Е. К. Соколова Принцип ДАламбера

10

Зная переносную скорость точки A VAe , определим угловую скорость кулисы О1В: ω O1B = ω e = VAe / O1 A, после этого можно найти направление и величину ускорения Кориолиса:

кор = 2ω

e × VAr ;

aкор = 2ω

eVAr sin(ω

e ,VAr ).

a

Вектор угловой скорости кулисы O1B ω

O B =

ω

e

направлен по оси

1

вращения кулисы (рис.6).

Вектор ускорения Кориолиса перпендикулярен плоскости, проходящей

через векторы ω

и направлен таким образом,

чтобы кратчайший по-

e и VAr ,

ворот от первого вектора - ω

e

был виден происходящим

ко второму - VAr

против часовой стрелки (рис. 6). Так как угол между ω

e и VAr

равен 90°,

окончательно имеем

aкор = 2ω eVAr .

По

известным

значениям ω

OA , ε OA

,ω O B

определим

ускорения

1

an

= ω

2

OA;

aτ

=

ε

OA

OA;

an

=

ω

2

O A

и

изобразим их на

AO

AO

AO

AO

O B

1

1

1

рис.6, учитывая ориентацию ε OA .

Запишем уравнение (2) с учетом условий (а) и (б):

n

+

τ

=

n

+

τ

+

r +

.

(3)

a

a

a

a

a

a

кор

AO

AO

AO

OA

A

1

1

В полученном векторном уравнении имеем два неизвестных по вели-

чине вектора

AOτ

и

Ar .

a

a

1

Для их определения запишем уравнение (3) в проекциях на оси Ах и Ау

(рис.6):

−

aAOn

cosα

+

aτAO sinα

=

− aAOn

+

aАr ;

1

−

aAOn

sinα

+

aτAO cosα

=

aτAO

−

aкор .

1

Отсюда

aАr

=

−

aAOn

cosα

+

aτAO sinα

+

aAOn

;

1

(4)

aτAO

=

aAOn

sinα

+

aτAO cosα

+

aкор .

1

11

Зная aτAO		aτAO
	, определим угловое ускорение кулисы О1В ε O A =	1	.
1	1	O1 A

Знак величин aAr и aτAO1 , полученных из условия (4), определяет истин-

ное направление векторов соответствующих ускорений, что следует обязательно изобразить на чертеже (рис.6).

После этого можно определить величину и направление сил инерции звеньев: для кривошипа (рис. 7,а)

R1инn = − M1aCn1 ; R1инn = M1ω OA2 OA2 ;

R1τин = − M1aCτ 1 ; R1τин = M1ε OA OA2 ;

для кулисы (рис. 7,б)

ин = − M2

Cn

; R2

ин =

M2

ω O2

A

O1В

;

R

2

a

n

2

n

1

2

2 τин = − M2

Cτ

; R2 τин =

M2

ε O A

O1В

;

R

a

2

2

1

для ползуна (рис. 7,в)

			Аинn		=	− MА		Аn ; RАинn = MАω OA2 ОА;
		R
							a
				Аτин =		− MА		Аτ ; RАτин = MАε OA ОА;
		R
							a

и моменты сил инерции относительно осей, проходящих через центры масс звеньев механизма перпендикулярно плоскости его движения:

~ ин

ин

M1

(OA)2

MZ C

= − IZ

ε OA ; MZ C

=

ε OA ;

12

1

C

1

1

~ ин

ин

M2

(O1B )2

MZ C

= − IZ

ε O B ; MZ C

=

ε O B ,

12

2

C2

1

2

1

причем при изображении касательных сил инерции и пар сил инерции на рис. 7(а- в) следует следить за ориентацией угловых ускорений звеньев.

При изображении сил реакций связей, а этими связями между звеньями механизма являются цилиндрические шарниры в точках О, А и O1, использу-

′

′

;

ем аксиому статики о действии и противодействии : ХО = − ХО ;

YO = − YO

′

′

′

′

′

; ХО

;

YO =

; R = − R

(рис.7).

Х A = − Х A ;

YA = − YA

= − ХО

− YO

1

1

1

1

12

В данном примере механизм расположен в горизонтальной плоскости, поэтому силы тяжести звеньев не изображаются и не учитываются при расчете, активной является только пара сил с моментом Мвр, который требуется определить.

Оси координат для каждого из звеньев выбираем отдельно (рис.7). Получаем три плоских системы сил, действующих на кривошип, ползун и кулису, составляем для них уравнения равновесия:

для кривошипа ОА (рис.7, а)

∑n Fкх = 0; XO + X A + R1инn = 0;

k = 1

∑n Fкy = 0; YO + YA + R1τин = 0;

k = 1

OA

∑n MO (

Fk ) = Mвр − MZин − R1ин

+ YA OA = 0;

k = 1

C1

τ

2

для ползуна А (рис. 7, б)

n

ин

∑ Fкх

′

=

0;

R sinα −

RA n

=

0;

X A +

k = 1

n

ин

∑ Fкy

′

=

0;

− R cosα

−

−

RAτ

=

0;

YA

k = 1

для кулисы O1B (рис. 7, в)

∑n Fкх

= 0; XO

+

R2

ин

= 0;

k = 1

1

n

∑n Fкy =

0; YO +

R′ − R2

ин = 0;

k = 1

1

τ

O1B

∑n MO (

R2τин

− MZ Cин2 = 0.

Fк ) = 0; R′ O1 A −

к = 1

2

Из полученных восьми уравнений равновесия определяем реакции цилиндрических шарниров в точках О, А и O1: XО, УО; XO1, УО1; ХА, УА; реакцию R между поверхностями ползуна и кулисы, а также величину и направление активного момента Мвр пары сил, приложенной к кривошипу:

			O1B O1B		M 2 (O1B)	2			M 2	(O1B)	2
R′ =		M 2ε O1B		+				O A =			ε O1B ;
			2 2		12		ε O1B		3(O1A)
								1

14

YО1 = − R′ + R2инτ ; XO1 = − R2 инn ;

′

ин

′

+

R sinα

;

X A =

;

X A = RA n

− X A

′

ин

′

=

− R cosα

− RAτ

;

YA =

;

YA

− YA

X

O

=

− (X

A

+ R ин );

1n

Y

=

R ин −

Y

A

;

O

1τ

M

= M

ин

+ R ин

OA

− Y

OA.

вр

Z C

A

1τ

2

1

2.2. Силовой расчет кривошипно-шатунного механизма графоаналитическим методом

Кривошипно-шатунный механизм (рис.8) имеет три подвижных звена: кривошип ОА, шатун АВ и ползун В, масса которых mOA=M1=5кг, mOA=M1=5кг, mB=MB=2кг.

Для определения сил инерции точек механизма необходимо узнать ускорения точек С1 и С2, являющихся центрами масс кривошипа и шатуна, и точки В, а также угловое ускорение шатуна АВ - ε AB , в предположении,, что

	закон движения кривошипа ОА известен: ϕ	=	π		t 3 ; ОА=0,3м; АВ=0,5м. Рас-
				4

чет осуществляем для положения механизма, при котором угол поворота кривошипа ОА ϕ 1 = π4 рад.

Для расчета используем графоаналитический метод, поэтому чертеж механизма выполняется в масштабе (рис.8).

Определим кинематические характеристики звеньев механизма. Кривошип ОА вращается, поэтому для него имеем:

угловая скорость

ω ОА = ddtϕ = 3 π4 t 2 , рад / с;

угловое ускорение

ε ОА =

dω ОА

=

6

π

t

=

3

π

t, рад / с2 .

dt

4

2

15

Положение кривошипа ϕ 1 = π4 достигается к моменту времени, кото-

рый определяем из условия:

π

=

π

t 3

,

Отсюда t=1c.

4

4

В этот момент времени ω ОА =

3π

;

ε ОА

=

3π

4

2

Для точки А имеем в момент времени t=1c:

скорость

VА = ω OA AO = 3

π

0,3 =

0,7068м / с;

4

ускорения нормальное и касательное

n

2

3π

2

2

аAО = ω

OA

OA =

0,3 =

1,6654 м / с

4

аτAО =

ε OA OA =

3π

0,3 = 1,4137 м / с2

4

Шатун АВ совершает плоское движение:

скорости его точек В и С2 и угловая скорость ω АВ подчиняются закону:

V

V

VC

2

B

=

B

=

=

ω

AB ,

AP

BP

C2 P

и равны

V

= V

BP

=

0,7068

1,31

=

0,7290м / с

A AP

B

1,27

V

= V

A

С2 P

=

0,7068

1,17

=

0,6511м / с

С2

AP

1,27

ω

АB

=

VА

=

0,7068

= 0,5565 рад / с

AP

1,27

Примечание: расстояния от точек А, В, С2 до мгновенного центра скоростей Р определяем, измеряя их на чертеже механизма и учитывая масштаб чертежа.

16

Точка В принадлежит ползуну и шатуну АВ одновременно: вместе с ползуном она совершает возвратно-поступательное движение, а с шатуном – плоское движение, - ее ускорение равно

B =

A +

BA

или

a

a

a

B =

AOn +

AOτ

+

BAn +

BAτ .

(5)

a

a

a

a

a

Нормальное ускорение aBAn можно определить, так как известна угловая скорость шатуна АВ

aBAn = ω AB2 AB = (0,5565 )2 0,5 = 0,1548м/с2 .

Тогда в векторном уравнении (5) остается два неизвестных по величине вектора aB и aBAτ , направление этих векторов известно, но неясна их ориентация.

Построим план ускорений: векторный многоугольник изображающий выражение (5) в масштабе (рис.9). Для этого из произвольной точки О отложим в том порядке, который диктует формула (5) векторы aAnО , aAτ О и aBAn , учитывая их величину и направление. Затем из точки О проводим линию, параллельную направлению вектора aB (IIOB), а из конца вектора aBAn линию,

перпендикулярную АВ (вектор касательного ускорения aBAτ AB). Точка пересечения этих линий отсечет на ней необходимые отрезки: aBAτ и aB , изме-

ряя их, определяем величину ускорений			aB =2,26м/с2; aBAτ	=0,16м/с2,	а из
плана – их направление.
Можно	определить	угловое	ускорение	шатуна	АВ:

ε AB = aBAτ / AB =0,16/0,5=0,8рад/с2, ориентация которого в данном положении механизма определяется по направлению касательного ускорения aBAτ , т.е. ε AB – против часовой стрелки.

Ускорение

точки

С2

определяем из

суммы векторов:

=

n +aτ

+

n

+

τ

=

+

/ 2

, направление

- на плане уско-

a

a

a

a

a

A

a

BA

a

С2

AО AО

С2 A

С2 A

С2

рений (рис.9) величина aС2 =2,2м/с2 .

Приведем силы инерции звеньев механизма к их центрам масс и определим их значение:

Для кривошипа АО

18

ин

= −

M

= − M(

n

+

τ

);

R

a

a

a

1

1

C

C

C

1

1

1

Rин

= M aτ

=

Mε

OA

OA

=5 0,7068=3,534 Н;

1

1

C

2

τ

1

Rин

= M an

=

Mω

2

OA

=5 0,8327=4,1635 Н;

1

1

2

n

C

OA

1

~ин

ε OA;

ин

M1

(OA)2

5(0,3)2

3π

0,1767 Н м

MZ

=

− IZ

MZ

=

ε

OA =

=

12

12

2

C

C

C

1

1

1

для шатуна АВ

ин

=

− M

; Rин =10 2,2=22 Н;

R

a

2

2 C2

2

~ин

ε AB;

ин

M2

(AB)2

10(0,5)2

0,8 =

0,1667 Н м

MZ

=

− IZ

MZ

=

ε

AB =

12

12

C

C

C

2

2

2

для ползуна В

Bин

=

−

MB

B ;

RBин

= 2 2,26=4,52 Н.

R

a

После этого разбиваем механизм на звенья, изображаем активные силы,

силы реакций связей и силы инерции, действующие на каждое звено, и составляем для этих плоских систем сил уравнения равновесия:

Для кривошипа АО (рис.10, а)

∑

Fкх = 0; X A − XO

+ R1ин

= 0;

n

∑

Fкy = 0; YA − YO +

R1ин = 0;

τ

∑

MO (

− MZин

−

R1ин

ОА

+ YA OA = 0;

Fк ) = 0; Mвр

2

C

τ

1

Для шатуна АВ (рис.11, а)

ин

′

′

X A + YA + XB + YB + RВ = 0;

∑

MA (

Fк ) = 0; R2ин h − MZин + YB AB = 0;

C2

Для ползуна В (рис. 12, а)

ин

XB + YB + NB + RВ = 0.

Примечание: в уравнениях равновесия двойной чертой отмечены известные по модулю и направлению силы и моменты, для остальных известно только ориентировочное направление (отмечены штриховой линией).

19