Н.М. Козлова Теоретические основы электротехники

10

ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

З а д а ч а №4

Известно, что обмотки трехфазных генераторов и трансформаторов могут быть соединены по схеме “звезда” или “треугольник”.

При соединении “звездой” для получения системы симметричных линейных напряжений одноименные выводы обмоток должны быть присоединены к одной точке, при схеме “треугольник” соединяются друг с другом разноименные выводы обмоток. Кроме разметки одноименных зажимов обмоток требуется определение порядка чередования фаз. Знание порядка чередования фаз необходимо, в частности, при включении на параллельную работу нескольких источников энергии и при подключении к трехфазным источникам асинхронных и синхронных двигателей, у которых направление вращения ротора зависит от порядка чередования фаз.

Обычно поступающие с завода–изготовителя генераторы и трансформаторы имеют маркировку выводов обмоток, но после ремонтных работ на этом оборудовании, как правило, требуется проверка правильности соединения обмоток и порядка чередования фаз.

Условие

Обмотки симметричного трехфазного генератора подсоединены к выводам клеммной коробки, схематичное изображение которой показано на рис. 4.1.

Для разметки зажимов используется вольтметр. При подключении вольтметра к зажимам 1–2, 3–6 и 4–5 его показания равны 220 В, при присоединении к другим выводам показания вольтметра равны нулю. Затем выводы 1, 3, 4 были соединены между собой, после чего вольтметр, поочередно подключаемый к выводам, показал на зажимах 2–5 380 В, а на зажимах 2–6 и 5–6 – 220 В.

Определить “начала” и “концы” обмоток и нарисовать схему соединения выводов обмоток при соединении обмоток генератора “звездой” и “треугольником”. Определить порядок чередования фаз.

11

Решение

Показания вольтметра отличны от нуля, когда он подсоединен к выводам одной и той же обмотки источника энергии, следовательно, фазные обмотки генератора подключены к зажимам 1–2, 3–6, 4–5 и фазное напряжение равно 220 В. Эти обмотки пронумеруем цифрами I, II, III, как показано на рис.4.2.

Анализ показаний вольтметра после соединения выводов 1, 3 и 4 между собой показывает, что выводы 1 и 4 обмоток I и II одноименные, а вывод 3 обмотки II – разноименный. Это ясно из рассмотрения двух вариантов топографических диаграмм напряжений, которые показаны на рис.4.3. Учитывая то, что при соединении одноименных зажимов векторная диаграмма напряжений соответствует варианту, приведенному на рис.4.4, одноименными зажимами обмоток, являются зажимы 1, 4, 6 и 2, 3, 5.

1 2 3 4 5 6

Рис. 4.1.

	I
	1	2	3	II
	4	5	6

III

Рис. 4.2.

		2	2		A
	6 II	I	I	6
			II		N
	III		III	C	B
	5		5

Рис. 4.3. Рис. 4.4.

При соединении обмоток “звездой” выводы клеммной коробки должны быть соединены, как показано на рис.4.5, а при соединении “треугольником” - так, как это показано на рис. 4.6.

Для определения последовательности фаз следует собрать схему фазоуказателя, приведенную на рис. 4.7. Подключив эту схему к выводам генератора, соединенного, например, по схеме “звезда”, вольтметром измеряют напряжения на резисторах фазоуказателя. При этом, если считать фазой А ту, к которой подсоединен конденсатор фазоуказателя, то фазой В будет та, к которой подсоединен резистор с большим напряжением.

1	2	3	1	2	3	Xc R R
4	5	6	4	5	6

Рис. 4.5.	Рис. 4.6.	Рис. 4.7.

12

Покажем это, определив напряжения на резисторах фазоуказателя при XС=R.

Напряжение между нейтральными точками фазоуказателя и генератора

!

Y

220e

j00

1

+

220e

−

j1200 1

+

220e

j1200

1

!

Σ Uф

−

jXC

R

R

j108,40

UnN =

Σ Y

=

1

+

1

+

1

= 139e

.

−

jXC

R

R

Напряжение на резисторах фазоуказателя:

!

!

!

=

220e

− j1200

− 139e

j108,40

= 329e

− j101,60

(B),

Ub =

UB −

UnN

!

!

!

=

220e

j1200

− 139e

j108,40

=

88,2 e

j138,40

(В).

Uc =

UC − UnN

Таким образом, напряжение на резисторе, подключенном к фазе В составляет 329 В, а на резисторе, подключенном к фазе С –

87,8 В.

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы

1. Почему при правильном соединении обмоток трехфазного генератора по схеме “треугольник” отсутствует ток в контуре “треугольника”?

2.Можно ли в схеме фазоуказателя заменить конденсатор резистором, катушкой индуктивности ?

3.Каковы будут значения напряжений на резисторах фазо-

указателя при XС >> R и при XС << R ?

З а д а ч а №5

Важным показателем качества электроэнергии является симметрия линейных напряжений трехфазных систем электроснабжения. Обычно несимметрия напряжений в конце ЛЭП вызывается подключением к сети мощных однофазных нагрузок, например, электрометаллургических агрегатов.

Несимметрия напряжений оказывает значительное влияние на работу некоторых видов потребителей электроэнергии. Так, питание асинхронных двигателей несимметричным напряжением вызывает повышенный нагрев их роторов и сокращение срока службы двигателей. Это вызвано тем, что магнитное поле, создаваемое ста-

13

тором двигателя, обмотки которого питаются несимметричным напряжением, может быть представлено в виде двух, вращающихся в противоположные стороны полей. При этом поле, которое вращается в сторону, противоположную вращению ротора, индуктирует в роторе вихревые токи значительной величины, которые и вызывают повышенный нагрев ротора.

Несимметрия напряжений оценивается величиной коэффициента несимметрии

!

2 !

+

!

kнсм

=

U AB +

a UBC

aUCA

100%

,

где

3Uном

!

!

!

–

комплексы линейных напряжений; Uном –

U AB ,

UBC ,

UCA

номинальное значение линейного напряжения в симметричном ре-

жиме; а = e j1200 = − 0,5 + j0,5 3 - оператор поворота.

Согласно ГОСТу коэффициент несимметрии не должен превышать 2%.

Условие

Из-за неправильного соединения обмоток трехфазного трансформатора диаграмма линейных напряжений имеет вид, показанный на рис. 5.1. Определить величину коэффициента kнсм линейных

напряжений при U AB = UBC =					220 B, UCA = 380 B (Uн=380 В).
A		UAB
		300		B
N		U	300 UBC
		CA
				C
		Рис. 5.1.
					Решение
		Запишем комплексы			линейных напряжений, приняв
!	=	220e	j00	В, тогда
U AB

14

U! BC = 220 e− j600 В; U!CA = 380e j1500 В.

Тогда kнсм равен

kнсм =			220	+	e j2400 220e− j600 +	e j1200 380e j1500
									100% = 33,3%
					3 380

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы

1. Чем может быть вызвана несимметрия напряжений в системе электроснабжения?

2. Почему при питании асинхронных двигателей несимметричным напряжением происходит повышенный нагрев их роторов?

МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ

З а д а ч а №6

Условие

Из-за неправильного подключения обмоток трехфазного трансформатора с фазным напряжением Uф = 220 В, питающего

асинхронный двигатель, система линейных напряжений на зажимах двигателя имеет вид, показанный на рис.5.1. Определить фазные токи двигателя при соединении его обмоток по схеме “звезда”, если сопротивление токам прямой последовательности Z1 = j3 Ом, со-

противление токам обратной последовательности Z 2 = j1 Ом. Како-

вы будут токи при правильном соединении обмоток трансформатора ?

Решение

!

j00

!

− j600

!

− j1200

=

220e

В

В,

В.

При U A

UB = 220e

UC = 220e

Фазное напряжения прямой последовательности

!

1

!

!

2

1

j1200

−

j600

j2400

− j1200

a UC )=

220 + e

220e

+ e

220e

;

U1 =

3

(U A +

aUB +

3

!

j127 В.

U1 = 73,3 +

15

Фазное напряжение обратной последовательности

!

1

!

2

!

!

1

j2400

220e

−

j600

j1200

220e

− j1200

=

220

+

e

+ e

;

U2

3

(U A +

a UB +

aUC )=

3

73,3 В.

!

U2 =

Симметричные составляющие фазных токов

0

!

73,3 +

I!

=

U1

=

j126,7 =

42,3 − j24,4 = 48,8e− j30

(А),

1

Z1

j3

0

!

73,3

I!2 =

U2

=

=

73,3e−

j90

(А).

j1

Фазные токи

Z 2

j66,60

I!

A

=

I! +

I!

= 42,3 −

j 97,7 = 106,5e−

(А),

1

2

I!

= a2 I! +

aI!

=

e j2400 48,7e− j300 + e j1200 73,3e− j900 =

24,5e j300 (А),

B

1

2

I!

=

aI!

+ a2I!

=

e j1200 48,7 e−

j300

+

e j2400 73,3e−

j900 =

106,4 j126,60

(А).

C

1

2

При правильном соединении обмоток трансформатора фазные напряжения образуют симметричную “звезду”, а фазные токи равны

!

220

0

I!′A =

U A

=

= 73,3e−

j90

(А),

j3

j2100

Z1

j3300

j300

!′

e

−

(А),

!′

−

= 73,3e

(А).

IB = 73,3

IC = 73,3e

Векторная диаграмма токов при неправильном и правильном соединении обмоток приведена на рис. 6.1.

+1

IC IA

+j

IB

IA

IC

IB

Рис. 6.1.

16

Контрольные вопросы

1. Почему сопротивление обмоток двигателя токам обратной последовательности меньше, чем токам прямой последовательности?

2.Будут ли при данном включении протекать токи нулевой последовательности?

3.Будет ли отличным от нуля напряжение между нейтральными точками трансформатора и двигателя?

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

З а д а ч а №7

При коммутациях в системах электроснабжения возникают переходные процессы, во время которых напряжения и токи могут превышать свои номинальные значения. Это может привести к повреждению изоляции оборудования или срабатыванию быстродействующей защиты. Кроме того, во время переходного процесса, носящего колебательный характер, могут возникнуть периодические электродинамические силы между токоведущими шинами, которые особенно опасны, если их период близок к периоду колебаний механической системы токопроводов. Указанные обстоятельства делают необходимым определение режимов работы системы в переходном процессе.

Условие

ЛЭП длиной l = 100 км с параметрами R0 = 0,2 Ом/км и

X0 = 0,3 Ом/км питает нагрузку Z H = 200e j370 Ом. Напряжение в начале линии U!1 = 6,3 кВ, частота ω = 314 1/c. Определить ток и напря-

жение на нагрузке в переходном процессе, вызванном подключением параллельно нагрузке конденсатора С = 10 мкФ, предназначенного для повышения коэффициента мощности. Схема электрических соединений показана на рис. 7.1. Задачу решить при

u1(t) = Um sin ωt ,В.

17

Расчетная схема задачи приведена на рис. 7.2.

Rл

Lл

iн

U1		iл	iC	Rн
	Iн	u1(t)		uн(t)
	С		С
	Zн			Lн

Рис. 7.1.	Рис. 7.2.

Решение

Определим параметры схемы

L

л

=

X0l

=

0,3

100 = 0,1 (Гн), R

л

=

R l = 0,2

100

= 20 (Ом),

ω

314

0

200 sin 370

L

=

Zн sinϕ н =

= 0,38 (Гн),

н

ω

314

Rн = Zн cosϕ н = 200 cos370 = 160 (Ом).

В режиме до коммутации

		!	м			6300 2			0
I!н м =	I!л м =	U1		=				= 37,9 e− j40		(A).
		Z л +	Z н		180	+ j314	0,48

Начальные значения тока в линии и тока в нагрузке

iл(0) = iн(0) = 37,9sin(− 400 )= − 24,36 (A).

Вустановившемся режиме после коммутации

!

I!л м =

U1м

,

где

Z вх

1

Z н

−

j

200e

j370

318,5e

− j900

ω

Z

вх

= R

л

+

jω L

л

+

C

= 20

+ j30 +

;

160 −

j198,1

Z н

−

j

1

ω

C

Z вх =

271,1e j4,60 Ом;

18

I!л м =

6300

2

=

32,86e−

j4,6

0

(A);

271,1e j4,60

− j

1

j4,60

318,5e

− j900

= 41,1e− j43,50

I!н м = I!л м

ω

C

=

32,86e−

(А);

Z н −

1

254,4 e−

j51,120

j

ω

C

i

= 41,1sin (314t −

43,50 ), A.

н уст

Корни характеристического уравнения определим, решив

уравнение Zвх ( p) =

0 , где

1

(R

+

pL

)

Zвх ( p) = Rл + pLл +

н

н

pC

.

R

+

pL

+

1

н

н

pC

После подстановки числовых данных и преобразований получим кубическое уравнение:

p3 + 621 p2 + 1347 103 p + 4737 105 = 0.

Применяя формулу Кардана, находим

p	= − 380 1 ,	p	2,3	= − 133	± j1082 1.
1	c				c

Следовательно,	iн(t) = iуст + icв;
i (t) == 41,1sin(314t −	43,50 )+	A e− 380t +	A e− 133t sin(1082t + ψ	) (А),
н		1	2

где A1, A2 и ψ - постоянные интегрирования.

Для нахождения постоянных интегрирования продифференцируем дважды по времени выражение для тока нагрузки и рассмотрим полученные выражения в момент коммутации при t = 0 :

	diн		iн(0) = − 28,29 +		A1 + A2 sinψ		,			(7.1)
		(0) =	9361− 380A	− 133A sinψ		+ 1082A cosψ			,	(7.2)
	dt		1		2			2
d 2iн (0) = 279 104 +			14,4 104 A −	115,3	104 A sinψ		−	28,8 104 A cosψ .		(7.3)
dt2			1		2				2

19

Начальные численные значения тока нагрузки и его производных определим из дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа для схемы, приведенной на рис. 7.2.

	ic = iл − iн;
			di		1	(7.4)
		iнRн + Lн	н	= uc =		∫ icdt.
					C
			dt

При t = 0 iн =	(0) =	iл(0) = − 24,36 А, uc (0) = 0 , откуда ic (0) = 0 ,
diн	(0) =	uc (0) − iн(0)Rн =	24,36 160	= 10257А/c.
dt		L	0,38
		н

Дифференцируя уравнение по II закону Кирхгофа системы (7.4) по времени, получим

	di		d 2i		i
R	н +	L	н	=	c	,
н	dt	н	dt2		C

откуда начальное значение второй производной тока нагрузки равно

d

2

iн

i

(0)

1

−

R

diн (0)

− 160 10257

C

(0) =

c

н

dt

=

= − 4,32 106

(А2/c2).

Lн

0,38

dt2

Подставляя найденные численные значения тока нагрузки и его производных в момент коммутации в уравнения (7.1) – (7.3), получим

	A = 9,79		А, A			=	6,85 А,		ψ	= − 58,80 = − 1,26 рад.
	1			2
Тогда
i	(t) = 41,1sin(314t	−	43,50 )+				9,79 e−	380t +		6,85e− 133t sin(1082t − 58,80 ) (А),
н
			u	н	(t) = i R			+	L	diн	,
							н н		н	dt
u (t) = 8203sin(314t −			6,80 )+		152,8e− 380t +					2914e− 133t (1082t + 16,30 ) (В).
н