Тронин В.Н. - Заметки об эволюции (1988)

Приложение

с метрикой (13),определенная соотношениями(18).Величина Е+ ,фигурирующая в (38) имеет вид

E+ =

Ω#+ ib ≡

1

−( ∂

b+

aik b+b

∂ ∂

+a

Γ2

µ

b

)

(40)

i

k

ik

i

2

i

i k

i

ii

µ

#

#+

Из соотношений (9),(10) следует, что числа нулевых мод оператора L (

L ) есть

интегралы от нулевых коэффициентов Сили соответствующих операторов:

Φ0 ( L) = ∫gdq1dq2 ...dqN Ψ 0L ( X )

Φ0 ( L+

) = ∫ gdq1dq2 ...dqN Ψ 0

L+ ( X )

(41)

Здесь g = det(aik ) .Вычисления

нулевого

коэффициента

Сили

оператора L+

аналогичны проделанным выше:

+

2

−

N

#

N

Ψ

0L

( X ) =

(4π )

2

Sp{ Ω

+

i (− δ

νµ bk + Γ

µν

k ) } 2

(42)

N

Из (33) , (43)

для индекса оператора L

получаем

#

2

−

N

#

N

index L = ∫ gdq1dq2 ...dq N (

(4π )

2

)Sp{ Ω

i (δ

νµ

bk +Γ

µν

k ) } 2

-

N

2

- ∫ gdq1dq2 ...dq N (

2

(4π )−

N

)Sp{ Ω# +

i (−

δ

νµ bk + Γ

µν

k ) }

N

(43)

2

2

N

2

Таким образом

для того,

чтобы изучить вопрос о поведении системы ,

описываемой стохастическими дифференциальными уравнениями (3) помимо всего прочего необходимо исследовать глобальную структуру фазового пространства системы. При проведении исследований такого рода полезна следующая механическая аналогия.

Механическая аналогия

Рассмотрим классическую систему с N степенями свободы, описываемую функцией Гамильтона Н =T+U, где кинетическая энергия Т является квадратичной функцией от импульсов, а потенциальная энергия U( X ) может

обращаться в бесконечность в некоторых точках пространства RN. Предположим, что область , в которой потенциальная энергия конечна, несвязна - состоит из нескольких компонент. Тогда очевидно, что классическая частица, находившаяся в начальный момент времени в одной компоненте, во все последующие моменты будет находиться в той же области (т.е. номер компоненты, в которой находится частица, является интегралом движения). Область, где потенциальная энергия конечна, может рассматриваться как пространство конфигураций интересующей нас системы. Вместо того чтобы

В.Н.Тронин	189	Заметки об
эволюции

Приложение

рассматривать компоненты пространства конфигураций, можно рассматривать компоненты фазового пространства, для которых функция Гамильтона конечна. При исследовании связности фазового пространства механической системы (в фазовое пространство включаются только те точки, в которых функция Гамильтона Н(P, X) конечна.) следует иметь в виду, что траектория классической механической системы все время остается в той компоненте фазового пространства, в которой она была в начальный момент времени, иными словами, номер компоненты связности может рассматриваться как интеграл движения. Такие интегралы носят название топологических

интегралов движения (топологических квантовых чисел.).Введенная выше
величина	#	представляет собой один из таких интегралов. Покажем , что
	index L

вероятность нахождения системы , описываемой стохастическими

дифференциальными уравнениями (3),	в некотором	состоянии	X =
q1t ,q2t ,q3t .....qNt , которая определяется	соотношением	(33), может	быть

приведена к виду аналогичному «микроканоническому» и «каноническому» распределениям классической статистической механики [1].Для этого рассмотрим «большую» систему (Вселенную) ,которая описывается

уравнениями (3) при N=M>>1.

Предположим для простоты,

что для

рассматриваемой

системы

тензор

aik

постоянен.

Рассмотрим

оператор

{ Ω#

i (δ νµ bk +Γ

µν

k ) }

в случае постоянного (не зависящего от X) тензора aik .В

этом

случае

все

символы

Кристоффеля

Γ

k

=

1

a kl (∂

a

+

∂

a

−

∂

a

) равны

нулю и рассматриваемый

оператор

i

l j

j

l

i j

i j

2

i l

сводится к тензору второго ранга, который можно рассматривать как обычную

	матрицу	Z с компонентами Z		( X ) =	1	∂		b	( X ) +	B	( X )b ( X ) . При этом
			ik		2		i
								k		i	k
	вычисление возведение оператора { Ω#			i (δ νµ bk		+Γ		µν	k ) }в степень осуществляется

M

по обычному правилу умножения матриц. Обозначим через

R2 =

∑2

θ a ( X )

сумму собственных значений θ

a ( X )

a= 1

R2 > 0 .

матрицы Z. Будем считать,

что

При сделанных предположениях нулевое число Сили оператора L можно

представить в виде:

Ψ 0L ( X )

Sp{ Ω#

i (δ

νµ bk

+Γ µν

k ) }

M

2

=

=RM(X)

dp dp

2

...dp

M

δ

( p2 + p2+

... p2 + U ( X−)

Е)

(44)

∫ 1

1

2

M

+ 1

2 +

1

2

где Е- положительная постоянная,

U( X ) ≡

Е−

R2 ( X )

(45)

Из (44), (45) , следует, что вычисление вероятности нахождения «большой» системы (Вселенной) ,которая описывается уравнениями (3), в заданном

В.Н.Тронин	190	Заметки об
эволюции

Приложение

состоянии X = q1t ,q2t ,q3t .....qtN , сводится к вычислению равновесной функции распределения для системы классических частиц с полной энергией Е ,

1

массой m = 2 и гамильтонианом

H( X , P) =	p2+	p+2	... p			2	+		U ( X )
	1	2				M	+ 1
						2				(46)
P ≡ {p1 , p2 , p3 ....... p M						}
					+ 1
				2
В такой интерпретации величина
f ( X , P) = Φ− 1δ	( p2	+ p2+			... p2				+ U ( X−) E)	(47)
0	1		2					M	+ 1
							2

представляет собой функцию распределения микроканонического ансамбля для рассматриваемой «большой» системы. В связи со сказанным выше совершенно естественным представляется переход от «микроканонического» к «каноническому» , т.е. к вероятности нахождения в заданном состоянии X =

q1t , q2t , q3t .....qKt , K << M подсистемы , «малой» по сравнению с самой

системой( «Вселенной»), но тем не менее «большой» в том смысле , что количество уравнений типа (3) для подсистемы по прежнему велико K>>1. «Каноническое» распределение легко получается из «микроканонического» (47) путем стандартных рассуждений (16):

w( X, P) =

Φ− 1 exp(−

H( X, P)

)

(48)

Здесь величина

T

H( X, P) =

p2+

p+2

... p2

−

R2 ( X )

1

2

K

+ 1

2

(49)

P ≡ {p1, p2 , p3....... p

+ 1}

K

2

K

представляет собой

«гамильтониан»

подсистемы,

R2 = ∑2

θ a ( X ) сумму

a= 1

собственных значений θ a ( X )

матрицы Z , отвечающей подсистеме. При этом

K

следует иметь ввиду,

что величина

R2 = ∑2

θ a ( X )

для подсистемы может

a= 1

быть любого знака , в отличии от системы, для которой по предположению

M

R2 = ∑2 θ a ( X )> 0 .Параметр Т играет роль температуры

	a= 1
	T ≡	2	lim ∑M	pi2	(50)
		3
			M→∞ i= 1

а

В.Н.Тронин	191	Заметки об
эволюции

	Приложение
Φ =	dXdP exp(−	H( X, P)	)	(51)
	∫	T

роль статистической суммы. Все проведенные выше рассуждения справедливы,

очевидно, и в общем случае , когда Γ							µν	k ≠ 0 .При этом в соотношениях (44)-(51)
			M
роль величины	R2 =	∑2			ϑ a ( X )> 0			играет сумма	собственных	значений
	Ω# i (δ	a= 1
ϑ a ( X ) оператора			νµ		bk +Γ µν	k ) .	Таким образом		, задача о	поведении

подсистемы , описываемой уравнениями типа (3) сводится к вычислению собственных значений оператора Ω# i (δ νµ bk +Γ µν k ) ,( где величины bk ( X ) -

взятые с обратным знаком правые части уравнений (3) для подсистемы в отсутствии случайных сил), и последующим исследованием «термодинамических» свойств подсистемы с гамильтонианом (49), находящейся в «термостате» при температуре (50). При этом фазовое пространство

оказывается разбитым на несвязные компоненты в соответствии с значениями

#

величины index L .

Структурная устойчивость автономных систем с внешним белым шумом. Теоретико-полевая аналогия.

При всей привлекательности механической аналогии она оказывается практически бесполезной при анализе структурной устойчивости так называемых «мягких» моделей [8].Поясним смысл введенных понятий на примере ,который взят из работы [8].Рассмотрим модель войны или сражения. В простейшей модели борьбы двух противников (скажем, двух армий) — модели Ланкастера — состояние системы описывается точкой { х , у) положительного квадранта плоскости. Координаты этой точки, х и у— это численности противостоящих армий. Основные уравнения модели имеют вид

	x" = −	by	(52)
	y" = −	ax

Здесь а — мощность оружия армии х, a b— армии у. Попросту говоря, предполагается, что каждый солдат армии х убивает за единицу времени а солдат армии у (и, соответственно, каждый солдат армии у убивает b солдат армии х). Это — жёсткая модель, которая допускает точное решение

dx	=	by	, axdx= bydy, ax2− by=2 const.	(53)
dy		ax

Эволюция численностей армий х и у происходит вдоль гиперболы, заданной этим уравнением (рис.1). По какой именно гиперболе пойдет война, зависит от начальной точки.

Эти гиперболы разделены прямой ax = by . Если начальная точка лежит выше этой прямой (случай 1 на рис. А), то гипербола выходит на ось у. Это

В.Н.Тронин	192	Заметки об
эволюции

Приложение

значит, что в ходе войны численность армии х уменьшается до нуля (за конечное время). Армия у выигрывает, противник уничтожен.

Если начальная точка лежит ниже (случай 2), то выигрывает армия х. В разделяющем эти случаи состоянии (на прямой) война заканчивается ко всеобщему удовлетворению истреблением обеих армий. Но на это требуется бесконечно-большое время: конфликт продолжает тлеть, когда оба противника уже обессилены.

Рис. 1. Жёсткая модель войны.

Рис. 2. Мягкая модель войны.

Основной вывод из рассмотренной модели таков: для борьбы с вдвое более многочисленным противником нужно в четыре раза более мощное оружие, с втрое более многочисленным — в девять раз и т.д. Ясно, однако, что модель сильно идеализирована и было бы опасно прямо применять её к реальной ситуации. Возникнет вопрос — как изменится вывод, если модель будет несколько иной. Например, коэффициенты а и b могут быть не строго постоянными, а могут зависеть от х и от у. И точный вид этой зависимости нам может не быть известен. В этом случае речь идет о системе

	x" =	а(x, y)x	(54)
	y" =	b(x, y) y

которая уже не решается явно. Можно однако сделать выводы общего характера

ине зная точно явного вида функций а и b. В этой ситуации принято говорить о мягкой модели - модели, поддающейся изменениям (за счет выбора функций а

иb в нашем примере).

В.Н.Тронин	193	Заметки об
эволюции

Приложение

Рис. 3. Нереализуемая модель войны.

Общий вывод в данном случае есть утверждение о структурной устойчивости исходной модели: изменение функций а и b изменит описывающие ход военных действий кривые на плоскости {х, у) (которые уже не будут гиперболами и разделяющей их прямой), но это изменение не затрагивает основного качественного вывода.

Вывод этот состоял в том, что положения «х выигрывает» и ((у выигрывает» разделены нейтральной линией «обе армии уничтожают друг друга за бесконечное время». Топологический тип системы на плоскости {х,у) не меняется при изменении функций а и b: изменение приводит лишь к искривлению нейтральной линии (рис. 2).Этот вывод не самоочевиден. Можно представить себе и другую ситуацию, например, изображенную на рис. 3. Утверждается, что эта ситуация не реализуется, во всяком случае для не слишком патологических функций а и b. Таким образом , мы можем сделать вывод о качественной применимости простейшей модели войны для приближенного описания событий в целом классе моделей, причем для этого даже не нужно знать точного вида жёсткой модели: выводы справедливы для мягкой модели.

Рассмотренный пример позволяет дать определение структурной устойчивости системы:

система , описываемая уравнениями (3) при заданных значениях функций bi ( X ) = b0i ( X ) и aik ( X ) = aik0 ( X ) называется структурно устойчивой , если для

любого состояния X = q1t ,q2t ,q3t .....qtN , вероятность ее нахождения в этом состоянии максимально возможная среди всех значений вероятности ,

вычисляемой для различных функций b ( X ) ≠ b0i ( X )	и a	ik	( X ) ≠	a0	( X ) .
i				ik

С формальной точки зрения это определение эквивалентно задаче о

минимуме величины
	Φ0 (L) = ∫gdq1dq2 ...dqN Ψ 0L ( X ) ,			(55)
рассматриваемой	как	функционал	полей bi ( X ) и	aik ( X ) ,
Φ0 (L) ≡ Φ0 [bi ( X ); aik ( X ); L].В		такой постановке задачи		неизменность

топологического типа системы соответствует неизменности индекса оператора
L ( т.е. величины	#		при малых	изменениях полей bi ( X ) и aik ( X )
	index L )
«вблизи» значений	b ( X )	=	b0i ( X ) и	a	ik	( X ) =	a0 ( X ) , определяемых из
уравнений:	i						ik
В.Н.Тронин			194				Заметки об
эволюции

				Приложение
	δ
			∫gdq1dq2		...dqN Ψ				0L ( X ) =0	(56)
δ	b ( X )
	i
	δ			gdq dq		...dq		Ψ	L ( X ) =0	(57)
	aik ( X ) ∫				2		N
δ				1					0

Таким образом , b0i ( X ) и aik0 ( X ) представляют собой «классические» значения полей bi ( X ) и aik ( X ) , реализующие экстремум функционала (55).Естественно предположить, что

Ξ =	Db Da	Φ	0	[b ( X ), a	ik	( X )]	(58)
	∫ i ik			i

где Dbi Daik -мера на пространстве полей bi ( X ); aik ( X ) , представляет собой

величину эквивалентную статистической сумме , или производящему функционалу квантовой теории поля. Легко видеть , что соотношение (58) может быть преобразовано к виду

Ξ =	a Db Da		exp(−	1	Φ	[b ( X ), a		( X )])+ const	(59)
		ik					ik
	∫ i			a	0	i

совпадающему по форме с соответствующими выражениями квантовой теории поля. Действительно , полагая, что параметр а→∞ и разлагая подинтегральное выражение в (59) в ряд, получим, что соотношения (58) и (59) совпадают при

const = − a∫Dbi Daik .В дальнейшем не будем интересоваться значением этой постоянной и будем записывать (59) в виде:

Ξ =	a Db Da		exp(−	1	Φ		[b	( X ), a		( X )])	(60)
		ik				0			ik
	∫ i			a			i
имея при этом ввиду, что параметр								а>0,который будет определен ниже весьма

велик а→∞ .Дальнейшие вычисления удобно проводить, введя собственные

функции

Υ

µν(a ) ( X ) оператора

Ω# i (δ

νµ bk +Γ µν

k ) , отвечающие

собственным

значениям ϑ

a ( X ) :

{ Ω#

(δ

νµ

b +Γ

νµ

k

) } Υ

(a ) ( X ) =ϑ

a ( X ) Υ (a ) ( X )

(61)

i

k

µ k

iν

Γ

νµκ

( X ) =

a ( X

Γ) ε

( X )

νε

µκ

Используя (61) , запишем Φ0 (L) ≡ Φ0 [bi ( X ); aik ( X ); L]в виде:

2

(4π )−

N

∫ gdx1dx2 ...dxN Sp{ Ω# i (δ

νµ bk +Γ µν

N

Φ0 [bi ( X ); aik

( X ); L]=

2

k ) }

2

=

N

2

(4π )−

N

∫ gdx1dx2 ...dxN

{ ∑ ϑ

a ( X ) }

N

=

2

2

=

(62)

N

a

В.Н.Тронин	195	Заметки об
эволюции

Приложение

=

2

(4π )−

N

∫ gdx1dx2 ...dxN

{ ∑

Υ ν(ia ) ( X ) { Ω# i (δ νµ

bk +Γ

k ) } Υ µκ(a ) ( X )}

N

2

νµ

2

N

a

Рассмотрим

соотношение (62)

при

любых

функциях

Υ

µν(a ) ( X ) .

Для

этого

,

используя (62) запишем (60) в виде:

Ξ =

a

Db Da

DY a δ

(Q[Y])exp{−

1

Φ

[b ( X ), a

( X ),Y b ( X )])

ik

0

ik

∫ i

µν

a

i

µν

(63)

[{ Ω#

Q[Y] ≡

(δ

νµ

b +Γ

νµ

k

) }

Υ

(a ) ( X ) -ϑ

a ( X ) Υ

(a ) ( X )]

i

k

µ k

iν

Здесь

Φ

[b

( X ), a

ik

( X ),Y b ( X )]

определено соотношением

(62).Представляя

0

i

µν

дельтафункцию в виде

δ

(Q[Y]) =

D∆ a

exp{−Π ∆[

b

,Y b ( X )])

{ Ω#

∫

µν

µν

µν

Π ∆[

b

,Y b ( X )] =i [ ∆

a

(δ

νµ

b

+Γ

νµ

k

) } Υ

(a ) ( X ) - ∆ a

ϑ

a ( X ) Υ (a ) ( X )]

(64)

µν

µν

iν

i

k

µ k

iν

iν

получим,

что

(63),

(64)

определяют

теорию

для

трех

тензорных

∆ b

( X ), Y b ( X ) , а

µν

(

X )

полей,

одного

векторного

поля

b ( X ) и

с

µν

µν

i

неквадратичным «функционалом действия» (62),(63). Дальнейшее упрощение возможно, если предположить , что число N>>1. В этом случае функционал (62) можно упростить:

Φ0 ≡ α (N) ∫ gdx1dx2 ...dxN	{ ∑	Υ ν(ia ) ( X ) { Ω# i (δ		bk +Γ	νµ k ) } Υ µκ(a ) ( X )}	N			=
			νµ			2
		a
=α (N) ∫ gdx1dx2 ..dxN { с +	∑	Υ ν(ia ) ( X ){ Ω# i (δ νµ	bk	+Γ νµ	k ) } Υ µκ(a ) ( X ) − c }		N		≈
							2
	a

N

N

NΛ

N

), где c>0, α

(N ) ≡

2

(4π )

−

N

,

≈

(1−

)c 2 VN +

c 2

2

2

2c

N

Λ ≡

α (N)

∫ gdx1dx2 ...dxN { ∑

Υ ν(ia ) ( X ) { Ω# i (δ

νµ bk

+Γ

νµ k ) } Υ µκ(a )

a

(65)

( X )};

VN ≡ ∫ gdx1dx2 ...dxN .

Используя (65) для производящего функционала (60) , получим

1

N

N

NΛ

N

Ξ =

a

Db Da

ik

exp(−

[(1−

)c 2 V

N

+

c 2 ])

(66)

∫ i

a

2

2c

Выбирая связь параметров а и с в виде a =

N

c

N

− 1 , для производящего функцио-

2

нала (66) найдем

2

Ξ =

С Db Da

ik

exp(− Λ

)

(67)

∫ i

С≡

N

N

− 1

exp(

N −

2

cVN )

c 2

2

N

В.Н.Тронин

196

Заметки об

эволюции

Приложение

Λ ≡ α (N) ∫ gdx1dx2 ...dxN { ∑ Υ ν(ia ) ( X ) { Ω# i (δ νµ bk +Γ νµ k ) } Υ µκ(a ) ( X )};

a

Дальнейшее преобразование соотношения (67) соответствует переходу к

независимым переменным Υ

µν(a ) ( X ) и эквивалентно переходу от (62) к (64).

Ξ =

С Db Da

DYbil D∆ а ik

exp(−

Λ [b ; a

ik

;Y b ]

+ Π

[Y b∆;

c ])

(67)

∫ i

ik

i

kl

kl

qr

Π ∆[

b

,Y b ( X )] =i

[ ∆

a

{ Ω#

i

(δ

νµ

b

+Γ

νµ

k

)

} Υ

(a ) ( X ) - ∆

a

ϑ

a ( X ) Υ

(a )

( X )]

(68)

µν

µν

iν

k

µ k

iν

iν

Функционалы

Λ

[b

; a

ik

;Y b

] иΠ

[Y b∆;

c

]

квадратичны

по

полям

i

kl

kl

qr

Y b ( X );

∆ c ( X ) .Проводя

в

(67)

интегрирование

по

Y b ( X ) и

сохраняя в

kl

qr

kl

окончательных выражениях только неотрицательные степени оператора

{ Ω# i (δ

νµ

bk

+Γ

νµ

k ) }найдем:

Ξ =

С Db Da

ik

D∆ а ik

exp(−

Θ[b

; a

ik

;∆ b

] )

∫ i

i

kl

α4N

∆ (νai) ( X ) { Ω# i (δ

(69)

Θ ≡

∫ gdX { ∑a

νµ bk +Γ νµ

k )−

2δ

νµ

δ

ϑik

a ( X ) } ∆ (µκa ) ( X ) }

dX ≡

dx1dx2 ...dxN

α

N

=

1

(4π )

−

N

2

2N

4

Соотношения

(69)

соответствуют

теории

поля

с

квадратичным по

полям

b ( X ); ∆ d

(

X )

«функционалом

действия»

Θ[b

; a

ik

;∆ b

] .Это

обстоятельство

i

µν

i

kl

позволяет проинтегрировать по полям bi ( X ) .В результате получим

Ξ =

С∫Daik D∆ а ik exp(−

S[aik ; ∆ bkl ])

∫

(70)

S[a

; ∆

b

]=

gdX{

G

(∆ , a

$

∆

a

$

a

+

M

( X, a ∆ )

a

a

;

ik

kl

ik

)D

µγ

D∆

νσ

ik

∆

i

∑

a

αβµνγσ

α

β

µν

ikµκ

ν

здесь

Gαβµνγσ

(∆ , aik )

довольно

сложным

образом

выражается

через

поля

∆ βµν

( X ), aik ( X ),Γ

µνκ ( X ) .Тензор Mµναβ

( X, aik ) имеет вид

M

µναβ

( X

, a

ik

)

∑

β

k

Γ

µν

Γ

iαβk

+аδ

νµ

δ ϑ a

( X )

(71)

ik

ik

по

всем пере− стан− овкам

Здесь а, βκ -числа, которые можно вычислить непосредственно. Анализ теории

поля , основанной на соотношении (71), несмотря на внешнюю сложность, идеологически ничем не отличается от известной теории полей, принимающих значения на многообразии отличном от Rn [13].Остановимся коротко (следуя [10]) на простейших моделях таких полей и методах анализа возникающих при этом задач.

Будем рассматривать сейчас теории, в которых поля принимают значения в многообразии, обладающем нетривиальной топологией. Такие поля возникают в различных ситуациях. В частности, известно [10,11,13], что локально

В.Н.Тронин	197	Заметки об
эволюции

Приложение

равновесное состояние описывается полем, принимающим значения в пространстве вырождения Τ . Динамика локально равновесного состояния задается потенциалом, вид которого в значительной степени определяется свойствами симметрии рассматриваемой системы. Аналоги локально равновесных состояний принято называть голдстоуновскими полями. Таким образом, голдстоуновские поля принимают значения в многообразии основных состояний Τ . Если вырождение основных состояний полностью обусловлено действием группы внутренних симметрий G (группа G транзитивно действует на Τ ), то многообразие Τ можно отождествить с факторпространством G/H, где Н - группа ненарушенных симметрий. В этом случае голдстоуновские поля принимают значения в однородном многообразии G/H. Голдстоуновские поля естественно считать медленно меняющимися. Это позволяют записать потенциал голдстоуновских полей в виде

!	! M	g		!	!	!	(72)
V[φ ] =	dx		ij	(φ )grad	φ	grad φ
	∫ ∑			i		j
	i, j= 1
Здесь (φ1 ,φ2 ,.........φM ) - локальные координаты на многообразии основных
состояний Τ ,		gij		(φ) метрический тензор			на многообразии Τ . Предполагается ,

что это многоообразие имеет размерность М. Рассмотрим в качестве примера потенциала

!

!

!

2

V[φ]

=

∫

(73)

dx{(gradφ )

!

для

голдстоуновских полей .Здесь

!

значения поляφ

(x) . связаны соотношением

∑M

φi

2 =

a2

(лежат на сфере

SМ-1). Переходя на сфере к стереографическим

i= 1

координатам π1 ,π 2 ,

.....π M − 1 , получаем для потенциала (73) выражение

∑

3

M − 1

!

∑

gradiπ k gradiπ k

4

! i= 1

k =

1

V[π ] =

2a

dx

(74)

M − 1

∫

(a2 + ∑

π iπ i )

i= 1

(стереографические координаты связаны с(φ1 ,φ2 ,.........φM )) соотношением

M − 1

π

k

(a2 − ∑

π iπ i )

1

φ

k

2a

2

,1 ≤

i<

M,φ

M

a

i= 1

(74

)

=

=

M − 1

M − 1

(a2 + ∑

π iπ i )

(a2 + ∑

π iπ i )

i= 1

i=

1

Потенциал (73) очевидным образом инвариантен относительно группы SO (М). Поэтому то же можно сказать о потенциале (74).Многообразие Т представляет собой риманово многообразие.

В случае, если вырождение основного состояния обусловлено действием группы, т.е. Т = G/H, риманова метрика на Т должна быть инвариантной относительно группы G. Это означает, что тензорное поле gij (φ) полностью

определяется своими значениями в какой-то точке φ! 0 многообразия Т. Более того, даже в этой точке тензор gij (φ) не может быть выбран произвольным образом - он должен быть инвариантным относительно стационарной группы Н

В.Н.Тронин	198	Заметки об
эволюции