Матанализ (2 сем) - Фаддеев (печатный)

, 2 .
							1																	1
											,						(x)
f (x)																f
						1 x																(1 x)2
				1							1
ln 1
				n							n
	1								1						1					1							1		k 1				2		3		n			n
			1																				ln 1					ln				ln		ln		ln			ln
	k																				n						k			k			1		2		n 1			n 1
k 1									2 3															k 1				k 1
			2				3									n			n				1	ln(n 1)
ln
			1				2													n
															n 1												n

3

	, 2 .
					§2.		. .
																				. . 262					2 .)
	1.			ak 0.			,										,
													1
	.
				.
						n
			ak 0 , Sn
						1
	Sn 1 Sn an 1				0 , . Sn				.
		1.																				Sn n .
				1
		2.											Sn					Sn					,
			. 0			n	Sn		C .
		,									,								lim Sn .
	2.	.																	n
			ak ,bk 0, ak bk.
		1.			b		,								;
					1										1
		2.					,										b ;
					1												1
				.
	1.)					b		,				C			n b C							1.
						1											1
	n		n
	bk C, n.
	1		k 1
	1.							.
								1
	2.) .
	. ,													ak bk , > 0.
				,								ak bk		k k0.
	3.	.																		. . 271					2 .)
																		ak 1
			ak > 0. ,							k0 , k k0										q 1 ,				.
																		ak					1
															ak 1
	,				k0 , k k0											1 ,					.
				.											ak				1
	2.)	ak 1 ak ak 0,						k			ak	–										;			ak
								, ,							,
			.

1

1

, 2 .

1.)

ak

1

q ak0 1 q ak0

0

ak0

ak0 2

q ak0 2 q ak0 1 q 2 ak0

ak0 1

ak0 m

q ak0 m q ak0 m 1 q 2 ak0 m 2 q m ak0

ak0 m 1

k k0 m, m k k0

ak0

k k0

ak ak0 q

k k

0

q

k

q k0

bk C q k , C

ak0

q k0

b

, ak bk

.

1

1

.

x

k

> 0,

; .

k 1

k!

ak

x k

xk 1

, ak 1

k!

(k 1)!

a

k 1

xk 1

k!

x

0

ak

(k 1)!

x k

k

1 k

k 2x

ak 1

1

ak

2

, .

.

.

ak > 0,

lim

ak 1

q .

k ak

1.

q < 1,

;

1

2.

q > 1,

;

q = 1,

1

3.

, , .

.

1.)

q < 1.

1 q

0,

q 1,

]q

q ,

1

2

k k

0

ak 1

, . . q

ak 1

q q 1

ak

ak

1

3.,

.

1

2

	, 2 .
	2.)		q > 1.
	q 1 0, q 1
				ak 1			, . 1 q		ak 1	q
	k0	k k0
				ak
									ak
	3., .
										1
											1
	3.)		,									,
										1

( . 4. §1, 2).

	ak		1		,		ak 1							1		k					k			1			1				1
			k				ak							k 1						k 1							k 1 k
																							, .
		1
		k(k 1)
	k 1
			n			1									n		1			1									1			1		1			1		1		1			1			1
	Sn																									1																				1		1
																						1							2
			k 1			k(k 1) k 1											k k															2 3					3 4				n n 1						n 1 n
		1						1				1
	k(k 1)											k 1
									k

.

ak

1

ak 1

k (k 1)

k (k 1)

k

1

2

1

1

ak 1

ak

(k 1)(k 2)

k 2

k 2 k

(k 1)(k 2)

.

.

.

.

ak 1

bk 1

ak > 0, bk > 0, ,

k0, k k0

.

ak

bk

1.

b ,

;

1

1

2.

,

b ;

1

1

ak0 1

bk0 1

ak0 2

bk0 2

bk0 1

ak0

bk0

ak0 1

ak0 2

bk0 2

ak0 3

bk0 3

bk0

ak0 2

bk0 2

ak0

ak0 3

bk0 3

ak0

bk0

3

, 2 .

k k0

a

k

b

ak

Cbk ,

C

ak

0

0 .

k

,

ak0

bk0

bk0

4.

f(x)

–

,

,

[0,

+ );

an

=

f(x) n.

f (x)dx

.

1

1

.

n

1.)

ak 0,

0 n

ak

C .

1

k 1

n

2.)

f(x) 0, f (x)dx

0

1

ak

C .

3.)

1

k 1

n

f (x)dx f (k )

1

k 2

ak

n 1

f (x)dx f (k )

1

k 1

ak

n

n 1

f (x)dx

nlim f (x)dx nlim ak

, .

.

1

1

k 1

1

n

n

f (x)dx

0

n

f (x)dx C ak

C a1

.

1

1

k 1 f ( k )

1

5.

.

1

1

ak

,

, p 0 .

p

p

k

, p 1

k 1

k

1

p

, p 1

k 1

k

.

f (x)

1

x p

1

1

:

dx

.

p

p

1

x

k 1

k

1

,

dx

>1

1 .

§1.

p

1

x

1.)

4