Е. К. Соколова Принцип ДАламбера

20

Из всех уравнений равновесия только в одном ∑ MA (Fn ) = 0 имеется одна неизвестная величина. Определяем ее

	ин	ин
Y =	MZС2	− R2	h	=	0,1667 − 220,11	= − 4,5066 H
		AB			0,5

(величину плеча силы h определяем замером на чертеже (рис.11,а) с учетом его масштаба). Знак (-) показывает, что сила YB направлена в сторону, противоположную ориентировочному направлению. Показываем истинное направление силы YB cплошной линией на рис.11.

Тогда для ползуна имеем векторное условие равновесия в виде

′

′

ин

XB +

YB +

NB +

= 0 , причем имея два неизвестных по величине, но из-

RB

вестных по направлению вектора, можем построить векторный многоугольник сил (рис.12,б) в масштабе, учитывающем значения сил YB=4,5066 H; RBин =4,52 H, причем при равновесии системы сил векторный многоугольник должен быть замкнут и это условие дает истинное направление сил XB′ и NB . Измеряя стороны многоугольника, получаем величину сил XB =7,4 Н;

NB =7,2 Н.

Вернемся к условию равновесия шатуна АВ:

′

′

ин

X A +

YA +

= 0 ,

XB + YB + R2

′

и

в котором теперь осталось только две неизвестных по величине силы X A

YA′. Построим векторный многоугольник сил (рис. 11,б), из которого опреде-

лим величину и направление сил X A =13 Н; YA =24,2 Н.

Остается определить

силы, действующие на кривошип из условия

= 0; и уравнения ∑ MA (

X

A + YA + XO + YO + R1ин +

R1ин

Fn ) = 0 .

τ

n

Построим векторный многоугольник сил для кривошипа (рис. 10,б) и определим величину и направление сил ХО=17,2 Н; YO=27,7 H.

Момент активной пары сил, действующей на кривошип Mвр определим из выражения

21

23

M

вр

− M ин

−

Rин

ОА

− Y

А

OA = 0;

Z

1

2

C

τ

1

M

вр

= M ин

+

Rин

ОА

+ Y

А

OA =

Z

1

2

C

τ

1

= 0,1767 + 3,534

0,3

+ 24,2 0,3

= 7,9668 H м

2

Преимущества графоаналитического метода расчета состоят в его наглядности и относительной простоте, но для анализа работы механизма за цикл (за поворот кривошипа на 2π ) необходимо построить 36 положений механизма (при шаге 10о) и выполнить все расчеты такое же количество раз – это весьма трудоемко, к тому же весь процесс трудно автоматизировать.

2.3. Аналитический расчет кривошипно-шатунного механизма

Рассмотрим аналитический метод расчета кривошипно-шатунного механизма при помощи принципа Даламбера.

Для этого воспользуемся результатами расчета кинематических характеристик звеньев механизма, выполненных при изучении темы "Кинематика точки".

Координаты точек С1, С2, А, В (в системе Оху):

хА=r1cosϕ ; yA=r1sinϕ ;

xC		=	xA / 2;
	1
yC		=	y A / 2;
	1						(6)
x	C2	=	r cosϕ	+	D	;
			1	2
yC2		=	y A / 2;

xB=r1cosϕ +D;

yB=0, где r1=OA; D =	r 2	+	r 2	sin2 ϕ ;	r3=AB;
	3		1

Ускорения точек А, В, С1, С2, в проекциях на оси неподвижной декартовой системы Оху:

24

!!

−

r1(ϕ

!

2

cosϕ

+

!!

sinϕ

);

xA =

ϕ

!!

r1(−

ϕ

! 2

sinϕ

+

!!

cosϕ );

yA =

ϕ

xC

=

xA / 2;

!!

1

!!

=

y A / 2;

yC

!!

1

!!

)(1+

/ 2D)

!!

= −

!!

sinϕ

+ ϕ

!

2

cosϕ

r1 cosϕ

−

r1ϕ

! 2

2

2

2

3

];

xC

r1[(ϕ

sin

ϕ (r3

− r1 )/ 2D

2

yC

=

yA / 2;

!!

2

!!

cosϕ )(1+

/ D) −

!!

!!

sinϕ

+

ϕ

! 2

r1 cosϕ

r1ϕ

! 2

2

ϕ

2

−

2

3

xB =

− r1[(ϕ

sin

(r3

r1 )/ D

]

Угловые ускорения звеньев:

кривошипа

ϕ!! =

d 2

ϕ

,

dt

2

шатуна

ψ

!!

d 2ψ

r1

(ϕ

! 2

sinϕ

!!

cosϕ

)/ D +

r1ϕ

!

cosϕ

(r1ϕ

!

sinϕ

!

2

=

=

+

+

,

dt2

ϕ

r2) / D

где

r!

=

− r ϕ! sinϕ

(1 +

r

cosϕ

/ D ).

2

1

1

Силы инерции звеньев разложим на составляющие по осям Ох и Оу

(рис13, а-в)

ин

ин

!!

= −

M1aC

;

X1

; X1

= M1 xC

1

1

x

(7)

(8)

ин

ин

!!

Y1

= − M1aC

=

;

; Y1

M1 yC

1

1

y

ин

ин

!!

X

= − M2 aC2x

; X

=

;

2

2

M2 xC2

ин

ин

!!

= − M2 aC2y

=

;

Y2

; Y2

M2 yC2

ин

ин

=

!!

XB

= − M2 aB ; XB

MB xB .

Моменты сил инерции звеньев равны

~ ин

= − IZ

ин

=

IZ

ϕ!!;

MZ

ϕ!!; MZ

C

C

C

C

1

1

1

1

(10)

~ ин

= − IZ

ψ

ин

=

IZ

!!

!!

MZ

; MZ

ψ .

C

2

C

C

2

C

2

2

Силы реакций связей для цилиндрических шарниров в точках О, А и В разложим на составляющие по осям неподвижной системы координат

(рис.13, а-в).

25

Тогда уравнения равновесия активных сил, сил реакций связей и сил инерции, приложенных к звеньям механизма, запишутся в следующем виде

для кривошипа (рис.13, а)

∑ Fкх = 0; − XO + X A − X1ин = 0;

∑ Fкy = 0; YO + YA − Y1ин = 0

∑

MZин

+ yC X1ин

− xC Y1ин

− yA XA + xA YA = 0;

MZ (Fк ) = 0; − Mвр −

O

C

1

1

1

для шатуна (рис.13, б)

∑ Fкх = 0; − X A − X2ин + XB = 0;

∑

Fкy = 0; YA − Y2ин + YB = 0

∑ MZ

(

−

MZин

− x2 Y2ин − y2 X2ин + 2x2 YB + 2y2 XB = 0

A

Fк ) = 0;

C

2

для ползуна (рис.13, в)

∑ Fкх = 0; − XB − XBин = 0;

∑ Fкy = 0; − YB + NB = 0,

D cosψ

r 2

− r 2

sin2 ϕ

где x2

= −

=

3

1

; xC

=xA/2=x1;

yC =yA/2=y1 (11)

2

2r3

1

1

Или с учетом (9, 10, 11) получаем систему уравнений равновесия в ви-

де:

	XO + X A			− M1 xC = 0;
					!!	1
	YO + YO −				!!	= 0;
				M1 yC1
	Mвр − IZC1			ϕ!! +	y1	M1 xC1 −		x1	M1 yC1 − 2y1 X A + 2x1YA = 0;
						!!			!!
				!!			0;
	− X A − M2 xC + XB =								(12)
				!!	2
− YA − M2 yC2 + YB = 0;
	− IZC2 ψ		−	x2	M2 yC2 −		y2 M2 xC2 + 2x2 YB + 2y2 XB = 0;
		!!				!!			!!
	− XB − MB xB = 0;
				!!
	− YB +	NB =			0.

27

Формулы (6-12) дают зависимости в общем виде всех величин от закона движения кривошипа для любого его положения. Это позволяет избавиться от графических построений планов ускорений и векторных многоугольников сил и дает возможность компьютеризировать весь процесс расчета. При этом недостатки принципа Даламбера устраняются, а достоинства – возможность определить все силы взаимодействия звеньев механизма – остаются.

28

3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ЗАДАЧА 1.

Угол поворота кривошипа ОА кривошипно-кулисного механизма изменяется по закону ϕ = ϕ 1 (t ). Длина звеньев ОА, О1В и межосевое расстояние ОО1 известны (табл.1). Масса звеньев: кривошипа М1=5кг, кулисы М2=10кг, ползуна МА=2кг.

Определить в положении механизма, соответствующем заданному углу поворота кривошипа (в соответствии с вариантом) величину момента Мвр активной пары сил, приложенной к кривошипу для осуществления заданного закона его движения, и силы реакций связей в точках механизма О, А, О1, а также реакцию поверхностей кулисы и ползуна.

Исходные данные для каждого варианта представлены в табл.1.

ТАБЛИЦА 1

Номер				Закон
вариан-			движения			ОА,	О1В,	ОО1	ω 0 ,	ε 1,		b
та		кривошипа				м	м	м	рад/с	рад/с	2
1.1-1.35						0,3	0,8	0,4	1	1		-
		=		0 t +	ε 1t 2 / 2
2.1-2.35	ϕ 1		ω			0,4	0,9	0,3	2	1		-
3.1-3.35						0,5	1,4	0,7	3	2		-
4.1-4.35			=			0,3	1,0	0,5	-	-		π /6
	ϕ			2π	cos bt
5.1-5.35		1				0,4	1,2	0,6	-	-		π /4
6.1-6.35						0,5	1,0	0,3	-	-		π /3
7.1-7.35			=			0,4	1,2	0,6	-	-		1
	ϕ 1			2π	sin bt
8.1-8.35						0,3	1,0	0,6	-	-		2
9.1-9.35						0,6	1,2	0,3	-	-		3

	Примечание: вторая цифра номера варианта соответствует углу поворо-
та	кривошипа	ОА,	для	которого	производятся	расчеты
(1 −	ϕ 1 = 100 , 2 −	ϕ 1 = 200 ,...,		35 − ϕ 1 = 3500 ).

29

ЗАДАЧА 2.

Угол поворота кривошипа ОА кривошипно-шатунного механизма изменяется по закону ϕ = ϕ (t ). Длина кривошипа ОА и шатуна АВ известна (табл. 2). Масса кривошипа ОА М1=5кг, шатуна АВ М2=10кг, ползуна В

МВ=2кг.

Определить в положении механизма, соответствующем заданному углу поворота кривошипа (в соответствии с вариантом) величину момента Мвр активной пары сил, приложенной к кривошипу для осуществления заданного закона его движения, и силы реакций связей в точках механизма О, А, В, а также реакцию направляющих ползуна В.

Исходные данные для каждого варианта представлены в табл.2.

ТАБЛИЦА 2

			Закон
Номер		движения		ОА,	АВ,	ω 0 ,	ε 1,		а	b
варианта	кривошипа			м	м	рад/с	рад/с	2
1.1-1.35				0,3	0,7	1	1		-	-
	ϕ 1 =		0t + ε 1t 2 / 2
2.1-2.35		ω		0,4	0,6	2	1		-	-
3.1-3.35				0,5	0,9	3	2		-	-
4.1-4.35	ϕ	=	аsin bt	0,3	0,5	-	-		2π	1
5.1-5.35				0,5	0,8	-	-		2π	2
6.1-6.35				0,7	0,9	-	-		2π	π /3
7.1-7.35	ϕ	=	аcos bt	0,4	1,0	-	-		2π	π /4
8.1-8.35				0,8	1,2	-	-		2π	2
9.1-9.35				0,3	0,6	-	-		2π	3

Примечание: вторая цифра номера варианта соответствует тому значению угла поворота кривошипа ОА для которого производятся расчеты

(1− ϕ 1 = 100 , 2 − ϕ 1 = 200 ,..., 35 − ϕ 1 = 3500 ).