Кнопова Избранные главы математики в примерах и задачах.Учебное пособие 2009

Тогда

lim	1		n +1	=	1	lim	n +1	=	1	lim		+	1	=	1	1	=	1	;	1	<1.
			n				n				1				2			2		2
n→+∞ 2					2 n→+∞				2 n→+∞				n

Ряд сходится.

5.2. Степенные ряды

Функциональным рядом называется ряд вида

∞
f1(x) + f2(x) +... = ∑fn(x) ,	(5.3)

n=1

где все fn(x) – функции от аргумента x, определенные на интерва-

ле X.

При любом фиксированном значении x = x0 , x0 X , ряд (5.3)

образует обычный числовой ряд вида (5.1) и его можно исследо-

∞

вать описанными ранее способами. Если ряд ∑fn(x0) сходится, то

x0							n=1
	называется точкой сходимости ряда. Множество всех							точек
сходимости ряда (5.3) образует его область сходимости.
Пусть ряд (5.3) имеет вид
							∞
			c0 +c1(x −b) +c2(x −b)2 +... = ∑cn(x −b)n					(5.4)
							n=0
(т.е.	f	n	(x) = c	n	(x −b)n) , где c	n	– числа, b – фиксировано (b = const).

Ряд (5.4) называется степенным рядом в окрестности точки b. Так при b = 0 степенной ряд записывается как

		∞
c0 +c1x +c2x2 +... = ∑cnxn.			(5.5)
		n=0
Пример 5.3. Найти область сходимости степенного ряда
∞	n
∑	x	.
	n
n=0	2

30

Решение. Так как при любом фиксированном значении x степенной ряд «превращается» в числовой, то будем исследовать его по признаку Даламбера.

an =

xn

an+1 =

xn+1

;

.

2n

2n+1

an+1

=

xn+1

2n

=

x

=

x

.

an

2n+1

xn

2

2

Ряд сходится там, где

an+1

= lim

x

=

x

<1,

т.е. при

x

< 2 .

lim

an

n→+∞

n→+∞ 2

2

Откуда областью сходимости ряда является множество x (−2, 2) .

5.3. Ряд Тейлора

Пусть F(x) в точке x =b имеет производные любого порядка.

Если все эти производные равномерно ограничены в некоторой окрестности точки b (т.е. для всех x из этой окрестности и любого n:

f (n)(x) ≤ M , M = const), то F(x) раскладывается в степенной ряд

∞		(n)	(b)
F(x) = ∑	F			(x −b)n,	(5.6)
		n!
n=0

где F (0)(b) = F(b) . Этот ряд называется рядом Тейлора функции F(x) в окрестности точки b.

При b = 0 ряд Тейлора имеет вид

	F′(0)		F′′(0)	∞		(n)	(0)
F(x) = F(0) +		x +		x2 +... = ∑	F			xn	(5.7)
	1!		2!
				n=0		n!

и называется рядом Маклорена.

31

Пример 5.4. Разложить функцию F(x) = ex в ряд Тейлора в ок-

рестности точки b = 0 (ряд Маклорена). Найти область сходимости этого ряда.

Решение. Надо построить ряд (5.7):

F(x) = ex ; F′(x) = F′′(x) =... = F (n)(x) =... = ex.

F(0) = F′(0) = F′′(0) =... = F (n)(0) =...= e0 =1 .

Откуда

ex = ∑∞ xn – искомое разложение.

n=0 n!

Найдем область сходимости ряда по признаку Даламбера:

an =

xn

,

an+1

=

xn+1

;

n!

(n +1)!

an+1

=

xn+1 n!

=

x

=

x

;

an

(n +1)!

xn

n +1

n +1

lim

an+1

= lim

x

= 0 <1 при всех x.

an

n→+∞

n→+∞ n +1

Следовательно, ряд сходится при x (−∞, +∞) .

ЗАДАЧИ

Исследовать на сходимость числовые ряды.

	∞	1		∞	∞	1		∞
	1. ∑		.	2. ∑3n .	3. ∑		.	4. ∑4n.
		n
	n=0	2		n=1	n=0 n!			n=0

Найти область сходимости степенных рядов.

5. ∑∞ xn .

n=1 n

8. ∑∞ xn .

n=0 4n

∞

6. ∑(−1)n xn.

n=0

∑∞ xn

9. n=1 3nn .

∞

7. ∑x2n.

n=0

10. ∑∞ nxn .

n=1 2n

32

	∞		x	n			∞	2	n	x	n
11.	∑				.		12. ∑				.
			n!						n!
	n=0						n=0
	∞					n
14.	∑		(−1)				xn.
			2
	n=1			n

∞

13. ∑nnxn.

n=1

Следующие функции разложить в ряд Тейлора в окрестности точки b = 0 и найти области сходимости этих рядов.

	15.			1	.			16.			1		.			17.		1		.
		1		− x					1		+ x						1− x2
	18.			1			.	19.			1			.		20.		1	.
		1		−2x					1		+ 4x							1−5x
	21.			1		.		22.			1				.	23.	1			.
			1− x3							2 −6x								3 +6x
	24.	e2x .						25.	e−2x .							26.	ex/2 .
	27.	e−5x .						28.	ex/3 .							29.	sin x .
	30.	cos x .

33

6. МАТРИЦЫ

6.1. Определитель матрицы

Определителем квадратной матрицы второго порядка

a11	a12
A =
a21	a22

называется число (или det A), вычисляемое по правилу

= det A =		a11	a12		= a	a	22	−a	a	21	.	(6.1)
		a21	a22		11			12

Определителем квадратной матрицы A третьего порядка называется число

	a11	a12	a13
= det A =	a21	a22	a23	= a11a22a33	+a12a23a31	+	(6.2)
	a31	a32	a33

+a13a21a32 −a13a22a31 −a12a21a33 −a11a23a32.

Каждое слагаемое определителя является произведением элементов матрицы, по одному из каждой строки и каждого столбца. Знаки слагаемых в определителе третьего порядка удобно запомнить, пользуясь схемой, изображенной на рис. 3.

Рис. 3

Если A – треугольная матрица (верхняя или нижняя) произвольного порядка n, или диагональная матрица, то ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

= det A = a11a22...ann .

(6.3)

34

Определитель матрицы, содержащей столбец или строку, состоящую из нулей, равен нулю.

6.2. Правило Крамера

Рассмотрим правило Крамера на примере систем линейных уравнений второго и третьего порядков.

Пусть дана система линейных уравнений третьего порядка

a x + a x						2		+ a x =b ,
	11		1	12					13		3	1
a21x1 + a22x2 + a23x3 =b2,															(6.4)
a		x		+ a x			2	+ a		x		=b .
		31	1	32						33	3	3
Определителем системы называется
					a11				a12			a13		.
	= det A =				a21				a22			a23
					a31				a32			a33
Наряду с рассмотрим определители												j ( j =1, 2, 3) , их столько,
сколько в системе неизвестных (или уравнений).															j – определи-

тель матрицы, полученной из матрицы A заменой j-го столбца на столбец свободных членов.

Например,

b1

a12

a13

,

a11

b1

a13

и т.д.

1 =

b2

a22

a23

2 =

a21

b2 a23

b3

a32

a33

a31

b3

a33

Правило Крамера

I. Если определитель системы ≠ 0,

то система имеет единст-

венное решение

x

j

=

j

,

j =1, 2, 3.

35

II. Если	= 0 и все j = 0 , то система имеет бесконечное мно-
жество решений (система неопределена).
III. Если	= 0, а хотя бы один j ≠ 0 , то система не имеет ре-

шений (система несовместна).

Замечание

В частном случае, если система (6.4) является однородной (т.е. все bj = 0) , тогда: если ≠ 0 , то система имеет единственное ре-

шение – нулевое (все	x j = 0) ; если				= 0 , то система имеет беско-
нечное множество решений.
Пример 6.1. Даны матрицы
1 2		3	и B		−3 −2 −1
A =	5			=	.
4		6			0 1 2
Выписать матрицы 2A;		A + B;	AT .

Решение. При умножении матрицы на число на это число умножаются все ее элементы, т.е.

2		4	6
2A =	8	10	12	.

Матрицы A и B одинакового размера 2×3, поэтому их можно складывать, при этом складываются элементы, стоящие на одинаковых позициях:

−2		0	2
A + B =	4	6	8	.

При транспонировании матрицы ее строки и столбцы меняются местами, откуда

		1		4
T	=		2	5
A					.
			3	6

36

Пример 6.2. Найти определители следующих матриц

		1			−2										1 −1 1									1 2 3
												=				0							; C		0 4 8
A =				3	7		; B												1 1					=			.
																1			1						0	0 5
Решение.																					2
									1		−2
		det A =													=1 7 −3 (−2) = 7 +6 =13 ,
									3		7
det B =		1		−1	1		=1 1 2 +(−1) 1 1+0 −1 1 1−1 1 1−0 = −1 ,
		0		1	1
		1		1	2
det C =				1	2		3				=1 4 5 = 20										(треугольная матрица).
				0	4			8
				0	0		5
Пример 6.3. Решить систему методом Крамера:
													x			− x		2	+ x			= 0,
															1					3
																	x2 + x3 =1,
											x				+ x		2	+ 2x				=1.
												1								3			−1
																						1		1
Решение. Матрица системы																		A =			0		1			совпадает с матри-
																								1
																						1	1
																								2

цей B из примера 6.2. Ее определитель уже найден det A = −1 , так как det A ≠ 0 , то система имеет единственное решение.

1 =		0	−1	1		= 0 +1 1 1+(−1) 1 1−1 1 1−0 −(−1) 1 2 = −1+ 2 =1 .
		1	1	1
		1	1	2

2 =		1	0	1		=1 1 2 +0 +0 −1 1 1−1 1 1−0 = 0 .
		0	1	1
		1	1	2

37

3 =		1	−1	0		=1 1 1+(−1) 1 1+0 −0 −1 1 1−0 = −1.
		0	1	1
		1	1	1

x =

1

=

1

= −1

; x

2

=

2

= 0

; x =

3

= −1 =1.

1

−1

3

−1

Ответ. x1 = −1; x2 = 0;

x3 =1.

Пример 6.4. При каких значениях параметра a система

ax + 2y =9,

+ y =15

2x

имеет единственное решение?

Решение. Система имеет единственное решение, если ее определитель ≠ 0 .

=		a	2		= a −4 ≠ 0 , т.е. a ≠ 4 .
		2	1

Ответ. При a ≠ 4 система имеет единственное решение.

ЗАДАЧИ

1. Даны матрицы:

			3	2	1						1	1	1
а)	A =		1	0	2		,		B =		0	0	0		;
			4	1	3						3	4	1
			1	0	0						0	0	1
б)	A =		3	9				,	B =		1	2	3
					21									.
			0	0	3						0	0	1

Выписать матрицы	A + B;			A − B; AT ; матрицу, противоположную
к A; для примеров:	а)	1	A ;	б)	1	A .
		2			3

38

Найти произведения A B и B A.

2.	A =		2		3	,				1	−2
			1				B =			0	1		.
					2
3.	A =		0		1	,				1	3
			3				B =			0	1	.
					4
Найти A2 и A3.
4.	A =		0		−1
			1			.
					−1
Найти AB.
			1		−1		0						0	1
5.	A =		1	2 −2					,	B =			3	4
															.
			3		−3		2						2	1

Вычислить определители следующих матриц.

6.	а)	4		−2			б)	−1 3			;	в)		2 −3
			3 5		;									1 −2	.
								−2 4
		7		0	0			3	0		0
7.	а) 0 1 0 ;						б) 0 4			0 .
			0	0	4				0		1
								0
		1		0	0			2	0		0
8.	а) 2 6 0 ;						б) 1 4 0 .
			3	4	1				1		6
								5
		1 8 1						1 2 −3
9.	а) 0 1				6 ;		б) 0 1 2 .
			0	0	5				0
								0			4

39