Сандаков Приведение кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду Учебно-методическое пособие 2009

tg

4

42

1

. Выберем любое из полученных значений, напри-

2

4

мер tg

1 , и вычислим sin

и cos

по формулам (1.12). Получим

sin

1

; cos

1

. Если tg

1 ,

то sin

и cos имеют оди-

2

2

наковые знаки.

Выберем положительные значения sin

и cos

. Тогда преобразо-

вание поворота системы координат имеет вид

x

x

y

;

2

2

y

x

y

.

2

2

	Подставим эти значения x и y	в уравнение (1.13). После упрощения
	получим 9x2 y2 9 0 или x2		y2
				1.
		9

Нашли каноническое уравнение эллипса, полуоси которого a 1 , b 3 . Центр эллипса находится в точке O (1; 1) относительно перво-

начальной системы координат. Оси симметрии эллипса совпадают с осями системы O x y , причем большая ось совпадает с осью O y , а

малая с осью O x . Изобразим эту линию (рис. 5).

Рис. 5

10

Пример 1.2. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка

7x2 16xy 23y2 14x 16 y 218 0

и построить ее относительно первоначальной системы координат.

	Решение. Так как J2	7	8	225 0 , то данное уравнение
		8	23

определяет центральную линию. Координаты центра определим из системы уравнений (1.5), которая в данном случае имеет вид:

7x0	8 y0	7	0;
8 y0	23y0	8	0.
Решая эту систему, найдем x0	1,	y0	0.
Перенесем начало координат в точку O (1; 0) , сохраняя направле-

ние осей. Уравнение данной линии в новой системе координат O x y

будет иметь вид	7(x )2 16x y 23( y )2 a	0 .
	33

Здесь (как и в предыдущем примере) при параллельном переносе

x	1 x ;
y	y

старшие коэффициенты в уравнении линии остаются без изменения, члены первой степени исчезают, а a33 в силу формулы (1.4) имеет вид

			a33	7 12		16 1 0			23 0		14 1		16 0	218	225 .
		Тогда окончательно в системе координат O x y													уравнение нашей
	линии примет вид
					7(x )2		16x y			23( y )2			225	0 .						(1.14)
		Далее сделаем поворот системы координат на угол														, тангенс кото-
	рого		вычислим			по	формуле				(1.11). В			нашем		случае				tg
	23		7	(30)2		4	64		30		34	, отсюда		(tg )		4 ; (tg			)		1	.
																				2
				16					16					1							4
	Выберем любое из полученных значений, например tg																1	, и вычис-
																4
											11

лим sin и cos по формулам (1.12) sin																							1			; cos	4			(возь-
																							17				17
мем значения sin				и cos		положительными). Сделаем поворот сис-
темы координат по формулам:
					x		4x								y				;
						17							17
					y			x							4		y				.
						17							17
Подставляя эти значения x						и y				в уравнение (1.14), получим
	7	(16x2		8x y		y2 )			16				(4x2								15x y			4 y2 )
17									17
				23	(x2	8x y				16 y2 )								225					0.
			17
После упрощений придем к уравнению
						x2			y2				1 .
						25			9

Это есть каноническое уравнение гиперболы, действительная полуось которой равна 5, а мнимая – 3, причем действительная полуось совпадает с осью O x , а мнимая – с осью O y . Центр гиперболы находится в точке O (1; 0) относительно первоначальной системы координат. Эта кривая изображена на рис. 6.

Рис. 6

12

Пример 1.3. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка

12xy 5y2 12x 22 y 17 0

(1.15)

и построить ее относительно первоначальной системы координат.

	Решение. Вычислим инвариант J2	0	6	36 0 . Следователь-
		6	5

но, данная линия является центральной. Координаты центра определим из системы (1.5), которая в нашем случае имеет вид

6 y0	6	0;
6x0	5 y0	11	0.
Решая эту систему, найдем x0	1 , y0		1.

Сделаем параллельный перенос системы координат, приняв за но-

вое начало системы координат точку O (1; 1) :
		x	1	x ;
		y	1		y .
Подставляя эти значения x и y в
заданное (1.15), после упроще-
ний	получим		12x y		5( y )2		0
или y (12x		5y )		0.
Следовательно, получаем па-
ру	пересекающихся					прямых
y	0 и 12x		5y		0.	Относи-
тельно первоначальной системы
координат		эти	прямые			имеют
вид:	y 1	0 и 12x			5y	17	0.		Рис. 7

Эта кривая изображена на рис. 7.

Пример 1.4. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка

5x2 4xy 8y2					32x 56 y 120 0 .		(1.16)
Решение. Так как	J2		2		36 0	, то данное уравнение опреде-
		5
		2	8

ляет центральную линию. Координаты центра определим из системы уравнений (1.5), которая в нашем случае имеет вид:

13

5x0 2 y0 16 0;

2x0 8 y0 28 0.

Решая эту систему, найдем x0 2 , y0 3 .

Перенесем начало координат в точку O (2; 3) , сохраняя направле-

ние осей. Это преобразование параллельного переноса задается фор-

мулами

x 2 x ; y 3 y .

Подставляя эти значения x и y в уравнение (1.16) заданной кривой, после преобразований получим:

5(x )2 4x y 8( y )2 4 0 .	(1.17)
Далее сделаем поворот системы координат O x y на угол	, тан-
генс которого вычисляется по формулам (1.11). В нашем случае

		tg	3			9		16		;		(tg						)			2 ;						(tg	)			1		.
																													2
					4													1												2
Выберем любое из полученных значений, например tg																																				2 , и вы-
числим sin			и cos					по формулам (1.12):																				sin		2					;	cos	1
																														5							5
(возьмем значения sin								и cos							положительными). Тогда преобразо-
вание поворота системы координат будет иметь вид:
									x					x					2		y			;
														5
																					5
										y			2x							y						.
														5							5
Подставляя эти значения x											и y				в уравнение (1.17), получим:
	5	(x	2y)2		4			(x 2y)(2x										y)								8	(2x	y)2		4 0 .
5					5																5
После преобразований окончательно получим
								45x2				20 y2						20									0
или									9x2					y2							1 .
								4

Это каноническое уравнение мнимого эллипса.

14

II. Случай нецентральной кривой

Пример 1.5. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка

9x2 24xy 16 y2 30x 40 y 25 0

(1.18)

и построить ее относительно первоначальной системы координат.

Решение. Так как	J2		12		0	, то данная кривая не является
		9
		12	16

центральной. Она принадлежит к параболическому типу. В параболическом случае упрощение уравнения линии второго порядка всегда начинают с поворота осей координат на угол , тангенс которого вы-

числяется по формуле (1.11). В нашем случае																		tg	7		49	576
																				24
	7 25	;	(tg )				4	;	(tg			)				3	. Выберем любое из полученных
														2
24			1			3									4
значений,			например tg									4		,	и вычислим sin			и cos		по формулам
												3
(1.12): sin				4	;	cos				3		(возьмем значения						sin и cos положи-
			5						5

тельными). Тогда преобразование поворота будет иметь вид:

x

3x

4 y

;

5

5

y

4x

3y

.

5

5

Подставляя эти значения x и y в уравнение (1.18), получим

9

(3x

4 y )2

24

(3x

4 y )(4x

3y )

16

(4x

3y )2

25

25

25

30

(3x

4 y )

40

(4x

3y )

25

0.

5

5

После

очевидных

преобразований

придем

к уравнению

(x )2

2x

1 0 , которое запишем в виде:

(x

1)2

2 .

Это пара параллельных прямых:

x

2 1 и x

2 1. Такая

кривая изображена на рис. 8.

15

Рис. 8

Пример 1.6. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка

9x2 24xy 16 y2 20x 110y 50 0

(1.19)

и построить ее относительно первоначальной системы координат.

	Решение. Так как	J2	9	12	0	, то данная кривая не является
			12	16

центральной. Она принадлежит к параболическому типу. В параболическом случае упрощение уравнения линии второго порядка всегда начинают с поворота осей координат на угол , тангенс которого вычисляется по формуле (1.11). В нашем случае

																4							3
tg	7			49	576 7			25		;		(tg			)			;		(tg )				.
																					2
				24				24							1	3						4
Выберем любое из полученных значений, например tg																						3		, и вычис-
																						4
лим sin	и		cos	по формуле (1.12):											sin		3		;	cos		4		(возьмем
																5						5
значения sin			и	cos	положительными). Тогда преобразование по-
ворота будем иметь вид:
						x			4x			3y	;
								5			5
						y			3x			4 y		.
								5			5

16

Подставляя эти значения x и y в уравнение (1.19), получим

9	(4x	3y )2			24	(4x	3y )(3x			4 y )	16			(3x 4 y )2
25				25							25
			20	(4x		3y )	110		(3x	4 y )	50			0.
			5					5

После очевидных преобразований придем к уравнению y 2 4 y 2x 2 0 .

Выделяя полный квадрат по y , получим

( y 2)2 2(x 3) 0 .

После параллельного переноса

x 3 x; y 2 y

придем к каноническому уравнению параболы y2 2x .

Эта кривая изображена на рис. 9.

Рис. 9

17

§2. Приведение уравнения поверхности второго порядка

кканоническому виду

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz .

Общим уравнением алгебраической поверхности второго порядка в

системе координат

Oxyz называется уравнение

a x2

a y2

a z2

2a xy 2a xz

11

22

33

12

13

(2.1)

2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34 z a44

0

a22

a33

a12

a13

a23

0 .

при условии

a11

Теорема. Для любого уравнения алгебраической поверхности второго порядка существует прямоугольная декартова система координат

O x y z, в которой оно приводится к одному из следующих видов:

x2

y2

z2

1)

1 – уравнение эллипсоида;

a2

b2

c2

2)

x2

y2

z2

1 – уравнение мнимого эллипсоида;

a2

b2

c2

3)

x2

y2

z2

0 – уравнение вырожденного эллипсоида;

a2

b2

c2

4)

x2

y2

z2

1 – уравнение однополостного гиперболоида;

a2

b2

c2

5)

x2

y2

z2

1 – уравнение двуполостного гиперболоида;

a2

b2

c2

6)

x2

y2

z2

0 – уравнение конуса;

a2

b2

c2

7)

z

x2

y2

– уравнение эллиптического параболоида;

a2

b2

8)

z

x2

y2

– уравнение гиперболического параболоида;

a2

b2

9)

x2

y2

1 – уравнение эллиптического цилиндра;

a2

b2

10)

x2

y2

1 – уравнение мнимого эллиптического цилиндра;

a2

b2

18

11)	x2			y2			1 – уравнение гиперболического цилиндра;
	a2			b2
12)	y2		2 px					( p	0) – уравнение параболического цилиндра;
13)	x2			y2			0 – уравнение пары пересекающихся плоскостей;
	a2			b2
14)	x2			y2			0 – уравнение пары мнимых пересекающихся плос-
	a2			b2
костей;
15)	y2		a2				0	(a	0) – уравнение пары параллельных плоско-
стей;
16)	y2		a2				0	(a	0) – уравнение пары мнимых параллельных
плоскостей;
17)	y2		0 – уравнение пары совпадающих плоскостей.

Уравнения 1 – 17 называются каноническими уравнениями алгебраических поверхностей второго порядка, а система координат

O x y z – канонической.

Уравнение 1 определяет поверхность, называемую эллипсоидом (см. эскиз поверхности на рис. 10); уравнения 4 и 5 определяют одно- (рис. 11) и двуполостный (рис. 12) гиперболоиды; уравнение 6 – конус (рис. 13); уравнения 7 и 8 – эллиптический (рис. 14) и гиперболический (рис. 15) параболоиды; уравнения 9, 11 и 12 – эллиптический (рис. 16), гиперболический (рис. 17) и параболический (рис. 18) цилиндры; уравнение 13 определяет пару пересекающихся плоскостей

(рис. 19); уравнение 15 – пару параллельных плоскостей (рис. 20);
~ ~~
уравнение 17 – плоскость O x z	канонической системы координат
	~ ~
(рис. 21); уравнение 14 определяет прямую – ось O z		канонической

~

системы координат; уравнение 3 определяет точку O – начало кано-

нической системы координат; уравнения 2, 10 и 16 определяют пустое множество точек, т.е. нет ни одной точки пространства, координаты которой удовлетворяют какому-либо из этих уравнений.

19