М.Ю. Чунаев Расчет многопролетной шарнирной балки на действие неподвижной и подвижной нагрузок

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра технологии строительного производства

РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНОЙ ШАРНИРНОЙ БАЛКИ НА ДЕЙСТВИЕ НЕПОДВИЖНОЙ И ПОДВИЖНОЙ

НАГРУЗОК

Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по курсу "Строительная механика" для студентов

специальности "Промышленное и гражданское строительство" всех форм обучения

Составители М.Ю.Чунаев А.Б.Сорокин К.Г.Харченко

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 6 от 10.01.99 Рекомендованы к печати методической Комиссией направления 550100 Протокол № 8 от 11.01.99

Кемерово 1999

1

Предисловие

Настоящие методические указания составлены в помощь студентам, самостоятельно выполняющим курсовое задание на тему: "Расчет многопролетной шарнирной балки на действие неподвижной и подвижной нагрузок". Указания содержат общие сведения о многопролетных шарнирных балках (в дальнейшем м.ш.б.); аналитическом способе их расчета на действие неподвижной нагрузки; кинематическом способе построения линий влияния; способе определения усилий в сечениях м.ш.б. от неподвижной нагрузки с помощью линий влияния; примеры расчета.

Курсовое задание выполняется в карандаше на стандартном листе ватмана формата А3. Все схемы и эпюры вычерчиваются строго в масштабе. В левом верхнем углу должна быть прикреплена схема задания. В правом нижнем углу - стандартный штамп.

1. Общие сведения

Среди статически определимых систем наиболее распространены многопролетные шарнирно-консольные балки, идея и метод расчета которых были предложены в 1871 г. Г.С.Семиколеновым.

Многопролетной статически определимой или многопролетной шарнирной балкой (м.ш.б.) называется статически определимая неизменяемая система, состоящая из ряда однопролетных балок (с консолями или без консолей), соединенных между собой шарнирами.

М.ш.б. обычно оказывается более выгодной, чем несколько самостоятельных однопролетных балок. Такого же результата можно добиться, применяя неразрезную балку. Однако м.ш.б. обладает по сравнению с последней рядом преимуществ:

1) она состоит из отдельных, сравнительно коротких элементов, удобных для массового заводского изготовления, транспортирования и механизированного монтажа;

2) усилия в ней статически определимы и не зависят от осадки опор.

2. Кинематический анализ м.ш.б.

В зависимости от расположения шарниров могут применяться различные схемы балок.

2

Рис.1 Схемы расстановки шарниров в м.ш.б.

Для структурной неизменяемости и статической определимости м.ш.б. число шарниров, введенных в пролеты, должно удовлетворять условию:

Ш=Со-3

(1)

где Со - число опорных связей; 3 - число уравнений статики.

Каждый шарнир, поставленный в пролете или на опоре неразрезной балки, позволяет составить дополнительное уравнение статики: условие равенства нулю суммы моментов относительно шарнира всех сил, приложенных к балке по одну сторону от него. Шарнир снимает одну степень статической неопределимости, поэтому шарниров в неразрезную балку следует поставить столько, сколько она имеет "лишних" неизвестных. Однако кроме статически определимой м.ш.б. должна быть и геометрически неизменяемой. Условие (1) является необходимым, но недостаточным для структурной неизменяемости м.ш.б. Для обеспечения неизменяемости балки размещение шарниров в пролетах должно еще подчиняться следующим правилам:

1. В каждом пролете должно быть не более двух шарниров.

2.Пролеты с двумя шарнирами должны чередоваться с пролетами без шарниров.

3.Пролеты с одним шарниром могут следовать один за другим при условии, что один пролет останется без шарнира.

3

Рис.2. Построение "поэтажных" схем в м.ш.б. (римскими цифрами обозначены основные части; арабскими - подвесные части)

С точки зрения оптимизации конструкции шарниры целесообразно располагать так, чтобы максимальные моменты, возникающие на опорах и в пролете, были равны между собой по абсолютному значению или находились в определенном соотношении.

Для лучшего уяснения взаимодействия отдельных частей м.ш.б. ее заменяют "поэтажной" ("этажной") схемой. На схеме отчетливо различается основная часть м.ш.б., на которую опираются подвесные части (присоединенные балки), оказавшиеся на "этажной" схеме на втором этаже.

3. Аналитический метод

При расчете м.ш.б. исходят из того, что нагрузка, действующая на основную часть балки, не передается на вышележащие подвесные;

4

нагрузка же, действующая на подвесные части балки, передается на основную, которая служит ей опорой.

Расчет м.ш.б. удобно вести по частям, начиная с самых верхних балок и последовательно переходя к нижележащим. При расчете нижележащих балок следует учитывать не только ту нагрузку, которая к ним непосредственно приложена, но и опорные давления от вышележащих балок, равные опорным реакциям последних, но имеющих обратное направление.

Порядок расчета:

1. Проверка статической определимости м.ш.б. (проверка числа шарниров) по формуле (1).

2.Проверка геометрической неизменяемости м.ш.б. (построение "этажной" схемы).

3.Определение опорных реакций и давлений (в шарнирах) одних элементов балки на другие.

4.Определение изгибающих моментов М в характерных поперечных сечениях в каждом элементе м.ш.б. и построение эпюры этих моментов, которые являются отдельными участками эпюры М для всей м.ш.б.

5.Построение эпюры поперечных сил Q по эпюре М на участках, имеющих постоянный закон изменения изгибающего момента, используя дифференциальную зависимость Д.И.Журавского:

Q=dM/dx.

4. Пример расчета м.ш.б. аналитическим методом

1. Проводим кинематический анализ м.ш.б. Необходимое число шарниров: Ш=Со-3=6-3=3, следовательно, система статически определима и, может быть, геометрически неизменяема. Построение "этажной" схемы (рис. 3,а) указывает на то, что каждая из частей м.ш.б. имеет достаточное количество связей и, следовательно, образует геометрически неизменяемую систему в целом.

2. Определение опорных реакций и давлений в промежуточных шарнирах. Римскими цифрами на "этажной" схеме обозначена последовательность расчета отдельных шарнирно-консольных балочек, из которых состоит м.ш.б. (рис. 3,б).

5

Рис.3. Пример аналитического расчета м.ш.б.

6

Балка I

q . 52 /2 – D

. 4= 0,

Σ m

=0;

v

K

Σ m

Dv = 20 . 25/4 = 120 kH.

=0;

К

. 4 - q . 5 .

1,5 = 0,

D

К

v

= 20 . 5 .

1,5/4 = 37,5 kH.

Балка II

v

. 1,3 + Р

.

. 4 + К

. 5 = 0,

Σ m

= 0;

Р

2,7 – С

N

2

3

v

v

. 5)/4 = 80,125 kH

Σ m

Сv = (40 . 1,3 + 30 .

2,7 + 37,5

= 0;

N

v

. 4 – Р . 2,7 – Р

. 1,3 + К

. 1 = 0,

C

2

3

v

Балка III

Nv = (40 . 2,7 + 30 .

1,3 - 37,5 . 1)/4 = 27,375 kH.

. 1,5 – В

.

. 4 = 0,

Σ m

= 0; Р

3 + N

v

E

1

v

Σ m

Вv = (60 . 1,5 + 27,375 . 4)/3 = 66,5 kH.

= 0; Е

v

. 3 – Р .

1,5 + N

v

. 1 = 0,

B

1

Балка IV

Еv = (60 . 1,5 - 27,375 . 1)/3 = 20,875 kH.

Σ Y = 0;

Аv – Еv = 0,

Σ m

Аv = Еv = 20,875 kH.

= 0;

Е

. 1 – M

A

= 0,

A

v

3. Определяем

MA = Еv

. 1 = 20,875 kH м.

изгибающие моменты в характерных сечениях.

Удобно определять изгибающие моменты в каждой балочке как в самостоятельной системе.

Балка IV

МA/ = - MA = -20,875 kH м,

МE = 0.

Балка III

МF = ЕV . 1,5 = 20,875 . 1,5 = 31,313 kH м,

МB = -NV . 1 = -27,375 kH м,

МN = 0.

Балка II

МG = NV . 1,3 = 27,375 . 1,3 = 35,59 kH м,

МH = Nv . 2,7 – Р2 . 1,4 = 27,375 . 2,7 - 40 . 1,4 = 17,91 kH м,

МC = -КV . 1 = -37,5 kH м,

МK = 0.

Балка I

МD = -q . 12 /2 = -20 .1 /2 = -10 kH м,

МN = 0.

7

По найденным значениям моментов строим эпюру М (рис.3,в). На участке K-D эпюра изгибающих моментов ограничена параболой, своей выпуклостью направленной в сторону действия нагрузки q. Значение максимального изгибающего момента уточним после построения эпюры поперечных сил Q.

4. По эпюре М вычисляем значения поперечных сил Q. Для этого эпюру М делим на участки, где значение изгибающего момента постоянно.

На участках, где изгибающий момент изменяется по закону прямой линии, значения поперечных сил определяем по формуле

Q = (Мпр. - Млев.)/Lуч,

(2)

где Мпр.; Млев. - значения изгибающего момента соответственно на правом и левом концах рассматриваемого участка; Lуч - длина этого участка.

QA-F = QF-A = [31,313 - (-20,875)]/2,5 = 20,875 kH;

QF-B = QB-F = (-27,375 - 31,313)/1,5 = -39,125 kH;

QB-G = QG-B = [35,59 - (-27,375)]/2,3 = 27,375 kH;

QG-H = QH-G = (17,91 - 35,59)/1,4 = -12,625 kH;

QH-C = QC-H = (-37,5 - 17,91)/1,3 = -42,625 kH;

QC-K = QK-C = [0 - (-37,5)]/1 = 37,5 kH.

На участках, где действует равномерно распределенная нагрузка, значения поперечных сил определяются по формуле:

Q = Q	+ ∆ Q = ±q . L	уч	/2+(Мпр.- Млев.)/L	уч	, (3)
о

здесь для левого сечения Qо берется со знаком (+), для правого – со знаком (-) при условии, что нагрузка q действует сверху вниз.

QK-D= 20 . 4/2 + (-10 - 0)/4 = 37,5 kH; QD-K= -20 . 4/2 + (-10 - 0)/4 = -42,5 kH; QD-L= 20 . 1/2 + [0 - (-10)]/1 = 20 kH;

QL-D= -10 + 10 = 0.

Уточним значение максимального изгибающего момента на участке K-D. Положение соответствующего сечения определяется из выражения

8

Xo = QK-D/q = 37,5/20 = 1,875 м

Отсюда

Мmax = KV . 1,875 - q . 1,875 /2 =

= 37,5 . 1,875 - 20 . 1,875 /2 = 35,156 kH м.

По найденным значениям поперечных сил строится эпюра Q

(рис.3,г).

5. Расчет м.ш.б. на подвижную нагрузку

Расчет систем на подвижную нагрузку производится с помощью линий влияния.

Линия влияния (в дальнейшем л.в.) - это график распределения какого либо фактора (опорной реакции, изгибающего момента, поперечной или продольной силы) в данном сечении от подвижной нагрузки Р=1. Таким образом, ордината л.в. равна в принятом масштабе величине того фактора, для которого эта л.в. построена в тот момент времени, когда подвижный груз Р=1 стоит над этой ординатой.

Л.в. в м.ш.б. можно построить как статическим, так и кинематическим способами. Последний особенно удобен для быстрого получения очертания л.в.

Кинематический метод основан на принципе возможных перемещений, который заключается в том, что для равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех сил, действующих на систему на любом возможном для нее бесконечно малом перемещении, была равна нулю.

Рассмотрим кинематический способ на примере построения л.в. опорной реакции, например, л.в.АV .

9

Рис.4. Построение л.в. АV кинематическим способом

Отбросим опорную связь А и, не нарушая равновесия, приложим реактивную силу Аv . Под действием этой силы балка переместится вверх и займет положение, обозначенное пунктиром (рис.4,а). Здесь δ А -перемещение балки над опорой А; δ - перемещение произвольной точки системы.

Условие равновесия:
АV . δ А – Р . δ	= 0;	(4)
АV = Р. δ / δ А =δ / δ А.
Если груз Р=1 будет стоять в т. А, то δ А = δ		и, следовательно,
АV =1. Таким образом, график возможных перемещений системы с
одной степенью свободы и	представляет искомую л.в. в некотором

масштабе, который определяется из уравнения работ при определенном положении силы Р=1.

Подобным же образом строятся л.в. М и Q в заданном сечении. Силовой фактор, для которого строится л.в., обычно представляет

собой усилие в одной из связей системы.

Рис.5. Общий вид связи

Убирая из общей связи один из стержней, мы получаем механизм с одной степенью свободы, позволяющий построить график перемещений (а следовательно, и л.в.) искомого усилия.

Так, например, при построении л.в. М из общей связи убираем один из горизонтальных стержней, что равносильно врезанию сквозного шарнира (рис.6,а). При построении л.в.Q из общей связи следует убрать наклонный стержень, что приводит к образованию ползуна (рис.6,б).

Рис.6. Схематичное изображение связей при построении л.в. кинематическим способом