Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный индустриальный университет»

Кафедра технической механики и графики

Расчет статически неопределимой балки

Методические указания к выполнению расчетно-графической работы

по курсу «Сопротивление материалов»

Новокузнецк

2014

УДК 620.17

Р24

Рецензент:

кандидат технических наук, доцент,

заведующий кафедрой инженерных конструкций

и строительной механики

Н.Н. Алешин

Р24 Расчет статически неопределимой балки : метод. указ. / Сиб.

гос. индустр. ун-т ; сост. Ю.А. Епифанцев. – Новокузнецк :

Изд. центр СибГИУ, 2014. – 26с.

Представлены задания к выполнению расчетно-графической работы, включающей раскрытие статической неопределимости балки методом начальных параметров и методом сил с построением ее упругой линии. Приведен пример решения.

Предназначены для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 270100.62 Архитектура и 270800.62 Строительство.

Статически неопределимые балки – это балки, имеющие избыточные или «лишние» связи. Отличие статически неопределимых балок от статически определимых заключается в методике определения реактивных сил и моментов. Их расчет нельзя выполнить при помощи одних лишь уравнений равновесия. Необходимо составить дополнительные уравнения (уравнения перемещений), учитывающие характер деформации балки и включающие те же неизвестные.

Для раскрытия статической неопределимости дополнительные уравнения могут быть составлены с использованием различных условий и методов [1]. В данной расчетно-графической работе необходимо провести расчет одной и той же балки с использованием универсального уравнения изогнутой оси балки (метод начальных параметров) и метода сил.

Задание. Для одной из балок, изображенных на рисунке 1, требуется:

1. Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М;

2. Выполнить кинематическую проверку;

3. Подобрать двутавровое сечение при

4. Определить прогибы в середине межопорного пролета и на конце консоли ( при отсутствии консоли величину второго прогиба определить в сечении, отстоящем от правой шарнирной опоры на величину .

5. Построить упругую линию балки.

Данные взять из таблицы 1.

Рисунок 1 – Расчетные схемы

Рисунок 1 – Расчетные схемы

Рисунок 1 – Расчетные схемы

Рисунок 1 – Расчетные схемы

Рисунок 1 – Расчетные схемы

Рисунок 1 – Расчетные схемы

Рисунок 1 – Расчетные схемы

Таблица 1 Исходные данные

Вариант	l ,м .	q,кН/м	F.кН	М, кНм
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	6 8 4 2 4 6 8 6 4 2	18 12 16 20 12 16 20 12 10 8	16 20 18 16 20 18 16 20 18 16	30 32 20 26 16 20 16 28 32 20

Пример. Проведем решение задания для балки, изображенной на рисунке 2а.

Решение

1. Находим степень статической неопределимости (число опорных связей минус число уравнений равновесия)

n=43=1.

Значит, данная балка один раз статически неопределима.

2. Воспользуемся уравнениями равновесия в виде сумм моментов внешних нагрузок относительно точек А и В (рисунок 2б):

(1)

(2)

Для раскрытия статической неопределимости дополнительно к этим уравнениям используем уравнение начальных параметров:

(3)

Рисунок 2 – К расчету балки

Используем данное уравнение для сечения, проходящего через характерную точку В, где прогиб над опорой равен нулю (y_в = 0). Начало координатной оси х (рисунок 2в) располагаем в точке защемления балки (точка А), где прогиб и угол поворота сечения балки (начальные параметры y₀ и ₀) будут также равны нулю. При этом следует учитывать все сосредоточенные и распределенные нагрузки (включая и опорные реакции), приложенные к балке слева от рассматриваемого сечения (точка В) с координатой х_В. Привязка этих нагрузок к сечению осуществляет с учетом расстояний l_M, l_F и l_q (уравнение 3). Это расстояние от начала координат до сечения, в котором приложена соответствующая сосредоточенная нагрузка или начинается действие распределенной нагрузки.

Если распределенная нагрузка не доходит до рассматриваемого сечения, то ее следует продолжать до этого сечения и, одновременно с этим, на длине добавленного участка приложить распределенную нагрузку той же величины, но обратного знака (пунктирное изображение распределенной нагрузки на рисунке 2в. Нагрузки, приложенные правее рассматриваемого сечения, не учитываются.

Положительные знаки перед составляющими уравнения (3) принимаются при условии, если воздействие от нагрузки, приводит к растяжению нижних волокон балки.

С учетом отмеченных рекомендаций уравнение начальных параметров принимает вид:

=

32(4)

Совместно решая уравнения (2) и (4), получаем:

;

Знак минус момента заделки означает, что реальное направление момента защемления, в отличие от ранее принятого, осуществляется по часовой стрелке. В дальнейших расчетах будем принимать именно такое направление момента заделки.

Подставляя полученные значения и в уравнение (1), получаем

Проведем проверку полученных результатов:

Следовательно, реакции (опорные связи) определены верно.

3. По условию задачи необходимо провести повторное раскрытие статической неопределимости балки, используя метод сил.

Согласно этому методу необходимо от заданной системы балки (рисунок 2а) перейти к основной системе. Для этого отбросим шарнирную опору В и приложим в этом сечении неизвестную силу (рисунок 3). Для ее определения составим каноническое уравнение:

Рисунок 3 – Основная система балки

Для определения перемещения точки приложения силы по направлению действия неизвестной силы и перемещения в той же точке от действия заданной нагрузки предварительно построим эпюры изгибающих моментов в основной системе при грузовом и единичном состояниях. Грузовое состояние основной системы рассмотрим методом расслоения, т.е. для каждой внешней нагрузки отдельно построим эпюры изгибающих моментов. При этом на рисунках совмещаем внешнюю нагрузку с ее эпюрой изгибающего момента (рисунок 4).

Для силы

= − F

Для внешнего момента :

=

Для распределенной нагрузки :

Рисунок 4 – Схема расслоения эпюр

, ,

Эпюра единичного состояния представлена на рисунке 4д.

Перемещение определяем по правилу Верещагина, «перемножая» эпюры внешних и единичной нагрузок:

где площадь эпюры внешней нагрузки;

ордината единичной эпюры под центром тяжести

(Ц.Т.) эпюры от внешней нагрузки.

Для каждой эпюры внешних нагрузок () определим значения их площадей (и положения центров тяжести (Ц.Т.) (рисунки 4б, 4в, 4г).

Сведения о площадях и координатах центра тяжести простых эпюр (фигур) даны в таблице 2.

Таблица 2 – Площади и координаты их центров тяжести

Схема балки и нагрузки, характер эпюры
Площадь эпюры и координата ее центра тяжести
M=F ∙ l A=1/2 ∙ M ∙ l= =(F ∙ l^2)/2 XC=2/3 ∙ l	M=(q ∙ l^2)/2 A=1/3 ∙ M ∙ l= =(q ∙ l^3)/6 XC=3/4 ∙ l	M=(q* ∙ l^2)/6 A=1/4 ∙ M ∙ l= =(q* ∙ l^3)/24 XC=4/5 ∙ l	M=(q ∙ l^2)/8 A=2/3 ∙ M ∙ l= =(q ∙ l^3)/12 XC=1/2 ∙ l

При этом площадь эпюры разбиваем на три составляющие ( положения точки В:

,

Ординаты единичной эпюры на уровне центров тяжести эпюр внешних нагрузок указаны на рисунке 4д. Они вычислены как произведение единичной силы на расстояние от нее до рассматриваемого центра тяжести:

, ,

.

Точно так же вычислим значения единичных моментов в серединах участков балки.

Участок BD: ₁=0, участок BC: ₁= , участок AC: ₁=

Эти значения будут необходимы для дальнейших расчетов.

Напомним, что результат «перемножения» однозначных эпюр является положительным, а разнозначных – отрицательным.

Перемещение определяем «перемножая» эпюру (рисунок 4д) саму на себя:

,

где А₁₁ – площадь единичной эпюры;

y₁₁ – ордината единичной эпюры на уровне ее центра тяжести.

.

Из уравнения

Полученное значение совпадает с величиной опорной реакции , определенной с применением метода начальных параметров.

4. Для построения эпюр поперечных сил изгибающих моментов составим их уравнения по участкам балки (рисунок 5).

Участок 1 (): 0;

При = 0, при = 1м,

Участок 2 (ВС): 1м

при = 1м

при = 3м

при= 2 м (середина участка)

Участок 3 (СА): 3м;

Рисунок 5 – Расчетная схема балки и эпюры Q и M

при = 3м

3,75 кНм;

при = 5м

М₃205 + 36,125(51)16 = 4,5 кНм;

при = 4м (середина участка)

6,375 кНм.

На третьем участке поперечная сила меняет знак. Найдем значение , при котором = 0:

= 4,34 м.

В этом сечении балки изгибающий момент имеет экстремальное значение.

При = 4,34 м

20 · 4,34 + 36,125(4,34 1) 16= 7,08 кНм.

Отложив положительные ординаты вверх, а отрицательные вниз и, соединив полученные точки прямыми линиями, получим эпюру поперечных сил (рисунок 5). Эпюра изгибающих момент строится на растянутых волокнах балки, то есть положительные значения М откладываются ниже нулевой линии, отрицательные выше.

Следует отметить, что по эпюрам и можно определить значения реакций в защемлении балки ( которые точно соответствуют определенным ранее опорным реакциям в точке А.

5. Проведем кинематическую проверку правильности решения ранее поставленной задачи, определив прогиб основной системы в сечении В. Для этого «перемножим» эпюру М (рисунок 5) с единичной эпюрой (рисунок 4д), используя формулу Симпсона:

где длина – ого участка балки;

– значения моментов грузовой эпюры в начале, середине и конце участка;

,, – значения моментов единичной эпюры в начале, середине и конце участка.

Значения и по участкам определены ранее в пункте 4 при построении грузовой и единичной эпюр.

Прогиб в сечении В основной системы получился равным нулю, что соответствует условию ее деформации. Следовательно, задача решена правильно.

6. Подбираем сечение балки из условия прочности по нормальным напряжениям. Опасное поперечное сечение находится над опорой В, где (рисунок 5).

Тогда

Принимаем двутавр №22 ( [2].

Расчетное напряжение

Недогруз балки №22 составляет

100% = 3,1 %,

что находится в пределах допустимого ( ).

7. Для определения величины прогиба в середине межопорного пролета (точка С) используем принятую ранее основную систему (рисунок 3). Произведем ее расчет на действие единичной силы , приложенной в этой точке по направлению искомого прогиба.

Соответствующая единичная эпюра изгибающего момента приведена на рисунке 6а.

«Перемножая» по правилу Симпсона эпюры М (рисунок 5) и (рисунок 6а) получим:

= =

Рисунок 6 – Эпюры моментов от единичных сил и упругая линия балки

Знак минус означает, что прогиб балки в сечении С направлен не в низ по направлению единичной силы , а вверх.

Для определения прогиба балки на конце консоли (точка Д) приложим в этой точке единичную силу , направленную вниз. Эпюра изгибающего момента от этой силы изображена на рисунке 6б.

«Перемножая» эпюры М и получим:

Эпюра упругой линии балки изображена на рисунке 6в. Точка ее перегиба, в которой кривизна оси меняет знак, совпадает с точкой пересечения линии эпюры М (рисунок 5) с нулевой линией (в точке изменения знака эпюры). Таким образом, на участке, где момент отрицательный, балка изгибается выпуклостью вверх.

Вопросы к защите расчетно-графической работы

1. Признаки статически неопределимой балки (системы)?

2. Отличие основной системы от заданной?

3. Принцип расслоения эпюр?

4. Алгоритм раскрытия статической неопределимости с использованием метода сил?

5. Составляющие канонического уравнения?

6. Методика определения коэффициентов канонического уравнения?

7. Методика определения параметров деформации балки при изгибе?

8. В чем заключается сущность способов Верещагина, Симпсона?