Е.Н. Грибанов Высшая математика. Контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

- 20 -

2xy

+

− 2xy

+

(x2 +

y2)2

y2 − x2

= y2 − x2 . Получаем

(x2 + y2 )2

(x2 + y2 )2

(x2 + y2 )2

тождество:

y2 −

x2 =

y2 −

x2 , т. е. функция z удовлетворяет уравне-

нию.

В задачах № 61-90 в первом пункте надо вычислить значение функции z в точке B, непосредственно и с помощью дифференциала

оценить возникающую относительную погрешность. Составить уравнение касательной плоскости.

Пример. Дана функция z = f (x, y) и	две точки A(x0 , y0) и
B(x1, y1) . Требуется: 1) вычислить значение z1	в точке В; 2) вычислить

приближённое значение z11 функции в точке В, исходя из значения z0

функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции

её дифференциалом; 4)		составить уравнение	касательной плоскости к
поверхности z =	f (x, y)	в точке С(x0 , y0 ,z0)	. Используем следующие
данные z = x2 +	xy − y,	A(1;2) , B(1,03;1,98) .
Решение. 1. Вычисляем z = z(B) = (1.03) 2			+ 1,03 1,98 − 1,98 = 1,1203;
		1

2. При вычисление, во втором пункте используем формулу для приближённых вычислений с помощью дифференциала:

z(x0 + ∆ x; y0 + ∆ y) =

A(x0 ; y0) и B(x1; y1) z(x0 ; y0) = z( A) = 12 +

z( x

0

; y )

+

∂

z

∆

x +

∂

z

∆ y , полагая

0

∂

x

A

∂

y

A

= B( x0 +

y)

∆

x; y

0 + ∆

, тогда

1 2

−

2 =

1.

∂ z

=

(2x + y)

A = 2 + 2 = 4,

∂ z

=

(x − 1)

A = 0,

∂ x

A

∂ y

A

∆ x = x1 − x0 = 1,03 − 1 = 0,03, ∆ y = y1 − y0 = 1,98 − 2 = − 0,02.

Подставив полученные значения в формулу, получим z11 ≈ 1+ 4 0,03 + 0 (− 0,02) ≈ 1,12

- 21 -
					z			− z1
Относительную погрешность найдём по формуле δ =					1		1			100%,
							z1
							1
подставляя полученные значения имеем δ =		1,1203 − 1,12						100% ≈ 0,03%.
			1,12

3. Для нахождения касательной плоскости используем её уравнение в

виде:

∂

z

(x −

x

0

) +

∂

z

( y −

y

0

) − ( z −

z )

= 0. Подставив найденные

∂

x

A

∂

y

A

0

(x −

1) +

0 ( y −

2) −(

z − )1 = 0 или

ранее значения, получим 4

4x − z −

3 =

0.

Для решения задач № 91-120 необходимо знать, что функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения либо в критических точках, лежащих в области, либо на границах, либо в её вершинах. [2, гл. VIII, §

17,с.280-286; 3, гл. VI, § 9, 10, с. 266-275; 5, гл. VII, § 4, с. 221-225; 7, гл. IX, § 7, с. 41-47].

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 + y2 − x y + x + мыми x = 0, y = 0, x +

y заданной в треугольнике, ограниченном пря- y = 3.

Решение. Построим указанную область (рис.12). Найдём критические точки как решение системы

		∂	z		=	0
		∂	x
						. Найдём частные производ-
		∂	z
				=		0
		∂	y

ные и составим систему уравнений

		∂	z		=	2x −	y + 1 = 0,
		∂	x
		∂ z
				= 2 y − x + 1 = 0,
		∂	y

решая полученную систему, находим критическую точку P1(1;1) , лежащую внутри области.

Исследуем функцию на границах области.

						- 22 -
	На AO имеем y =	0,−		3 ≤		x ≤ 0 z = x2 + x	z′ =	2x +	1. Приравнивая
	к нулю последнее выражение находим 2x + 1 =						0	x =	−	1	и получаем
										2
					1
	координаты точки	P2		−		;0 , принадлежащей области.
					2

На OB имеем x = 0 ,− 3 ≤ y ≤

0

z = y 2 + y z ′ = 2 y + 1 отсюда

1

получаем координаты точки P3 0;−

, принадлежащей области.

На AB имеем

2

y = − 3 − x , − 3 ≤ x ≤ 0 z = x2 + (− 3 − x)2 − x( − 3 − x) + x +

+ (− 3 − x) = x2 + 9 + 6x + x2 + 3x + x2 + x − 3 − x = 3x2 + 9x + 6

z′ =

6x +

9.

3

3

Отсюда получаем точку P4 −

;−

, принадлежащую области. Найдём

2

2

значения функции в полученных точках и в вершинах области A(− 3;0) ,

B(0;− 3) , O(

0;0) .

z(P ) =

z( − 1;− 1) = ( − )1 2 +( − )1 2 −( −)1( −) 1(+ )− 1( + )− 1 = − 1

1

z( −

0,5;0) = − 0,25,z( P)

= (z

0;− 0,)5 = − 0,25,

z(P ) =

2

3

z(P4) =

3

3

z −

;−

= 0,75,z(A) = z( −

3;0) = 6,

2

2

z(B) = z( 0;− 3) = 6,z( O) = (z 0;)0 = 0.

Выберем из этих значений наибольшее и наименьшее. Получаем

zнаиб =

6 в точках A(−

3;0) и B(0;− 3) , а zнаим = − 1 в точке P1(− 1;− 1) .

При решении задач № 121-150 необходимо использовать знание

скалярного поля [2, гл. IX, § 14, 15, с. 273-278; 3, гл. VII, § 1, с. 343-348;

7, гл. IX, § 6, с. 31-38].

Пример. Найти gradz в точке A(− 1;3) и производную по направ-

!

!

+

!

3ln(x2 + y).

лению вектора a =

− i

3 j , если z =

Решение. Градиент в точке A(−

1;3) найдём по формуле

∂

z

!

∂

z

!

gradz

=

i +

j , для этого вычислим значения частных про-

∂

x

∂

y

A

A

A

изводных

- 23 -

∂ z

=

3

2x

=

−

6

=

−

3

,

∂

z

=

3

1

=

3

, тогда градиент

∂ x

x2 + y

4

2

∂ y

x2 + y

4

A

A

A

A

3

!

3

!

равен gradz

=

−

i

+

j

. Производную по направлению найдём по

A

2

4

z

z

формуле

∂

z

=

∂

cosα

+

∂

cos β , где

!

y

∂

a

A

∂

x

A

∂

A

a y

cosα

=

a x

=

− 1

=

−

1

и cos β =

=

3

, поэтому производ-

!

(− 1)2 + (

3)

!

a

2

2

a

2

∂

z

=

−

3

−

1

3

3

=

6 + 3 3

ная по направлению равна

.

!

+

∂

a

A

2

2

4

2

8

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Контрольная работа № 4

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ 1-30. Найти дифференциалы данных функций в пунктах (а, б, в, г) и производную от неявной функции (д).

1. а) y =

x x +

2x −

ctg3x,

б) y =

4 + lnx2

,

e3x

в) y= 2 x sin

x + π

−

x + 7 ,

г ) y=

x sin x ,

3

д) x sin y +

y2 −

x =

2.

2. а)y =

x +

1

10

−

x +

1

, б) y =

e2 x+ 3 x2

2

,

x

в ) y =

1

+

tg3x

, г) y =

xe

x

, д ) x ln y

+ x2 + y = 0.

cos

π

(x −

4)

2

- 24 -

3.

а) y =

sin2 x

ctg

x

,

б) y = 2x − 3 x6 −

8 ,

3

2

в) y =

e−

x2 + 4 ,

г) y = (cos x) x ,

д ) e xy −

x2 +

y2 =

0.

ln x

π

π

4.

а )y =

5x +

б)y =

3 + 2 tg

x −

x arctg

4

,

2

4

,

в)y =

1+

sin3x

,

г)y =

(sin3x)

x ,

д)x y2 −

2 y +

ln x2 =

7.

1+

cos x

x2)4 ,

5.

а )y =

(sin x +

б )y = 34 - x 2 arcsin x −

2 x,

в)y =

cos2 3x

,

г )y =

(tgx) x2 ,

д)x3 − arctgy + x y =

1.

x3 − 1

б )y = ln(x2 +

4)−

x sin2 2x ,

6.

а )y =

4 x −

arcsin x ,

в)y =

cos x2 − 3x

,

г )y =

(x)2tgx ,

д )

y

− arctgx +

e y

= 0.

x

6 x− 1

x

7.

а )y =

x3 arccos x −

7 x ,

б)y =

5 x tg

− 2,

ln(3x − 1)

(cos x) x2 ,

4

в)y =

,

г)y =

д)x2 y2 −

sin y +

x =

3.

sin 2x

x

8.

а )y =

3 1−

,

б)y = sin2 x cos x2 ,

1+

x

2

x

(arcsin x)

x ,

д)(x +

y)2 −

в)y =

ln x

+ 1,

г)y =

arctgy = 7.

9.

а )y =

arcsin4x

,

б )y = x 10

x − 7 x2 ,

1−

4x

(1+ x2)x ,

д)3ln( x2 + y2)

в)y =

sin2 x −

ln(x +

2) ,

г )y =

− e2 x = 0.

10.

а )y

=

1

tg3 x −

ctgx +

x ,

б)y = eax cos(bx +

c) ,

3

в)y =

arccos x ,

г)y =

(1−

x)artgx ,

д)6 x + y − sin y2 +

x =

0.

1− x2

- 25 -

11.

а )y =

2 arctg

x +

(1−

x)3 ,

б)y =

2x

,

tg2 3x

3

2

в)y =

sin3 x ln x +

7 x,

г)y =

(ctgx) x ,

д)y2 −

x y + ln(x + 1) = 1.

12.

а )y =

m

ln(x2 −

a2)+

n

ln x −

a ,

б)y =

cosx

,

2

2a

x3 −

1

x +

a

в)y =

(x +

1) sin2 x2 ,

г )y = ( tgx) e x ,

д)5 xy −

x2 +

arctgx =

1.

13.

а )y =

xn a−

x ,

б)y = arcsin

x2 − 4

+

7 x,

4

в)y =

x +

cos3 2x

,

г)y =

(x −

2)cos x ,

д)x2 −

x y +

3x+

y =

2.

tg(x + 1)

14.

а )y =

sin2 5x cos x

,

б)y =

4

2

+

arcsin

x ,

3

x −

в)y =

3tgx

,

г)y = (arctgx) x3 ,

д)tg

y

−

y2 −

x = 1.

1−

x2

2x3)2 ,

x

15.

а )y =

x4 (a −

б)y = e-2x (3 sin x −

x) ,

в)y =

ctg3 4x

,

г)y =

(arcsin x) x+

3 ,

д)y3 −

x

2 cos y +

4

=

2 x .

x

cos x

16.

а )y =

5arccos x + sin3 2x ,

б)y = 2x −

3

(x2 + 1) tg x

,

3

в)y =

1−

2 x

,

г )y =

(ln x) x 2 ,

д)sin( x y)

−

arctgx2 +

4 =

0.

3 +

2 x

17.

а )y =

(9 +

x3)

2

ctg

x

,

б)y = e3x −

x

+

π

2

4

5cos 2x +

,

tg2 (x + 7)

2

в)y =

, г )y = xln x , д)6 x2 + y −

y

+ x2 = 0.

x

5 +

sin2 x

б)y = tg4 (x2 + 1)−

18.

а )y =

arcsine x ,

x

1−

2x2 ,

в)y =

6sin x

,

г )y =

(cos 2x) x ,

д)y2 −

x3 + arctgy =

2.

ln x +

2

- 26 -

19. а )y =

(x2 +

10)7 +

ln 2,

б)y =

x cos2 (3x − 1) ,

в)y =

ln(x2 +

4x −

1),

г)y = (sin5x)arctgx2 ,

д)x2 − 7 x−

y +

x y =

0.

x −

2

20.

а ) y =

tg5x sin3

2 x,

б) y =

1+ arcsin x ,

в) y =

5ln(x −

4x2)

,

г) y =

(cos(x +

2)) x− 1,

д)arctg

y

−

x2

+

2 y2

= 1.

32 x − 4

x

cos2 x),

21.

а ) y =

2e−

x (3sin

3x +

б ) y =

cos x ln x

,

(x2 +

3)

4

в)y =

1 ln x −

1 +

4x, г)y =

x , д)arctg y + sin3 2 x + x y2 =

0.

6

x +

1

+ 1 ln(x3 +

4),

4

22.

а )y =

2 arctg x

б)y =

sin3 2x

,

3

2

6

cos2 5x

в)y =

1

5 x2 +

6 ctg

x

,

г)y =

(arcsin x)ln x ,

д) x2 +

y2 =

tg

y .

2

4

б)y = arccos(1−

x)

x

23.

а )y =

xn a−

x2 ,

,

cos x + tgx

в)y =

arccos x2

,

г)y

=

x arctgx ,

д)ln y +

x

= c.

2x − x

2

y

x

π

cos3

б)y = ln(arcsin5x) ,

24.

а )y =

tg

5x +

,

4

3

в)y =

3 1+

x5

,

г)y =

(x −

1)arctgx ,

д)

x +

y = 2 xy .

sin2 x

25.

а )y =

1

ln tg

x

+

x +

1

,

б)y = 6sin x arctg

x

,

2

4

3

2

в)y =

cos3 (2x − 1)

,

г)y = (sin 2x) x2 ,

д)x y = y x .

x4 −

7

		- 27 -
26. а )y =	0,4 cos(2x + 1) −	sin	x	2	, б)y = 10 x arcsin x ,
			2

		lntgx		1
	в)y =		, г)y =	(arctg(x + 3))	х
		lnctgx

, д)sin(x y) + 6 y − x4 = 0.

27.

а )y =

9 4x5 + 2

,

б)y =

1

arcsin

x

−

ln

x +

2

,

3x4

18

4

x

−

1

x

π

(arctgx) x

2

+

4 ,

cos( x − y) =

7 3 cos3

sin x −

в)y =

2 x

−

,

г)y =

д)y

0.

4

28.

а )y =

ctg x

sin2 x

,

б)y =

1 ln

1−

x

+

1 arctg

x ,

2

2

(tgx2)

4

1+

x

2

в)y =

10 x

,

г)y =

x ,

д)2 y ln y =

x2 − 1.

π

cos 3x −

4

1− ln x

1

x

29.

а )y =

sin

2 x

б)y =

1+

tg3x +

arccos

,

2

,

2

2

в)y =

1− e2 x

,

г)y =

(ctgx) x− 2 ,

д)3x2 arcsin y + 6 y −

7 x2 =

0.

cos

x

3

30.

а )y =

arctgx

,

б)y =

1− x2

x

−

ln5 x

4

e3x− 1 +

cos

2

3 ,

4 x2 −

в)y =

3 −

x sin x +

2

,

г)y = (tgx)ctgx ,

д)sin3 4x −

x y +

y − 1 =

0.

3

31-60. Найти

31. а ) y =

32. а ) y =

dy

и

d 2 y

при заданном значении

dx

dx 2

б ) x =

t +

lncos t , t

e x2 x, x =

0.

y =

t −

ln sint

x =

lnt

ln3 1+ x2

, x

= 1. б )

, t

= −

3

y =

t

xили t .

=− π4 .

π4 .

33.а) y

34.а) y

35.а) y

36.а) y

37.а) y

38.а) y

39.а) y

40.а) y

41. а) y

42.а) y

43.а) y

44.а) y

			- 28 -
				x	=	arctgt
=	x6 − 4x3 +	4, x =	1. б )					, t = 1.
						ln(1+ t	2	)
				y	=

x = arcsint

= 1− x

2 − x4 , x = 2. б )

, t = 0.

2

y =

1− t

= (x2 +

3)3 , x =

1. б ) x

=

a(t −

sin t) , t =

π

.

y

=

a(1−

cos t)

2

	=		x3 ln x , x = 1.
	=		1		, x =	− 1.
		1−		x
	=	arctgx, x =				2.

= e x x , x = 2.

x = б )

y =

x =

б ) y =

б ) x =y =

x =

б )

y =

a cos3 t a sin3 t a(sint − a(cos t + cos 2t sin2 t , t arctgt

t	2	,

2

, t = π4 .

t cos t)				π
t sint)			, t =		.
				2
=	π	.
8
t = 1.

		x =	e	− at
= ln(ln x) , x = e.					, t = 0.
	б )
				at
		y =	e

= (1−

x2)cos x , x =

x =

lnt

0.

б )

1

, t =

1

.

y =

2

1−

t

t

1+

x

x =

e

cos t

π

=

, t

=

.

x

, x = 1. б )

t

2

y =

e

sin t

x

2

+

1

1

x =

arcsin(t

2

− 1)

1

=

, x =

. б )

, t =

.

x

−

1

2

2

y =

arccos 2t

x =

ctgt

= x3 + 2x + 6, x = 3. б )

1 , t =

π

.

y =

4

cos3 t

		- 29		-
			x =		2t −		sin2t
45. а) y = 3 (1−	x)2	, x = − 1. б )						π .
							, t =
						3		4
			y =		sin		t

46.а) у =

47.а) y =

48.а) y =

49.а) y =

50.а) y =

51. а) y =

52.а) y =

53.а) y =

54.а) y =

	1			x =	2 cos			3	2t		π
arcsin x, x =		.	б )							, t =			.
	4					3					8
				y =	sin		2t

x =

t

5

sin ax +

cos bx, x = 0.

, t =

б )

3

y =

t

+

8t −

1

t

3

π

x =

2t

−

, t =

2.

ln ctg4 x, x =

.

б )

3

8

t 4 +

6t − 1

y =

x =

1

x2 sin 2x, x =

π

π

.

б )

cos t ,t

=

.

4

6

y =

tgt

x2

x

=

a cos

2

t

π

x e

, x

= − 1. б )

, t

=

.

2

4

y

=

a sin

t

a

x =

ln(1+

t

2

)

a2

− x2

, x =

. б )

, t = 0.

2

2

y =

t

x =

arctgt

1

π

, t =

.

a +

x

, x = a. б )

2

4

y =

cos

t

x =

t

3

+

4t

− 1

ln x

+

1

+ x2

, x = 1. б )

, t

6

y =

t

−

2t

1

x =

ln(t

3

+

1)

, x = 0. б )

, t = 1.

x2 −

3x +

2

2t

y =

e

1.

= 0.

π

x =

t 2

t

x3 sin2 x, x =

55. а) y =

.

б )

ln(1+

)

, t = 0.

2

2

y =

t

3

π

56. а) y =

5x7 − 4x2 + 7 x , x = 1.

б )

x =

sin

2t , t =

.

ln(1+

t)

8

y =