исходной последовательности.

3.7. Определение. Пусть x1, . . . , xn, . . . произвольная последовательность. Подпоследовательность

xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . . (ãäå n1 < n2 < . . .)

называется собственной, если она получается из последовательности x1, . . . , xn, . . . вычеркиванием бесконечного множества элементов.

3.8. Пусть последовательность такова, что всякая собст-

венная подпоследовательность имеет какой-нибудь (свой) конечный предел. Доказать, что тогда все частичные пределы совпадают и последовательность x1, . . . , xn, . . . сходится.

3.9. Пусть l = limn→∞ xn и пусть последовательность xn1 , . . . , xnk , . . .

получается из последовательности x1, . . . , xn, . . . перестановкой (возмож-

но, бесконечного числа) ее элементов. (Предостережение: последовательность xn1 , . . . , xnk , . . . не является подпоследовательностью для x1, . . . ,

xn, . . .. Обе последовательности состоят из одних и тех же элементов.)

xn1 , . . . , xnk , . . . имеет тот же

предел, что и последовательность x1, . . . , xn, . . ..

3.10. Пусть последовательность x1, . . . , xn, . . .

æèì

sk = sup{xk, xk+1, . . .}, k = 1, 2, . . . .

Доказать, что s1 > s2 > . . . > sk > . . ., т.е. последовательность {sk}∞k=1 монотонно убывающая. Если последовательность x1, x2, . . . не стремится

ê −∞, то существует конечный предел S = limk→∞ sk. Åñëè limk→∞ xk =

−∞, òî S = limk→∞ sk = −∞.

xn1 , . . . , xnk , . . ., такая,

6

3.11. Пусть {xn}∞n=1, {sk}∞k=1 è S обозначают то же, что и в задаче 3.10. Доказать, что S является частичным пределом последовательности x1,

x2, . . . (т.е. существует подпоследовательность что limk→∞ xnk = S).

3.12. Доказать, что число S (обозначения те же, что и в 3.10, 3.11) является наибольшим частичным пределом последовательности x1, . . . ,

xn, . . ..

3.13. Пусть последовательность x1, . . . , xn, . . . ограничена снизу. Поло-

æèì

ik = inf{xk, xk+1, . . .}, k = 1, 2, . . . .

Доказать, что i1 6 i2 6 . . . 6 ik 6 . . ., т.е. последовательность {ik}∞k=1 монотонно возрастающая. Если последовательность x1, x2, . . . íå ñòðå-

мится к +∞, то существует конечный предел I = limk→∞ ik. Åñëè æå

limk→∞ xk = +∞, òî I = limk→∞ ik = +∞.

3.14. Пусть {xn}∞n=1, {ik}∞k=1 è I обозначают то же, что в задаче 3.13. Доказать, что I является частичным пределом последовательности x1,

x2, . . ..

3.15. Доказать, что число I (обозначения те же, что и в 3.13, 3.14) является наименьшим частичным пределом последовательности x1, . . . ,

xn, . . ..

3.16. Обозначения. Наибольший предел последовательности x1, . . . , xn,

. . . обозначается через limn→∞ xn, а наименьший через limn→∞ xn. Òà- ким образом,

S = lim x

=

lim sup

x

, x

, . . .

,

n→∞

n

n→∞

{

k

k+1

}

I = lim x

=

lim inf

{

x

, x

, . . .

.

n→∞

n

n

→∞

k

k+1

}

3.17. Пусть последовательность x1, . . . , xn, . . . такова, что

xn − xn−1 → 0 ïðè n → ∞.

Доказать, что любое число l, удовлетворяющее неравенствам I 6 l 6 S,

является частичным пределом последовательности x1, . . . , xn, . . .. Åñëè

эта последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу, то любое вещественное число является ее частичным пределом.

7

3.18. Найти limn→∞ an, åñëè

1. a0 = a (a > 0), a1 = b (b > 0), an = an−1 − an−2 äëÿ n > 2;

√√

2. a0 = 2, a1 = 2, an = 2an−1 − an−2 äëÿ n > 2.

3.19. Найти supn N{sin(n)}, supn N{cos(n)}, supn N{sin(n) cos(n)}.

3.20. Доказать, что последовательность

	n	1
	Cn = k=1 cos µn +			¶
		2
	X

ограничена.

3.21. Доказать формулы (n N)

1.

P

n

Cnk cos 2πk3

= cos πn3 ,

k=1

2.

n

Cnk sin 2πk

= sin πn ,

k=1

3

3

3.

PE(

n−

1

) Cn3k+1 = 1

2n + 2 cos

(n−2)π

,

k

ãäåk=1

целая3

³

3 .

´

P

E(x)

часть числа

x

Указание. Удобно воспользоваться формулой Эйлера.

3.22. Доказать неравенства (n N)

1.	22n−1							n	22n
	√					< C2n <			√				,
				n						n+1						√
2.	1					1						1			<
				+				+ . . . +										2n		−	1,
	√					√					√
												2n−1
	1					3											√
3.	1			+		1		+ . . . +				1			<	2
																			3n + 1,
	√					√					√					3
												3n+1
	4					7
4.	41 n4 6 13 + 23 + . . . + n3 6 41 (n + 1)4,
5.	3 n5/3					6 12/3 + 22/3 + . . . + n2/3 6 3																		(n + 1)5/3.
	5																				5

3.23. 1. Доказать неравенства (n N)

4n	< e − µ1 + n¶		n	< n.
1	1			4

2. Доказать или опровергнуть соотношение						¶
ln	µ1 + n	¶	− n	= O	µn2
	1		1		1

(не пользуясь рядом Тейлора или правилом Лопиталя).

4.1, который справедлив и для

8

4Предел функции. Непрерывность. Равномерная непрерывность.

4.1. α) Доказать, что конечный предел

lim f (x)

x→a

существует в том и только в том случае, если для каждого положительного ε найдется такое число δ = δ(ε) > 0, что из условий

|x′ − x′′| < δ, x′ =6 a, x′′ =6 a,

вытекает неравенство

|f (x′) − f (x′′)| < ε.

(Предполагается, что функция f определена в проколотой окрестности точки a 6= ∞.)

β) Сформулировать и доказать утверждение, аналогичное α), äëÿ

случаев a = ±∞, ∞.

Указание: воспользоваться определением предела функции на языке последовательностей. Применить критерий существования предела последовательности (последовательность имеет конечный предел в том и только в том случае, если она фундаментальна).

4.2.Определение. Множество X R называется замкнутым, если все точки сгущения множества X являются его элементами.

4.3.Пусть f непрерывная функция на [a, b]. Доказать, что множество

{x : f (x) > c} замкнутое при любом c.

Указание: åñëè a точка сгущения множества X, то существует последовательность {xn} X, сходящаяся к a.

4.4. Пусть f непрерывна на конечном интервале (a, b). Доказать, что f является равномерно непрерывной на (a, b) в том и только в том случае, если существуют конечные пределы limx→a+0 f (x) è limx→b−0 f (x).

Указание: учесть результат задачи односторонних пределов.

4.5. Привести примеры функций, равномерно непрерывных на [a, +∞), но для которых не существует предел limx→+∞ f (x).