Н.М. Козлова Теоретические основы электротехники

20

К о н т р о л ь н ы е

в о п р о с ы

1. Чем определяется число корней характеристического уравнения?

2.Какой вид имеет свободная составляющая напряжения на нагрузке в данной схеме в случае трех действительных корней?

3.Влияет ли момент коммутации (начальная фаза источника питания) на величину постоянных интегрирования?

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

З а д а ч а №8

Плавное изменение постоянного напряжения необходимо для нормального функционирования многих промышленных объектов: станков, подъемных механизмов, транспортных средств. В настоящее время наиболее распространенным способом регулирования постоянного напряжения является использования выпрямительных устройств с управляемыми вентилями - тиристорами. Тиристор проводит ток в положительный полупериод приложенного напряжения, начиная с некоторого момента времени tЗ , называемого “моментом зажигания”. С помощью маломощной системы управления величина момента зажигания может плавно изменяться от нуля до величины, равной полупериоду напряжения питания. При этом величина выпрямленного тока плавно уменьшается от наибольшего значения до нуля. Прерывистый характер тока в цепи приводит к тому, что напряжение нагрузки помимо постоянной составляющей содержит высшие гармоники. Относительное содержание высших гармоник зависит от величины угла зажигания θ З = ω tЗ и характери-

зуется коэффициентом пульсаций kп = U м .

Ucp

Условие

На рис. 8.1. показана схема однополупериодного выпрямителя с тиристором VD. Питание схемы осуществляется от источника синусоидального напряжения u(t) = U м sinω t . Построить кривую тока

нагрузки i(t) для угла зажигания θ З = ω tЗ = 300 при U м = 380 2 В,

u(t) .

i(t)

21

Rн = 54 Ом. Определить зависимость среднего значения выпрямленного напряжения Uср от угла зажигания θ З .Определить зависимость коэффициента пульсации от угла зажигания.

Решение

В интервале 0 − θ З тиристор заперт, ток в цепи равен нулю. В момент ω t = θ З на управляющий электрод тиристора поступает от-

пирающий импульс от цепи управления, тиристор начинает проводить ток, напряжение на нем при этом падает до нуля. Напряжение источника питания приложено к нагрузке, ток равен

i(t) = U м sinω t, А.

Rн

После прохождения тока через нуль тиристор запирается. Через время, равное периоду колебаний источника питания, процесс

повторяется. Кривая при θ З = 300 показана на рис. 8.2. Там же приведена кривая

Среднее значение напряжения на нагрузке

Ucp =

1

π U м sinω

tdω

t =

U м

(1

+ cosθ З ).

2π

∫

2π

θ З

Коэффициент пульсаций

U м

2π

kп

=

=

.

Ucp

1

+

cos0

З

Зависимости Ucp и kп приведены на рис. 8.3, численные значения приведены в табл.8.1.

к схеме управления		A	i	u(ω t)	i(ω t)	kп	Uср /Uм
VD	i
		10				12	0,3	Uср		kп
		5			ω t
u(t)							0,2
	Rн	0 3			2	8
							0,1
	uн(t)					4				Θ3
								π
Рис. 8.1.				Рис. 8.2.					/2	π
							Рис. 8.3.

22

							Таблица 8.1
	θ	З				Uср	kп
	0			U м		= 0,32U м	π
				π
	π	/ 2		U м		= 0,16U м	2π
				2π
	π				0		∞

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы

1. Предложите способы регулирования постоянного напряжения в случае, когда источником энергии является:

а) батарея гальванических элементов; б) генератор постоянного тока; в) генератор переменного тока с выпрямителем.

2.Каковы недостатки способа регулирования напряжения с помощью делителя напряжения?

3.Зависит ли характер кривых Ucp (θ З ) и kп (θ З ) от частоты

питающего напряжения?

З а д а ч а №9

Срок службы аккумуляторных батарей во многом определяется режимом их зарядки. В настоящее время установлено, что благоприятным является заряд кратковременными импульсами тока большой величины, а в промежутках между импульсами зарядного тока - разряд небольшим током. В связи с этим устройства для зарядки аккумуляторов представляют собой генераторы импульсов, в которых предусмотрена регулировка как величины, так и длительности заряжающих и разряжающих импульсов. В простейшем случае заряд аккумулятора может быть осуществлен через однополупериодный выпрямитель, вентиль которого шунтирован резистором.

Условие

На рис. 9.1 приведена схема для заряда аккумуляторной батареи с ЭДС Е = 12 В и внутренним сопротивлением Rвн = 0,04 Ом. Питание схемы осуществляется от источника синусоидального напря-

23

жения при U м = 16 В, ω = 314 1c . Необходимо нарисовать форму тока

в цепи, определить величину резистора Rш , шунтирующего диод

VD, который обеспечивает амплитуду обратного тока, равную 0,05 от амплитуды прямого тока, определить среднее значение тока в цепи.

Решение

Диод VD в прямом направлении пропускает ток в интервале углов θ 1 ≤ ω t ≤ θ 2 , в котором напряжение источника питания u(t)

превосходит ЭДС Е. В Этом интервале эквивалентная схема имеет вид, представленный на рис. 9.2.

Величина тока

i

(t) = u(t) − E =

16sinω t −

12 = 400sinω t − 300 (А).

пр

Rвн

0,04

Амплитуда прямого тока

1

I м пр = (U м − E)

= 100 (А).

Rвн

Значения углов 0 1 и 0

2

определяются из условия

откуда

U м sinω

t =

E ,

E

12

0 1 =

arcsin

= arcsin

= 0,85 (0 1 ≈490 );

16

U м

0

2 = π

− 0

1= 2,29 (0

2 ≈1310 ).

В интервалах 0 ≤ ω t ≤ 0 1

и 0

2 ≤ ω

t ≤ 2π + 0 1 диод VD включен в

обратном направлении и ток замыкается через резистор Rш . Для

этого случая эквивалентная схема имеет вид, представленный на рис. 9.3.

Rш
i		iпр
					iобр
u(t)VD Rвн		Rвн		Rш	Rвн
	u(t)		u(t)
E		E			E
Рис. 9.1.		Рис. 9.2.	Рис. 9.3.

24

	Величина тока				u(t) + E
	i			(t) =				,
	обр				Rш +		Rвн
	Амплитуда обратного тока
	I м обр	=		U м +	E	=	0,05 I м пр ,
			Rш +		Rвн

откуда величина шунтирующего сопротивления определится по формуле

Rш = U м + E − Rвн = 5,56 (Ом). 0,05I м

Качественно кривая тока приведена на рис. 9.4. Среднее значение тока

Icp =

1 T

i(t)d (t) =

1

0

2 u(ω t) −

E

d (ω

t) +

1,5π u(ω t) +

E

dω

,

T

∫

π

∫

R

∫

R

+ Rш

t

0

π

/ 2

вн

0 2

вн

1

2,29

(400sinω t −

300)d (ω

4,71

2,14)d (ω

= 15,8 (А).

I

ср

=

∫

t) +

∫

(2,86sinω

t +

t)

π

π

/ 2

2,29

u, i

u(ω

t)

i(ω t) 3

2

ω

t

_

2

1

2

2

Рис. 9.4.

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы

1. Как будет изменяться среднее значение тока при изменении сопротивления Rш ?

2. Как влияет на зависимость i(t) амплитуда напряжения источника питания?

25

З а д а ч а №10

Наличие высших гармоник в системах электроснабжения приводит к ряду нежелательных последствий. Так, при наличии высших гармоник в кривой напряжения более интенсивно происходит процесс старения изоляции, наличие высших гармоник затрудняет использование силовых цепей в качестве каналов для передачи информации, высшие гармоники вызывают ложную работу устройств релейной защиты, в которой используют фильтры токов обратной последовательности. При наличии высших гармоник заметно увеличивается погрешность счетчиков активной и реактивной энергии.

Основными источниками высших гармоник на промышленных предприятиях являются вентильные преобразователи, дуговые сталеплавильные печи, установки электросварки и газоразрядные лампы. В ряде случаев источниками токов высших гармоник являются электромагнитные устройства со стальными магнитопроводами, работающие на нелинейном участке кривой намагничивания.

Условие

Силовой трансформатор цеховой подстанции имеет сечение магнитопровода S = 0,2 м2, длину средней линии поля l = 2 м, число витков первичной обмотки W = 100. Для повышения коэффициента мощности нагрузки параллельно первичной обмотке трансформатора подключается батарея конденсаторов емкостью C = 12 мкФ. Полагая, что кривая намагничивания материала магнитопровода может быть представлена уравнением

H = 2B + 5B3 ,

где [H ]]= A/cм, [B]]= Тл, определить ток в проводах ЛЭП, питающей подстанцию при отключенной и подключенной батарее конденсаторов и холостом ходе вторичной обмотки трансформатора. Напряжение в начале ЛЭП равно 6300 В, основная частота

50 Гц.

Решение

В режиме холостого хода не будем учитывать падение напряжения в проводах ЛЭП и положим, что на обмотке трансформатора напряжение равно 6300 В, а форма его синусоидальна. При этом

26

индукция магнитного поля в сердечнике трансформатора также синусоидальна, а ее амплитуда равна

Bм =

U

=

6300

= 1,4

(Тл).

4,44 f SW

4,44

50 0,2 100

Ток в обмотке трансформатора определяется по закону полно-

го тока

(2 1,4sin 314t +

314t)= 26,2sinω

iL =

H l

=

200

5 1,43 sin3

t − 6,86sin 3ω t (А),

W

100

при этом первая гармоника тока отстает по фазе от приложенного напряжения на угол π 2 .

Действующее значение тока

I =	I 2	+	I 2	=	26,22	+	6,862	= 19,8 (А).
	1		3		2		2

Если параллельно обмотке трансформатора подключить конденсатор, то через конденсатор потечет синусоидальный ток, который опережает приложенное напряжение по фазе на угол π 2 . Амплитуда емкостного тока

I

м

= U м = U

ω

C = 6300

2 314 12 10−

6 =

33,57 (А).

X c

м

33,57 = 23,7 (А).

Действующее значение тока

I =

2

Мгновенное значение тока

iC =

− 33,57sinω t .

Ток в проводах ЛЭП

(А).

i = iL +

iC = − 7,37 sinω

t − 6,86sin 3ω

t

Действующее значение тока

I =

7,372

+

6,862 = 7,12 (А).

2

2

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы

1. При каких допущениях можно для определения амплиту-

ды индукции использовать соотношение Bм =

U

?

4,44 f SW

2. Будет ли синусоидальным ток в конденсаторе, если учесть сопротивление проводов ЛЭП ?

27

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

З а д а ч а №11

При проектировании высоковольтных воздушных ЛЭП одним из критериев выбора сечения проводов является исключение возможности коронного разряда на поверхности проводов. На этом основании правила устройства электроустановок (ПУЭ) предусматривают минимальное сечение проводов воздушных высоковольтных ЛЭП, исходя из того, чтобы напряженность электрического поля у поверхности провода круглого сечения не превосходила значение пробивной напряженности воздуха Епр = 30 кВ/см.

Условие

Воздушная линия электропередачи постоянного тока напряжением 110 кВ выполнена проводами диаметром 2r0 = 30 мм, рас-

положенными на расстоянии d = 3 м друг от друга и на высоте h = 6 м от поверхности земли, как показано на рис. 11.1. Определить напряженность электрического поля на поверхности проводов.

Решение

Применяя метод зеркальных отражений для учета влияния зарядов на поверхности земли, получим расчетную схему, приведенную на рис. 11.2.

			d	2r0
	d		2r0	-
	1	2	+
	h		2h
			-	+

Рис. 11.1.

Рис. 11.2.

28

Заряды проводов на единицу длины τ =

C pU ,

где C p - рабочая

емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли

Cp

=

1

,

α11 +

α 22 −

2α

12

где потенциальные коэффициенты взяты по модулю.

В рассматриваемом случае

α11 =

α 22

=

1

1n 2h =

1

1n

1200

= 6,684 .

2πε 0

r0

2πε 0

1,5

2πε 0

α12

= α 21 =

1

1n

(2h)2 +

d 2

=

1

1n

(1200)2 + (300)2

=

1,416 .

d

2πε

0

2πε

0

300

2πε 0

Рабочая емкость линии

2πε 0

2πε 0

C

p

=

=

.

10,536

2 6,684 −

2 1,416

Заряд провода на единицу длины

τ = UC p = 110 103 2πε 0

10,536 = 10,44 103 2πε 0 .

Напряженность поля на поверхности провода создается как зарядом данного провода, так и зарядами соседних проводов, величина напряженности обратно пропорциональна расстоянию от точки, где определяется поле, до точки расположения заряда, создающего его. Полагая, что заряды проводов сосредоточены на их электрических осях, получим, что напряженность, создаваемая зарядами соседних проводов, меньше напряженности, создаваемой зарядом самого провода (по крайней мере в dr0 = 200 раз).

Пренебрегая влиянием соседних проводов, получим

	Eм =	τ	=	10440	≈7 (кВ/см).
		2πε 0r0		1,5

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы

1. Как при расчете поля воздушной ЛЭП учитывается влияние заряда, распределенного по поверхности земли?

2. Каков качественно характер распределения плотности заряда на поверхности земли?

29

3. Почему при определении напряженности поля на поверхности провода в данной задаче можно учитывать влияние заряда только одного провода?

З а д а ч а №12

Заземляющие устройства являются необходимой частью многих электроустановок. По своему назначению они служат:

1) для обеспечения нормальной работы установки в рабочих и аварийных режимах в качестве рабочего заземления;

2)для защиты людей от поражения электрическим током при прикосновении к металлическим частям оборудования, которые могут оказаться под напряжением из-за повреждений изоляции, т.е. в качестве защитного заземления;

3)для отвода в землю токов молний высоковольтных разряд-

ников.

Для правильного функционирования заземляющее устройство должно обладать сопротивлением, не превосходящим определенной величины. В установках высокого напряжения с большими токами замыкания на землю допускаемое сопротивление составляет 0,5 Ом.

Вустановках низкого напряжения с суммарной мощностью источников не более 100 кВА сопротивление заземления не должно превосходить 10 Ом.

Условие

Заземляющее устройство представляет собой металлическую сферу радиусом r0 = 0,2 м, расположенную в почве с проводимостью

σ = 2 10− 2 См/м на глубине h = 1 м, как показано на рис.12.1. Определить величину сопротивления заземления.

Решение

При прохождении через заземлитель тока I в почве возникает поле вектора плотности тока δ . Используя метод зеркальных отражений для определения этого поля, получим расчетную схему, показанную на рис. 12.2.