Тронин В.Н. - Заметки об эволюции (1988)

Приложение

в этой точке. Если G=SO(N), H=SO(N-1), G/H=SN-1 то для полей, принимающих значения на сфере SN-1, существует единственный (с точностью до множителя) SO(N)-инвариантный потенциал вида (73) (в стереографических координатах он принимает форму (74) ).

Остановимся теперь на топологических интегралах движения в теориях с

нелинейными полями. При рассмотрении полей!							с конечной		энергией
естественно считать, что эти поля имеют предел при						x	→ ∞ .
!			!	!					(75)
limφ			(x) = φ		0
	!	→∞
	x
			!	!	можно рассматривать как отображение пространства R			3	в Т = G/H.
Поле φ				(x)

Условие (75) означает, что это отображение может быть продолжено в
непрерывное отображение на сферу S3. Таким образом два голдстоуновских
~	~	~
поля(φ1 , φ2 , ,.........φN ) и (φ1	,φ2	,.........φN ) разделены бесконечно высоким

энергетическим барьером, если соответствующие отображения сфер негомотопны друг другу. Иными словами, топологический тип голдстоуновского поля определяется гомотопическим классом отображения сферы S3 в Т = G/H. В случае, если пространство Т односвязно (т.е. если

отображение	сферы	S1 в Т	гомотопно нулю или ,что то же самое группа
π1 (R) = 0 ), можно отождествить это множество гомотопических классов с
группой π 3 (R) = π 3 (G / H)			.В качестве примера рассмотрим ситуацию , когда
G = SO(N), H=	SO( N−	k) .В этом случае многообразие основных состояний

представляет собой так называемое многообразие Штифеля VN ,k .Известно

[13],что

π1 (VN ,k ) = 0 при N > k + 1 т.е. пространство Т=VN ,k односвязно. Тогда

π 3 (VN ,k ) = A , при k=N-3,где А- циклическая группа

Таким образом в рассматриваемой модели существуют топологические дефекты. Это утверждение есть частный случай более общего утверждения

[10], согласно	которому			π 2 (R) = π 1 (H) .При этом группа π1 (H) изоморфна
прямой сумме	r экземпляров группы целых чисел Z и конечной циклической
группе Z! вида	Z!	= Z +	Z+ +..... Z .
m	m	m1	m2	mk

Анализ теории поля с «действием» (70) аналогичен рассмотренному.

Действительно,			поле ∆ βµν	( X )	задает отображение риманова				многообразия ПN
с метрическим			тензором aik ( X ) , коэффициентами					связности		Γ µνκ	( X ) , на
многообразие с метрическим тензором						Gαβ [µνγσ	] (∆ , aik ) .(В квадратные скобки
поставлены			индексы	,	относящиеся		к	пространству			ПN).
Величина Mµναβ			( X, aik ) представляет собой тензор эффективных							масс поля
∆ βµν ( X ) .Отметим, что при получении выражения (70) предполагалось, что
величины ϑ		a ( X ) не зависят от поля b (				X ) . Это предположение выполненное,
					i
при ϑ	a ( X ) →	0 , в общем случае , очевидно, не справедливо. При ϑ									a ( X ) ≠ 0
под	ϑ a ( X ) ,		которые входят в соотношения (68)-(71),						следует понимать
В.Н.Тронин					199				Заметки об
эволюции

Приложение

собственные

числа

оператора

Ω$ [b

( X ), a

ik

( X )] ≡

{ Ω#

i

(δ

νµ

b +Γ

νµ

k

) },

i

k

вычисленного

при

заданных

конкретных

значениях

полей

b ( X ) =

b0i ( X ), a

ik

( X )=

a0ik ( X ) .Так,

например, для описанной выше модели

i

ay

войны

следует

0 .

В

указанных

положить b0i ( X ) =

, a0ik ( X ) =

bx

приближениях задача о поведении и структурной устойчивости автономной

системы	с внешним белым шумом сводится к анализу задачи о нахождении
массивного тензорного поля ∆ (µνβ ) ( X ) , принимающего значения на нелинейном
многообразии с метрическим тензором					Gαβ [µνγσ ] (∆ , aik ) . В общем случае задача
о поведении и структурной устойчивости автономной системы								с внешним
белым шумом сводится				к построению теории поля		для	трех	тензорных
∆ b ( X ),	Y b ( X ) , а	µν	( X )	полей, одного	векторного	поля	b ( X )		с не
µν	µν						i

квадратичным «функционалом действия» (62),(63) Для анализа задач этих классов в последнее время разработаны мощные методы [10,11,13] .

Автономные системы с внешним белым шумом при N=2.

Построенная в предыдущих разделах теория ,в силу своей общности , технически достаточно сложна при конкретных ее применениях. Задача существенно упрощается для случая N=2.В этом случае удобно провести весь анализ структурной устойчивости заново, не прибегая к помощи полученных выше общих соотношений. Действительно для системы , описываемой уравнениями

q"1 = − b1(q1, q2 )) + ζ 1(t)ψ 1 1(q1.q2 +) ζ 2 (t)ψ 21(q1.q2 )
q"2 = − b2 (q1, q2 )) + ζ 1(tψ)			1 2 (q1.q2 +) ζ					2 (ψt)	22 (q1.q2 )	(76)
ζ 1(t) = ζ 2 (t) =								0
ζ	1	(t)ζ	1	(t′)		=	Aδ	(t−	t′)
							11
ζ 1		(t)ζ	2 (t′)			=	A1δ2	(t−	t′)	(77)
ζ 2 (t)ζ 1(t′) = A2δ1								(t−	t′)
ζ		(t)ζ	2		(t′)	=	Aδ	(t−	t′)
	2						11

из (29) следует, что нулевой коэффициент Сили , определяющий вероятность

нахождения системы, в данном состоянии X								= q1 , q2	,	имеет вид
			Ψ 0L ( X ) =	(4π )− 1(E+		1	R);			(78)
здесь					6
E =	1	( ∑	∂ i bi− ∑	(aik bibk− ∂	i∂		k aik− ) ∑2	Γ iiµ bµ	)	(79)
2		i= 1,2	i,k= 1,2				i,µ=	1,2

В.Н.Тронин	200	Заметки об
эволюции

							Приложение
R(q	, q	2	), Γ κ	(q , q	2	) -скалярная кривизна и связность				риманова пространства с
1			µν	1
метрикой
				aµν	(q1,q2 ) =		∑ Ai kψ µ i (q1,q2 )ψ ν k (q1,q2 )			(80)
							i,k= 1,2
Используя (61) , запишем Φ0 (L) ≡ Φ0 [bi ( X ); aik ( X ); L]в виде:
Φ0 [bi ( X ); aik				( X ); L]= (4π )− 1 ∫ gdq1dq2 (				1	R + E)	(81)
							6
						g ≡	det aik

При проведении дальнейших вычислений учтем то обстоятельство, что величины

χ ≡

1

R

gdq dq

2

(82)

4π ∫

1

Ι ≡

1

$

gdq1dq2

(83)

Dibi

4π ∫

$

( здесь и далее

- ковариантная производная в метрике aik ( X )) представляют

Di

собой топологические инварианты и не зависят от полей bi ( X ) и aik ( X ):

δ

R

gdq1dq2

=

0

(84)

δ aik

∫

δ

$

gdq1dq2

= 0=

δ

$

gdq1dq2

(85)

δ

b

Dibi

δ

a

Dibi

∫

ik

∫

i

Действительно

,

величина

χ

есть эйлерова

характеристика двумерного

многообразия [11]. Величина I

=

1

$

gdq1dq2 представляет собой индекс

Dibi

4π ∫

оператора

L. Последнее утверждение следует непосредственно из определения

индекса оператора (351) и выражений для коэффициентов Е и Е+

E =

1

( ∑

∂ i bi− ∑

(aik bibk+

∂

i∂ k aik−) ∑2

Γ iiµ bµ )

2

i= 1,2

i,k= 1,2

i,µ= 1,2

E+

=

1

( ∑ − ∂ i b−i

∑

(aik bib+k

∂

i∂

k a+ik ) ∑2

Γ iiµ bµ )

2

i= 1,2

i,k= 1,2

i,µ= 1,2

Известно [13], что векторное поле можно представить в виде дивергенции

тензорного поля .	Представим векторное поле bi ( X ) в виде
$	Α µi	(86)
bi ( X ) = Dµ

Это представление носит весьма общий характер , однако оно неоднозначно: одни и те же значения поля bi ( X ) получаются при различных значениях

тензорного поля Α µν . Так , если выбрать тензор Α µν в виде

В.Н.Тронин	201	Заметки об
эволюции

Приложение

Α µν	= δµν	Ψ	( X )+ εµνκ Βκ	( X )
то получим,	что такое представление				соответствует разложению 3-х мерного
вектора bi ( X )		на	градиент и	ротор.	Такое представление уже однозначно.

Формально неоднозначность представления (86) связана с тем, что тензор Α µν

при N=2 в общем случае содержит четыре независимых параметра .При заданном векторном поле bi ( X ) , соотношение (86) позволяет определить лишь

два из них. Для фиксации двух оставшиеся параметров на тензор										Α µν следует
наложить два дополнительных условия( калибровку).
В общем случае тензор Α µν					можно представить в виде:
		Α µν	= δµν Ψ	( X )+ εµν			( X+) Βµν	( X )		(87)
Здесь ε µν ( X ) = ενµ			( X );ε	ii = 0		-симметричный тензор с равным нулю шпуром,
Β µν	( X ) = − Βνµ	( X ) - антисимметричный тензор. В двумерном случае N=2 тензор
Α µν	удобно разложить по матрицам σ							( а )	, которые связаны с матрицами
								µν
Паули σ$x σ$y		σ$z :
			Α µν ( X ) =		σ	µν(аψ)	а ( X )			(88)

а =

0,1,2,3. σ

(0)

=

δ

,σ

(1=)

0

1

σ=

σ$

;

(2)

=

0

µν

µν

µν

1

0

x µν

− 1

1	= σi $yµν;	(3) =	1		0			= $z
σ				σ
0			0	−		1

Тогда из (81) получим:

Φ0 [ψ

а ; aik

]

= (4π )− 1 ∫ gdq1dq2

(

1

R +

E) =

χ

+

I

+ Η [ψ а ; аik ]

6

6

2

Η

[ψ

;

а

] =

8π

∫

gdq dq

{ aik

b ψ

aψ

},

(89)

а

ik

1

a

≡

−

C

;

1

2

σ

+

k

b

i

a

σ ∂

a

C≡

Γ

l

a

Γ σ

l

a

a

a

i

ik

k

i

i

ik

lk

kk

il

где Γ

k =

1

a kl (∂

a

+ ∂

a

− ∂

a

) -символы

Кристоффеля, аik - матрица ,

i

l j

j

l

i j

i j

2

i

l

обратная к aik

. Из (56),(57) следует, что уравнения , определяющие структурно

устойчивые поляψ

а , имеют вид:

δ

∫ gdq1dq2{ aik bk

ψ

b

iaψ

a} =0

(90)

δ ψ

а

(q

, q

2

)

1

В.Н.Тронин

202

Заметки об

эволюции

						Приложение
		δ				∫ gdq1dq2{ aik bk ψ b iaψ a} =0
δ a	ik	(q	, q	2	)
		1

Таким образом задача о поведении и структурной устойчивости автономной системы с внешним белым шумом при N=2 сводится к вычислению тензорного поля Α µν ( или, что эквивалентно, поляψ а ) на двумерном

многообразии с метрикой aik .

В качестве примера рассмотрим простейший случай , когда величины aik заданы и постоянны аik = а0ik =const. Не ограничивая общности можно положить

аik = а0ik =δ ik .

Эта модель соответствует случаю, когда флуктуации не зависят от состояния

системы и описывается уравнениями вида:

q"1 = − b1(q1, q2 )) + ζ 1(t)

q"2 = − b2 (q1, q2 )) + ζ 2 (t)

(91)

ζ 1(t) = ζ 2 (t) =

0

ζ

1

(t)ζ

1

(t′)

=

Aδ

(t−

t′);ζ

1

(ζt)

2

(t′)

= 0

11

ζ 2 (t)ζ

1(t′)

=

0;ζ

2 (ζt)

2 (t′) =

Aδ 22 (t−

t′);

(92)

А11

>

0; А22 >

0

Вид уравнений

,

определяющих структурно-устойчивые поля

ψ а (и,

следовательно, поля bi ( X ) ) зависит от выбора калибровки. Так выбрав калибровку вида

Ψ =	0 ( ψ	0 =0),
∑ ψ	k2 ≡ψ	k2 = 1	(93)

k= 1,2,3

из (90) получим, что задача об определении полей ψ k , обеспечивающих

структурную устойчивость модели (91),(92) эквивалентна задаче

нахождении

минимума «энергии» векторного поля ψ !

при условии (ψ

!

ψ ! )=1.

dq dq

{ ∂

!

!

λ +

ψ(q)(ψ

!

!

− 1)}= min

(94)

i

ψ ∂ ψ

i

∫ 1 2

Хорошо известно[14], что эта задача сводится к изучению нетривиальных решений уравнения

∆ ψ! − (ψ!∆ ψ! )ψ!= 0

(95)

Решения этого уравнения разделены на сектора, отвечающие различным значениям топологического инварианта

В.Н.Тронин	203	Заметки об
эволюции

				Приложение
Q =	1	dq dq σ		(3ψ) ∂![ ψ		∂!× ψ	!]	(96)
	8π
		∫	1 2	µν	µ		ν

здесь через «x» обозначает векторное произведение.

Уравнение (95) можно упростить специальным выбором переменных. Действительно, разрешенные уравнением связи (ψ ! ψ ! )=1 значения поля

ψ ! образуют поверхность единичной сферы. Поставим в соответствие точкам сферы декартовы координаты точек плоскостиω 1ω, 2 , на которой, например , данная сфера лежит, касаясь южным полюсом( стереографические

координаты(см.

(741)).

Переменные ω ω,

2

связаны с переменными

ψ

а соотношениями:

1

ω

1

=

2ψ

1

1−

ψ

3

(97)

2ψ

ω

2

=

2

1−

ψ

3

ψ

1ψ, 2 выражаются

через переменные ω 1ω, 2 по

И

наоборот,

переменные

формулам (см. (741)):

ψ 1 =

2ω

1

1+ ω

21+ ω

22

ψ

2

=

2ω

2

(98)

1+

ω

21+ ω

22

ψ

=

ω

21 +ω

2

2−

1

3

1+ ω

21+ ω

22

Введем также полезные в дальнейшем функции

ω	(z) ≡ω	1(z)+ ω i
ψ	(z) ≡ψ	1(z)+ ψ i
z =	q1+ iq2

2
2	(99)

Для решения уравнения (95) заметим, что достаточным условием его решения является условие самодуальности [14]:

∂ ψ !	= ±σ	(3)	∂× ψ	!	(100)
µ		µν		ν

Таким образом, любое решение уравнения (99) является решением уравнения (95). Обратное, вообще говоря, неверно: существуют решения уравнения (95), которые не являются решениями (100). Такие решения отвечают локальным экстремумам функционала (94), в то время, как решения уравнения (100)

соответствуют глобальным экстремумам (100).Будем	интересоваться лишь
такими решениями. Уравнение (100) в переменных ω 1ω,	2 имеет вид:

В.Н.Тронин	204	Заметки об
эволюции

					Приложение
∂ ω 1	= ±	∂ ω 2		;		∂ ω 1		=	%	∂ ω 2	(101)
∂ q
		∂ q	2			∂ q	2			∂ q
1										1

Уравнения (101) представляют собой условия аналитичности Коши-Римана ω как функции от z (верхние знаки) или z ( нижние знаки).Таким образом , любая

аналитическая функция ω (z) илиω (z ) , записанная	в	переменных
ψ а , q1, q2 автоматически удовлетворяет уравнению (100)	и ,	следовательно,

уравнению (95).Образец решения для произвольного положительного Q=n записывается в виде

ω

(z) = [

z - z0

]

n

λ

ψ

(z) =

ω

(z)

1

+

ω

(z)

2

ψ

3 =

ω

(z)

2

− 1

(102)

+

ω

(z)

2

1

Здесь λ -любое действительное число, z0 - любое комплексное число.

Полученные решения	представляют собой пример «непотенциальных»
структурно устойчивых		полей b1(q1, q2 ), b2 (q1, q2 ) (явное						выражение для этих
полей легко получается	из соотношений (86),(88),(93),(102) ):
	b	(q , q	2	) =	σ! ∂	k	ψ!	(1021)
	i	1			ik

Для получения «потенциальных» структурно-устойчивых полей рассмотрим

калибровку	ψ 1 = ψ 2 = 0 .В	этом случае , для определения полей
ψ 0 = Ψ и ψ 3≡	А из (90), получим
	∆Ψ	=	0;	(103)
	∆Α	=	0

Решением уравнений (103) , в частности, является чисто «потенциальное» поле

Ψ (q1, q2 ) =	Bq1+ Cq2+	Hq1q2	(104)
A(q1, q2 ) =	0

где В,С,H- произвольные постоянные.

Из (104) непосредственно следует вывод структурной устойчивости простейшей модели войны или сражения, записанной в безразмерных переменных. Действительно, уравнения этой модели(52), введением новых переменных

В.Н.Тронин	205	Заметки об
эволюции

							Приложение
x =	α q1
y =	β q2							(105)
α =	a β
	b
могут быть приведены к виду
	q"1 =	−		ab			q2	(106)
	q"2 = −			ab			q1
С другой стороны из (88) имеем
	b =	∂		Ψ	=		Hq+	C
		∂		q1
	1						2
			∂	Ψ				(107)
	b =					=	Hq+	B
			∂
	2			q2			1

Тогда уравнения, описывающие структурно-устойчивую систему принимают вид:

q"1 = − Hq2 - C + ζ 1(t)

q"2 = −

Hq1

- B + ζ 2 (t)

(108)

ζ 1(t) = ζ 2 (t) =

0

ζ

1

(t)ζ

1

(t′)

=

Aδ

(t−

t′);ζ

1

(ζt)

2

(t′)

= 0

11

ζ 2 (t)ζ

1(t′)

=

0;ζ

2 (ζt)

2 (t′)

=

Aδ 22

(t−

t′);

(109)

А11 >

0; А22 >

0

Сравнение (108) и (106) показывает, что при

H =

ab; C=

B= 0 , в отсутствии

флуктуаций ζ 1(t) =ζ 2 (t) =0,

уравнения,

описывающие модель сражения(52)

совпадает со структурно-устойчивыми уравнениями(108).

Таким образом, модель войны рассмотренная выше, стуктурно устойчива даже в случае внешних флуктуаций типа белого шума произвольной амплитуды, не зависящих от состояния системы.

Диссипативные системы с внешним белым шумом при N>2.

Разработанный в предыдущем разделе метод можно применить, при некоторых предположениях , для описания диссипативных систем с внешним белым шумом при N>2 . Для того, чтобы показать это рассмотрим систему , описываемую уравнениями общего вида (3).Отвечающей такой системе нулевой коэффициент Сили, определяющий вероятность ее нахождения в данном

В.Н.Тронин	206	Заметки об
эволюции

Приложение

состоянии имеет вид(33).Предположим , что оператор Ω# i (δ νµ bk +Γ µν k ) ,

входящий в соотношение (33) целиком определяется своими диагональными компонентами:

Ω#

(δ

ν

b

+Γ

ν

)≈

1

δ

δν

Ω

#

(bΓ+

q

)

(110)

N 2

i

µ

k

µ

k

µ

ik

r

r

q r

Такое приближение, физически соответствует случаю «почти изотропного» риманова многообразия, задаваемого метрическим тензором аik .В частности приближенное равенство (110) может быть выполнено для конформно-плоских метрик [13].

аik ( X ) = S( X )δ

ik

(1101)

В приближении

(110)

оператор

Ω#

i

(δ

ν

b

+Γ

ν

k

)

может

быть вычислен до

µ

k

µ

конца. Действительно, используя соотношения

#

≡

#

Bi

,

Ω

i

Di+

B

= −

1

(a− 1 )

(b+

∂

a

) ,

k

ik

µ

k

#

2

k

µ

Bk +

Bµ

=

∂

Γ

D Bk

i

k

i

i

µ

из (110) получим

Ω#

(δ

ν

b

+Γ

ν

)≈

1

δ

δν

(E +

1

R)

(111)

N 2

6

i

µ

k

µ

k

µ

ik

Здесь R- скалярная кривизна риманова пространства с метрикой аik , а величина E определена соотношением (20)

	1	$		ik
E =		(D i bi+	a		bibk	)	(112)
	2

При получении соотношения (112) отброшены не дающие вклада в нулевой коэффициент Сили слагаемые вида ∂ i ∂ k aik .Используя (111) для нулевого

коэффициента Сили найдем :

Ψ

0L ( X ) = W( N ) Sp{ Ω# i (δ

νµ bk +Γ

µν

k ) }

N

=

2

=W( N ) (E +

1

R)

N

1

δ

νδ

2

Sp

ik

=

N N

= W(N )

6

1

N

µ

(E

+

R)

≈

2

6

N N − 1

N

N

W(N )

W(N )

− 1

1

≈

2

+

2

(aik b b

+

R)

N N − 1

N N − 2

6

i k

Здесь

≡

$

Dibi .

Описанные преобразования справедливы для произвольных рассматриваемых ниже диссипативных систем предположим, что

(113)

систем. Для

В.Н.Тронин	207	Заметки об
эволюции

Приложение

=

!

$

0

(114)

divb≡

Dib=i >0

где 0 > 0 -

число,

не зависящее от состояния системы.

Тогда вероятность

нахождения системы в данном состоянии

c точностью до не зависящей от X

постоянной имеет вид:

Ψ

L

W(N )

N

− 1

(aik ( X )bi ( X )bk ( X ) +

1

R( X )) ;

(115)

0 ( X )

N

N − 2

0 2

N > 2

6

Соотношение (115) справедливо для «сильно диссипативных» систем :

N max	aik ( X )b	( X )b ( X ) +	1	R( X )
	i	k	6
						<< 1	(116)
		0

Аналогичное соотношение может быть получено для сильно флуктуирующих систем. Действительно, если

R( X ) = R0 = const

N max aik ( X )bi ( X )bk ( X )

			<< 1	(117)
	R0

то из (113) получим

Ψ 0L ( X )	W(N )	R0	N	− 1( aik ( X )bi ( X )bk ( X ) ); для N > 2	(118)
	N N − 2		2

Соотношение (117) служит определением систем с большими флуктуациями: под большими будем понимать такие флуктуации, для которых скалярная кривизна соответствующего риманова пространства велика в смысле определения (117). Дальнейшее преобразование соотношений (115), (118) эквивалентно по существу переходу от соотношения (86) к уравнениям(90) для двумерного N=2 случая. Именно, представим поля bi ( X ) в виде

$	Α µi				(119)
bi ( X ) = Dµ
В общем случае тензор Α µν можно представить в виде:
	Α µν	= δµν Ψ	( X )+ εµν	( X+) Βµν ( X )	(120)
Здесь ε µν ( X ) = ενµ		( X );ε	ii = 0	-симметричный тензор с равным нулю шпуром,
Β µν ( X ) = −	Βνµ ( X )	- антисимметричный тензор. Тензор Α µν			удобно разложить
В.Н.Тронин				208	Заметки об
эволюции