Е.Н. Грибанов Высшая математика. Контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

- 30 -

x =

e

−

2t

57. а) y =

2x2 +

4x , x =

1.

, t

=

0.

б )

3

y =

t

+

1

t

x =

2 −

x 3x+ 1, x =

2 +

t 2

58.

а) y =

1.

б )

, t =

0.

t 2

y =

2 +

t

2

x

x =

t

2

+

t

+

1

59.

а) y =

ln tg

, x =

π .

б )

, t

=

1.

3

3

y =

t

+

t

−

3t

x =

e

π

6x5 −

2x3 −

60. а) y =

3x +

4, x =

0.

б )

sin t ln(1+

)

, t = −

.

2

4

y =

t

61-90. Дано уравнение движения тела

!

=

!

(t) , где t -время. Определить

r

r

скорость и ускорение тела в момент t0 , изобразить эти векторы.

!

(t) =

!

!

!

π

61.

r

2cos t i

+

2 sint

j +

3t k ,

t0 =

.

2

62.

!

(t) =

cosα

cosω

!

+

sinα

sinω t

!

+

!

t0 = 0.

r

t i

j

sinω

t k ,

!

(t) =

t 4

!

t 2

!

t3

!

63.

r

i

+

j

+

k ,

t0 =

1.

4

2

3

!

(t) =

!

at 2

!

at3

!

64.

r

at i

+

j

+

k ,

t0 =

6.

2

3

t

!

!

!

π

!

(t) =

( t −

sin t)

+ ( 1−

cos)t

65.

r

i

j

+

4 sin

k ,

t0 =

.

2

2

!

(t) =

et

!

e−

t

!

!

t0 =

66.

r

i

+

j

+

t

2 k ,

1.

!

(t) =

t 2

!

(1−

t)

!

t3

!

t0 =

67.

r

i

+

j

+

k ,

1.

!

(t) =

!

!

t

!

π

68.

r

a cos t i

+

a sin t

j

+

k ,

t0 =

.

2π

4

!

(t) =

!

!

!

π

69.

r

sint i

+

cos t

j

+

tgt k ,

t0

=

.

4

!

(t) =

( 2t +

3)

!

+ (

)1

!

!

t0

70.

r

i

3t

−

j

+

t 2 k ,

=

2.

71.

!

(t) =

!

+

ln t

!

+

t

!

t0

= 1.

r

2t i

j

2 k ,

!

!

(t) =

!

a sint

!

t0 =

72.

r

a cos t i

+

j

+

a lncos t k ,

0.

- 31 -

!

(t) =

et

!

et

sint

!

!

t0 =

73.

r

cos t i

+

j

+

et k ,

0.

74.

!

(t) =

et

!

+

!

+

et

!

t0 =

0.

r

sint i

j

2

cos t k ,

2

!

!

!

1

75.

!

(t) =

+

3 t

t0

=

.

r

cos t i

+

sin t j

k ,

2

!

(t) =

!

!

!

π

76.

r

sin2 t i +

sin t cos t

j

+

cos2 t k ,

t0

=

.

4

!

(t) =

!

(t 2

t )

!

(3t 2

t )

!

t0 =

77.

r

3

t i

+

−

j

+

+

k ,

1.

!

(t) =

et

!

et

cos t

!

et

!

t0 =

78.

r

i

+

j

+

sint k ,

0.

!

!

!

4

!

79.

r

(t) =

(t 4 −

3t 2 ) i

+

(t3 +

2t )

j

+

k ,

t0 =

−

1.

t

!

(t) =

!

(t3 −

2t)

!

!

t0 = 3.

80.

r

10 −

t 2 i

+

j

+

(4t − 3t 2) k ,

!

(t) =

!

+ (t 4 + 3)

!

!

81.

r

(t3 − 3) i

j

+ ln t k , t0 = 1.

!

(t) =

!

!

!

π

82.

r

cos 2t i

−

3sin2t j

+

2ctgt k ,

t0 =

.

4

!

(t) =

t 2

!

−

t

!

et

!

e

t0 =

83.

r

i

−

j

+

k ,

0.

!

(t) =

!

!

!

π

84.

r

sin2t i

+

t 2 j

+

cos 2t k ,

t0 =

.

4

!

(t) =

!

+ (t3 +

1)

!

(t +

!

t0 =

85.

r

ln t i

j +

2)2 k ,

1.

!

(t) =

t 2 +

!

(t3 +

!

t

!

e 2

t0 =

86.

r

9 i

+

7t) j

+

k ,

4.

!

(t) =

2t

!

!

(t 2 +

!

t0 =

87.

r

i

+

2

−

t

j

+

3) k ,

1.

!

(t) =

(5t 2 +

!

4

!

!

t0 =

88.

r

1) i

+

3t +

j

+

lnt k ,

4.

!

(t) =

!

!

!

π

89.

r

cos2 t i

+

sin2 t

j +

4t k ,

t0

=

.

2

(t) =

!

!

!

π

90.

!

t +

+

6t 2 +

4

+

t0 =

.

r

1 i

j

5 t k ,

2

Контрольная работа № 5

- 32 -

1-30. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

[a; b] .

1.	f (x) =	x	, [0;2].
		1+ x2
3.	f (x) =	x3 , [− 1;3].

5. f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 1, [− 1;5].

7. f (x) = ( x − 3)

x , [0;4].

9. f (x) =

x + sin x, [0;π

].

11. f (x) =

x

, [2;5].

x2 −

1

13. f (x) =

x2

, 0;

1

.

x2 −

1

2

15. f (x) =

1

+ 4x2 , [0,2;1].

x

π

17. f (x) =

0,5x +

cos x ,

;π

.

x + 3

2

19. f (x) =

, [− 3;7].

x2 + 7

−

3π

.

21. f (x) =

0,5x +

cos x,

;− π

2

23. f (x) =

1

x −

sin x,

−

2π ;−

3π

.

2

2

25. f (x) =

0,5x +

cos x, −

2π

;−

3π

.

2

27. f (x) =

x2 e−

x , [1;3].

29. f (x) =

x − sin x , [0;π

].

2. f (x) =

x(10 − x) , [− 1;1].

4. f (x) = x2 ( x − 3) , [1;3].

6. f (x) =

x

, [3;6].

x −

2

8. f (x) =

x − 3

x , [− 3;0].

3

1

;e .

10.

f (x) = x ln x,

2e

12.

f (x) =

1

,

−

1

;

1

.

1−

x2

2

2

14.

f (x) = (x2 − 1)3 , [0;3].

16.

f (x) =

x + 6

, [− 5;5].

x2 + 13

18. f (x) =

x − 3

, [− 5;5].

x2 + 16

3π

.

20. f (x) =

0,5x −

sin x,

;2π

x −

5

2

22. f (x) =

, [− 3;7].

x2 +

11

24. f (x) =

x −

4

, [− 4;6].

x2 +

9

26.

f (x) =

x3

,

[2;4].

3 −

x2

28.

f (x) =

e x

, [1;2].

x

f (x) =

8ln x, [1;e].

30.

x2 −

31. Требуется изготовить ящик с крышкой, объём которого был бы равен 72 см3, причём стороны основания относились бы, как 1:2. Каковы

- 33 -

должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

32.Объём правильной треугольной призмы равен V . Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?

33.Открытый бак имеет форму цилиндра. При данном объёме V каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей?

34.Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должны быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?

35.Из круга вырезан сектор с центральным углом α . Из сектора свёрнута коническая поверхность. При каком значении угла α объём полученного конуса будет наибольшим?

36. Дождевая капля падает со скоростью v = gt , где t -время,	g =	9,8
м/с2. Масса капли уменьшается по закону m(t) = m0 − kt , где m0 -		на-

чальная масса, k - постоянный коэффициент. Через сколько секунд, после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей и какова она?

37.Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега (лагерь расположен на берегу). Если гонец может делать пешком по 5 км/ч, а на веслах по 4 км/ч, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?

38.На странице книги печатный текст должен занимать S квадратных сантиметров. Верхнее и нижнее поля должны быть по a см, правое и левое - по b см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

39.Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиусом R .

40.Полоса железа шириной a должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет форму дуги кругового сегмента). Найти значение центрального угла, опирающегося на эту дугу, при котором вместимость желоба будет наибольшей.

41. На оси параболы y2 = 2 p x дана точка на расстоянии a от вершины. Указать абсциссу x ближайшей к ней точки кривой.

-34 -

42.Кусок проволоки длиной l согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.

43.Требуется устроить прямоугольную площадку так, чтобы с трёх сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к длинной каменной стене. Какова наилучшая (в смысле площади) форма площадки, если имеется l погонных метров сетки?

44.Из квадратного листа картона со стороной a требуется сделать открытую прямоугольную коробку наибольшей вместимости, вырезав по углам квадраты и загнув выступы получившейся крестообразной фигуры.

45.Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен вмещать V литров. При каких размерах на изготовление бака потребуется наименьшее количество жести?

46.В шар радиусом R вписать цилиндр наибольшего объёма.

47.В шар радиусом R вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью.

48.В шар радиусом R вписать конус наибольшего объёма.

49.В сегмент параболы y2 = 2 p x , отсекаемый прямой x = 2a , вписать прямоугольник наибольшей площади.

50. На кривой y = 1 найти точку, в которой касательная составляет 1+ x2

с осью OX наибольший по абсолютной величине угол.

51. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на сжатие пропорционально площади этого сечения. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d , чтобы её сопротивление на сжатие было наибольшим?

52. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объёма V , причём стоимость квадратного метра материала, из которого изготовляется дно бака, равна p1 р., а стоимость квадратного метра мате-

риала, идущего на стенки, равна p2 р. При каком отношении радиуса дна к высоте бака затраты на материал будут наименьшими?

53. В прямоугольной системе координат через точку (1;2) проведена прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая вместе с осями координат образует треугольник. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшей?

54. Из полосы жести шириной 11 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапе-

- 35 -

ции. Дно желоба равно 7 см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

55.Сопротивление балки прямоугольного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины этого сечения на квадрат его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанного из круглого бревна диаметром d , чтобы её сопротивление на изгиб было наибольшим?

56.В прямоугольной системе координат через точку(1;4) проведена

прямая, пересекающаяся с положительными полуосями координат. Написать уравнение прямой, если сумма отрезков, отсекаемых ею на осях координат, принимает наименьшее значение.

57.Полотняный шатер объёмом V имеет форму прямого кругового конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?

58.Из полосы жести шириной 30 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 10 см. Каков должен быть угол, образуемый стенками желоба с дном, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

59.Стрела прогиба балки прямоугольного поперечного сечения обратно пропорциональна произведению ширины этого сечения на куб его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d , с наименьшей стрелой прогиба (наибольшей жесткости)?

60.Найти отношение радиуса цилиндра к его высоте, при котором цилиндр имеет при данном объёме V наименьшую полную поверхность. 61-90. Провести полное исследование данных функций и начертить их графики.

61. а) y =

x4 −

3

, б)

y =

x

62.

а)y =

x

2

+

1

, б)

y =

x

3

e

−

x

.

.

x 2

x

e x

x

3

− ln(x + 1) .

а) y =

x

, б)

y =

ln x

63.

а) y =

, б) y = x

64.

2

.

x2 −

1

x

3 −

x

2

x2

ln(x2 +

1).

4x −

12

−

66.

а) y =

x

x +

3, б)

y =

65.

а) y =

, б)

y =

x e

2

(x −

2)2

- 36 -

67.

а) y =

8

, б)

y =

x2

.

x2 −

4

e x2

69.

а) y =

(x2 −

1)3 , б)

y =

x −

2ln x .

71. а) y =

x2

, б)

y =

x + arctgx .

x −

2

73.

а) y =

x2 +

2x −

3, б)

y =

e x

.

x + 1

75.

а) y =

x3 −

x2 , б)

y =

1

.

e x −

1

77.

а)y =

6x2 −

x 4

, б)

y =

ln x

.

9

x

x3

а) y =

,

79.

x −

1

.

б) y =

(2 + x2 ) e− x2

81. а) y =

16

, .

x2 (x − 4)

б) y = 2 x −

arcsin x

83.

а) y =

x4

, б)

y =

2

.

(1+

x)3

(1+

x)2

85.а) y = x3 (x − 5) ,. б) y = x arctgx

	а) y =		x4	+ x3 ,
			4								.
	87.					π			π
	б) y =		sin2x − x на		−			;			.
						2			2

68. а) y =	x2		, б) y =	1		.
	x2 − 1			e x −
					1

	70. а) y =	x3	+ x2 , б)
		3

72.а)y = (x − 1)2 , б)

x2 + 1

	а) y =	x3 +	x4	,
74.
		4
	б) y = ln(x2 − 2x
76. а)y =		(x − 1)2( x + 2)

78. а) y =	4x	, б)
	4 + x2

y = 2x + ctgx.

y = x3 e x .

+ 2).

, б) y = 2x . x2

e 2

y = x e3x .

80.

а) y =

x2 −

x − 6

, б)

y =

3x

.

x −

2

e x

82.

а) y =

(x2 − 1)3 , б) y =

ln x

.

x

84.

а) y =

3x5 −

5x3 , б)

y =

x3

.

1

x

e x

86.

а) y =

x +

, б)

y =

+

arctgx .

x

2

88.

а) y =

2x2 − 1

,

x

4

на [0;π ].

б) y =

2x +

ctgx

			- 37 -
	89. а) y =	x4	− 2x2 , б) y = ln(x2 − 1).	90. а) y =	3 −	x2	, б) y = x + sin x .
		4			x +	2

Контрольная работа № 6

1-30. Найти область определения функции двух переменных. Сделать схематический чертёж.

1. z =			1− x2 − y2 .
3.	z =		x + arcsin x .
5.	z =		ln(x y) .
7. z =			4 − x2 − y2 .
9. z =			2x + arcsin y .
11.		z =	x ln y .
13. z =			16 − x2 − y2 .
15.		z =	arccos y − x .
17. z =			1
			9 − x2 − y2 .
19. z =			x2 + y2 − 2 .
21. z =			y2 − arccos x .
23.		z =	y ln x .
25.		z =	x2 + y2 .
27.		z =	y + arcsin x .
29.		z =	x2 − y .

2.	z = ln(x2 − y).
4.	z =	y sin x .
6.	z =	ln y −	lncos x .
8.	z =	ln(x −	y) .

10.	z =	x sin y .
12.	z = ln(x ( y − 1)) .
14.	z = ln(x + y) .
16.	z =	x y .
18.	z = ln( y (x − 3)) .
20.	z =	ln(2x + y) .
22.	z =	x cos y .
	z =	1
24.		2 − x2 − y2 .
26.	z =	ln(2 y − x2 ).
28.	z =	y cos x .
30.	z =	ln x − ln sin y .

	31-60.Дана функция z =			f (x; y) . Показать, что она удовлетворяет данно-
	му уравнению.
	31. z = e xy , x2	∂ 2z	− y2 ∂ 2 y		= 0 .
		∂ x2
				∂ x2

- 38 -

32.

z =

e

−

cos(ax+ y)

,

a

2 ∂

2z

=

∂

2z

.

∂

x2

∂

y2

33.

z =

ln(x2 +

y2 +

2 y +

1)

,

∂ 2z

+

∂ 2z

= 0 .

∂

x2

∂

y2

34.

z =

sin2 ( y −

ax) ,

a2

∂

2z

=

∂

2z

.

∂

y2

∂

x2

35.

z =

y

,

x

2

∂ 2z

+

2xy

∂ 2 z

+

y

2

∂

2 z

= 0 .

x

∂ x2

∂ x∂

y

∂ y2

36.

z =

y

y

,

x2 ∂ 2z

−

y2 ∂

2z

=

0 .

x

∂

x2

∂

y2

37.

z =

x

,

x

2 ∂ 2z

−

∂

y

2

∂ z

=

0.

y

∂

x2

∂

y

∂ y

38.

z =

ln(x2 −

y2),

∂ 2z

−

∂ 2z

=

0 .

∂

x2

∂

y2

x

∂

2z

∂

2z

39.

z =

arctg

,

+

=

0 .

y

∂

x2

∂

y2

y

∂

2

∂

z

2

∂

2z

e x ,

40.

z =

x

−

y

=

0 .

∂

∂

∂

y2

x

x

41. z = x y ,

∂ 2z

=

∂ 2z

.

∂

x∂

y

∂

y∂

x

42.

z =

e x (cos y +

x sin y) ,

∂

2z

=

∂

2 z

.

∂

x∂

y

∂

y∂

x

43.

z =

e2 x y2 ,

1

∂

2z

=

∂

2z

.

2 y2 ∂

x2

∂

y2

44.

z =

e x sin y,

∂ 2z

+

∂ 2z

=

0.

∂

x2

∂

y2

- 39 -

e( x + 2) y ,

x +

2

∂

2 z

∂

2 z

45.

z =

−

=

0.

y

∂

x2

y 2

∂

46.

z =

x3 +

xy 2 −

5xy3 +

y5 ,

∂ 2 z

=

∂ 2 z

.

∂ x∂ y

2

∂ y∂ x

47.

z =

4 y 2

x ,

x

∂

2 z

+

∂

2 z

=

0 .

8

y

∂

x2

∂

y 2

e xy

2

y3

1)

∂

2z

∂

2z

48.

z =

,

2(y2 x +

=

.

∂ y∂

x

∂

x2

49.

z =

ln(x +

y2),

2 y

∂ 2z

=

∂ 2z

.

∂

∂

x2

y∂

x

50.

z =

x

,

∂

2z

=

∂

2z

.

y2

∂ x∂

y

∂

y∂

x

51. z =

esin( x+

2 y) ,

4

∂

2z

=

∂

2z

.

x2

∂

∂

y2

52.

z =

cos2 ( y +

3x) ,

∂ 2z

=

∂ 2z

.

∂

x∂

y

∂

y∂

x

53.

z =

2x3

5 y +

1,

∂ 2z

=

∂

∂ 2 z .

∂

x∂

y

y∂

x

54.

z =

e3 y cos x,

9

∂ 2z

+

∂ 2z

=

0 .

∂ x2

∂

y2

55.

z =

x3 y2 −

3xy3 −

xy +

1,

∂ 2 z

=

∂

2z

.

∂

x∂

y

∂

y∂ x

56.

z =

3axy −

x3 −

y3 ,

y ∂ 2z

=

∂ 2z

.

x ∂

x2

∂ y2

57.

z =

x3 y +

ln y −

x ,

∂

2z

=

∂

2 z

.

∂

x∂

y

∂

y∂

x