Е.Н. Грибанов Высшая математика. Контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

- 40 -

58.

z =

e y cos 5x,

25

∂ 2z

+

∂ 2z

=

0 .

∂ y2

∂

x2

59.

z =

a xy ,

x2

∂

2z

=

∂

2z

.

y2

∂

x2

∂

y2

60.

z =

ln(xy +

1) ,

∂

2z

=

∂

2z

.

∂ x∂

y

∂

y∂ x

и две точки A(x0 ; y0) и B(x1; y1) .

61-90.

Дана функция

z =

f (x; y)

Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке B ; 2) вычислить

приближённое значение z1 функции в точке B , исходя из значения z0

функции в точке A, заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её диф-

ференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверх-
ности z = f (x; y)				в точке C(x0 ; y0 ; z0) .
61. z = x2 + 3xy + y2 , A(3;1) , B( 3,05;1,02) .
62.	z =	xy +	y2 −	2x ,		A(2;1) , B( 2,03;0,96) .
63.	z =	x2 +	y2 −	x −		y,	A(− 2;2) , B( − 2,02;2,05) .
64.	z =	2x2 + 2xy −			y2 ,		A(1;3) , B( 0,95;2,94) .
65.	z =	x2 +	3xy −		y2 ,		A(1;3) , B( 0,96;2,95) .
66.	z =	xy + 2x −		y,		A(2;2) , B(1,93;2,05) .
67.	z =	3 y2 −	9xy +		y,		A(1;3)	, B(1,07;2,94) .
68.	z =	xy +	x − y,		A(1,5;2,3)			, B(1,43;2,35) .
69.	z =	y2 −	xy −	x2 ,		A(− 4;5) , B( − 3,92;5,06) .
70.	z =	x2 +	y2 −	x −		y,	A(1;− 3) , B(1,08;− 2,94) .
71. z = x2 + 2x + y2 , A(1;2) , B(1,03;1,97) .
72.	z =	2x2 − 9xy −			y,		A(1;1) , B( 0,98;1,03) .
73.	z =	3 y2 +	xy −		x −	y, A(2;1) , B(1,98;0,98) .
74.	z =	xy +	y2 −	x,		A(3;2) , B( 3,03;1,92) .
75.	z =	2 x + 3 y −		y2 ,		A(1;2) , B(1,06;2,01) .

-41 -

76.z = y − xy + x2 , A(1;3) , B( 0,96;3,05) .

77.	z =	2 y2 −		3x2 −			x +		2 y,	A(− 2;1) , B( − 1,93;0,92) .
78.	z =	3 y2 −		2xy +			x2 ,		A(3;− 1) , B( 3,04;− 0,93) .
79.	z =	7 x +	8 y −			xy,		A(5;3) , B( 4,98;3,03) .
80.	z =	x2 −		y2 +		5xy,			A(− 3;− 2) , B( − 3,02;− 1,98) .
81. z = y2 − 3xy + x2 , A(− 1;1) , B( − 0,96;1,04) .
82.	z =	x +	y −		4 y2 ,			A(2;5) , B( 2,01;4,93) .
83.	z =	2x2 +			y2 −		x −	2 y,		A(− 2;3) , B( − 1,97;2,94) .
84.	z =	7 x2 +			y2 −		3x,		A(1;2) , B(1,01;2,03) .
85.	z =	x +	y −		8xy,			A(3;2)		, B( 3,04;1,98) .
86.	z =	4xy +			y2 −	2x2 ,			A(5;2) , B( 5,07;2,04) .
87.	z =	8x2 +		7 y2 −			5 y,		A(1;2) , B( 0,95;2,05) .
88.	z =	3x +	4 y −			y2 ,		A(− 1;− 1) , B( − 0,93;− 1,04) .
89.	z =	x2 −		y2 +		xy,			A(3;− 1) , B( 3,01;− 1,08) .
90.	z =	3 y −	5xy −			y2 ,			A(2;− 1) , B(1,92;− 1,03) .

91-120. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x; y) в замкнутой области.

91. z =

x2 +

y2 −

xy − 4 x в треугольнике, ограниченном прямыми

x = 0, y = 0, 2x + 3 y − 12 = 0.

92.

z =

x2 +

y2 −

4xy + 4x в квадрате 0 ≤

x ≤ 4,

0 ≤

y ≤

4.

93.

z =

x3 +

y3 −

3xy в прямоугольнике 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3.

94.

z =

x2 −

2 y2 + 4xy − 6x − 1 в треугольнике, ограниченном прямыми

x = 0, y = 0, x + y = 3.

95.

z =

xy −

2x −

y в прямоугольнике 0 ≤

x ≤ 3,

0 ≤

y ≤ 4.

96.

z =

1

x

2

− xy в области, ограниченной параболой

y =

x2

и прямой

2

3

y =

3.

97.

z =

2x +

y −

xy, в квадрате 0 ≤ x ≤ 4,

0 ≤ y ≤ 4.

- 42 -

98. z = x2 +

4xy − y2 −

6 x − 2 y в треугольнике, ограниченном прямыми

x = 0, y = 0, y = 4 − x .

99. z = x2 +

y2 − xy + x +

y в треугольнике, ограниченном прямыми

x = 0, y = 0, x + y = − 3.

100.

z =

x3 + 8 y3 −

6xy +

1 в прямоугольнике, ограниченном прямыми

y = 1, y = − 1, x = 0, x = 2 .

101. z =

2x2 +

y2 −

3xy +

y в треугольнике, ограниченном прямыми

x = 5, y = 0, y = 2x .

102.

z =

5x2 −

y2 −

2x в треугольнике, ограниченном прямыми

y = x, y = − x, x = 3 .

103.

z =

x2 +

y2 − 4x −

y в треугольнике, ограниченном прямыми

y = 2x , y = 0, y = 10 − 2x .

104.

z =

x2 + 2 y2 +

4 xy +

1 в прямоугольнике − 1≤ x ≤ 1,

−

2 ≤ y ≤ 1.

105.

z =

x2 +

xy − 3x −

y в прямоугольнике 0 ≤ x ≤

2, 0 ≤

y ≤ 3.

106.

z =

x2 +

y2 −

xy −

5 y +

3 в трапеции, ограниченной прямыми

x = 0, y = 0, y = 5, y = 8 − x .

107.

z =

3x2 −

3 y2 − x +

y +

xy в треугольнике, ограниченном прямыми

x =

0, y = 0, y = 5 − 5x

2

.

2 y2 +

3x2 − 2xy −

108.

z =

5x в треугольнике, ограниченном прямыми

y = 0, y = 4 − x , y = 4 + x .

109.

z =

y3 +

x3 −

xy в прямоугольнике 0 ≤ x ≤ 3,

0 ≤

y ≤ 4.

110.

z =

8x3 +

y3 −

12xy + 5 в трапеции, ограниченной прямыми

x = 0, y = 0, y = 4, y = 6 − x .

111.

z = xy +

2x −

5 y в прямоугольнике

1 ≤ x ≤ 6,

− 3 ≤ y ≤ 0 . z =

x −

3 y +

10xy в четырёхугольнике, ограни-

ченном прямыми x =

0,

x =

3,

y = − 2, y = 3 − x .

112.

z =

x −

3 y + 10xy в четырёхугольнике, ограниченном прямыми

x = 0, x = 3, y = − 2, y = 3 − x .

113.

z =

x +

3 y − 5xy в четырёхугольнике, ограниченном прямыми

x = 0, y = 0, x = 5, x + 5 y = 10 .

- 43 -

114.

z =

x2 −

5xy +

x −

2 y в квадрате − 1 ≤

x ≤ 2,

0 ≤ y ≤ 3 .

115.

z =

x2 −

2xy +

3x в области, ограниченной параболой y =

4 − x2 и

прямой y = 0.

116.

z =

2x2 +

2xy − y2 −

8x +

2 y + 3 в треугольнике, ограниченном пря-

мыми y = 0,

x =

2,

y =

x +

2 .

117.

z =

x2 +

y2 −

6 x +

4 y + 2 в прямоугольнике 0 ≤ x ≤ 4,

− 3 ≤ y ≤ 2.

118.

z =

xy +

x + y в квадрате − 2 ≤ x ≤ 1,

− 2 ≤

y ≤ 1.

119.

z =

2x2 +

xy в области, ограниченной параболой y =

x2 −

1 и пря-

мой y =

3.

120.

z =

3x2 +

5x −

y2 + 1 в прямоугольнике, ограниченном прямыми

x = 0, x = 3, y = − 2, y = 2.

!

121-150. Дана функция z = z(x; y) , точка A и вектор a . Найти:

1!) gradz в точке A; 2) производную в точке A в направлении вектора

a .

!

!

121. z = x2 − x y + y2 ,A(1;1)

!

,a

= 6i

+ 8 j .

122.

z =

2x2 +

xy,

A(− 1;2) ,

!

=

!

!

a

3i +

4 j .

y

A(−

1;1) ,

!

!

!

123.

z =

arctg

,

a =

i

−

j .

x

124.

z =

x3 y +

xy2 ,

A(1;3) ,

!

=

−

!

+

!

a

5i

12 j .

125.

z =

ln(2x +

3 y) ,

A( 2;2)

,

!

=

!

−

!

a

2i

3 j .

126.

z =

5x2 y +

3xy2 ,

A(1;1) ,

!

=

!

−

!

a

6i

8 j .

3x

A(3;4) ,

!

!

!

127.

z =

,

a =

−

3i

+

− 4 j .

y2

!

128.

z =

arctg(xy) ,

A( 2;3)

,

!

=

!

a

4i

+ 3 j .

129.

z =

ln(3x2 +

2xy2 ),

A(1;2) ,

!

=

!

−

!

a

3i

4 j .

x +

y

!

!

!

130.

z =

,

A(1;− 2) , a =

i

+

2 j .

x2 +

y2

131. z =

5x2 − 2xy +

!

=

!

−

!

y2 , A(1;1) , a

2i

j .

132.

z =

3x2 +

5x −

y2 ,

A(2;− 1) ,

!

=

!

+

!

a

i

j .

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

141.

142.

143.

144.

145.

146.

147.

148.

149.

150.

- 44 -

1

1

!

!

!

z =

x

2

+ 3xy +

y

3 , A(2;− 2) , a

=

5i

+

2 j .

2

3

!

!

z =

arctg(xy2 ),

A(−

1;1) ,

!

=

−

a

2i

5 j .

!

= −

!

!

z = 3x2 y + y3 − 2x, A(1;− 2) , a

i

+

2 j .

!

!

−

!

z = ln(x2 + 3xy), A(2;− 1) , a

= 2i

2 j .

!

=

!

+

!

z = ln(xy2 − 1), A(− 1;1) , a

8i

6 j .

z = ln(1+ xy +

x2), A 2;

1

!

!

!

, a = 7i

−

j .

x

1

1

2

!

!

!

z =

ln

, A

;−

, a = 2i + 3 j .

y

3

3

2x +

1

!

!

!

z =

, A(

2;7) , a

=

12i

+

5 j .

y − 5

!

!

!

= −

−

z = x2 − 2xy + 3 y − 5, A(1;2) , a

2i

3 j .

z =

4 + x2 +

!

!

+

!

y2 , A(2;1) , a

= 3i

3 j .

z = ln(x2 + 4 y2), A(6;4)

!

1

!

!

, a =

i

+

j .

2

x y

!

!

!

z =

, A(2

;1) , a

= 2i

− 3 j .

x2 + y2

2 −

x

!

!

!

z =

, A(− 1;1) , a

= −

2i

+

2 j .

2 + y2

y +

3

!

!

!

z =

, A(1;5) , a

=

5i

+

5 j .

x2 +

7

!

!

!

z =

x2 + y2

=

−

, A(− 3;4) , a

4i

j .

x

!

!

!

z =

1+ y , A(4;1) , a =

i

+ 4 j .

z = (x3 +

1)

y

2

!

!

!

, A(1;5) , a

=

5i

−

5 j .

1

x

!

!

!

z =

(1+ x)

y

, A(− 3;1) , a

=

i

− 3 j .

- 45 -

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Шнейдер В. Е. Краткий курс высшей математики / В. Е. Шнейдер,

А. И. Слуцкий, А. С. Шумов. - М.: Высш. шк., 1972. - 473 с.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. -

М.: Наука, 1965. - Т. I. - 476 с.

3.Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высш. шк., 1966. - 480 с.

4.Шнейдер В. Е. Краткий курс высшей математики / В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов. - М.: Высш. шк, 1978. - Т. I. – 384 с.

5.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т. . Кожевникова. - М.: Высш. шк., 1980. -

Ч. I. - 320 с.

6.Лихолетов И. И. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. - Минск:

Высш. шк., 1976. - 325 с.

7.Шнейдер В. Е. Краткий курс высшей математики. / В. Е. Шнейдер, А.И.Слуцкий, А.С. Шумов. - М.: Высш. шк., 1978. - Т. 2. - 328 с.

8.Цыпкин А.Г. Справочник по математике (для средней школы). - М.:

Наука, 1979. - 400 с.

- 46 -

Составители

Евгений Николаевич Грибанов Вера Абрамовна Похилько Зинаида Петровна Бадяева Эрна Францевна Золотарева Виктор Иванович Немов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Контрольные работы № 4; 5; 6 и методические

указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических специальностей.

Редактор Е. Л. Наркевич

ЛР № 020313 23.12.96

Подписано в печать 13. 03. 2000. Формат 60× 84/16. Бумаг офсетная. Отпечатано на ризографе. Уч.-изд. л. 3,0. Тираж 400 экз. Заказ

Кузбасский государственный технический университет. 650036, Кемерово, ул. Весенняя, 28.

Типография Кузбасского государственного технического университета 650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.