Т.М. Черникова Линейные электрические цепи

20

Лабораторная работа №3

ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ

Цель работы

Выработка умения анализировать электрическое состояние цепи переменного тока с последовательным соединением резистора, катушки индуктивности и конденсатора, ознакомление с условиями возникновения резонанса напряжений и последствиями этого режима.

Основные теоретические положения

Переменным током называется электрический ток, периодически изменяющийся по величине и направлению. В электротехнике наибольшее распространение получили синусоидальные токи (изменяющиеся по закону синусоиды).

Основными параметрами синусоидального тока являются: i – мгновенное значение тока;

Im – амплитуда тока;

I = Im / 2 – действующее значение тока; Iср = 2 / π Im – среднее значение тока;

T – период тока; f – частота;

ω	= 2π f – угловая частота;
ϕ	– начальная фаза.

Аналогичными параметрами характеризуются синусоидальные напряжения и ЭДС.

Электрические цепи с переменными токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей, которые усложняют анализ процессов в цепях. Применение векторных диаграмм при расчете и исследовании цепей позволяют наглядно представить рассматриваемые процессы и упростить производимые расчеты.

Применение символического (комплексного) метода, основанного на использовании комплексных чисел для изображения векторов переменного тока, позволяет выразить в алгебраической форме геометрические операции с векторами переменных токов и напряжений, благодаря

21

чему все методы расчета цепей постоянного тока применимы и для цепей переменного тока.

Закон Ома в символической форме:

							#
						#	U		(3.1)
						I =	Z	,
		#		jϕ	U
	где		Ue – комплекс действующего значения напряжения;
		U =
		#	jϕ i
			Ie – комплекс действующего значения тока;
		I =
		U, I – соответственно действующие значения напряжения и тока;
		ϕ i, ϕ u – начальные фазы напряжения и тока;
		Z =	Z e j(ϕ		и − ϕ i ) =		Z e jϕ		– комплекс полного сопротивления;
		Z – модуль комплекса полного сопротивления;
		ϕ = ϕ и - ϕ				i – угол сдвига фаз между током и напряжением;
		е – основание натурального логарифма;
		j =	− 1 .			– мнимая единица.

Законы Кирхгофа

I закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексов токов в ветвях, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

n	#	(3.2)
∑	IK = 0 .
k =	1

II закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексов ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений в ветвях этого контура:

n	#	n	#			(3.3)
∑	EK =∑ ∑		ZKIK .
k =	1	k==	1

Комплекс полной мощности определяется:

~	# #	*	= Se	jϕ	= UIcosϕ + jUIsinϕ = P + jQ ,	(3.4)
S =	UI

где S = UI – полная мощность;

22

Р = UI cos ϕ – активная мощность; Q = UI sin ϕ – реактивная мощность;

I#* = Ie-jϕ i – сопряженный комплекс тока.

Резистивный элемент в цепи переменного тока (рис. 3.1а) обла-

дает активным сопротивлением.

I

u, ί

u

0

ί

Ů

u=ua

r

t

İ

в)

а)

б)

Рис. 3.1

Если ток изменяется по синусоидальному закону i = Im sin (ωt + ψi), то и напряжение изменяется по тому же закону u = Um sin(ωt + ψu).

Законы изменения тока и напряжения во времени показаны на рис.3.1,б. Изображающие их векторы U# и I# (рис. 3.1, в) также совпадают по фазе,

т.е. ϕ = U# ^ I# = 0.

В символической (комплексной форме) закон Ома в общем случае запишется:

		İ = Ů / R.				(3.5)
где	#	Ie	j ϕ i	#	jϕ i	.
	I =			, U = Ue

Для действующих значений закон Ома

I = U / R.

(3.6)

Мощность, потребляемая резистивным элементом, называется активной мощностью. Эта мощность расходуется на нагрев активного сопротивления резистивного элемента. Количественно она определяется как средняя мощность за период:

			23
	P = P =	1	T u i dt = UI = I2R .	(3.7)
		T
	ср		∫0

Конденсатор в цепи переменного тока (рис. 3.2, а). Основным параметром конденсатора является емкость С, характеризующая его способность накапливать электрическую энергию. Так как конденсатор обладает незначительным активным сопротивлением, то в первом приближении его можно считать идеальным элементом (чисто емкостным).

При приложенном к конденсатору напряжении u = UM sin ωt через него протекает ток i = IM sin(ω t+ + π / 2 ) , т.е. ток опережает по фазе напряжение на четверть периода (рис. 3.2, б, в).

	ί	u, ί	u	İ
		0	ί	90
	u = uc С		t	Ů
	а)		б)	в)
			Рис. 3.2

Сопротивление идеального конденсатора определяется как

	XC =		I	=	I	,	(3.8)
		ω	c		2π fc

и называется реактивным емкостным сопротивлением. Здесь С – емкость конденсатора.

Закон Ома для действующих значений тока и напряжения для цепи с идеальным конденсатором:

I = UC / XC;

(3.9)

в комплексной форме:

	#
#	UC	,	(3.10)
I = - jXC

24

где I# = Iejϕ i ; U# С = UСejϕ u

Среднее значение мощности за период в цепи с идеальным конденсатором равно нулю:

		1	T	dt = 0.	(3.11)
	=	T	∫0
P			P
C			C

В цепи с идеальным конденсатором происходит непрерывное колебание (обмен) энергии между источником и электрическим полем конденсатора без затраты энергии источника. Поэтому конденсатор получил название реактивного элемента.

Параметр, характеризующий энергию, которой обмениваются источник и конденсатор, называется реактивной мощностью и обозначается QC. Количественно она определяется:

QC = UC I = XC I2, ВАр.			(3.12)
В электрической цепи с			идеальной индуктивной катушкой
(рис.3.3,а) активное сопротивление RK=0. При приложении переменного
напряжения	u =	UM sin	ωt по катушке протекает ток
i = I M sin( ω t - π	/ 2 )	(рис. 3.3, б), т.е. ток отстает по фазе от напряжения

на угол π/2 и вектор İ отстает от вектора U на угол π/2 (рис. 3.3, в).

	ί	u, ί	u
	u = uL L	0	ί	Ů
			t	90
	а)			İ
			б)	в)

Рис. 3.3

Сопротивление идеальной катушки XL = ωL = 2πfL, Ом, называют индуктивным сопротивлением катушки. Здесь L – индуктивность катушки.

Закон Ома для действующих значений тока и напряжения для цепи с идеальной индуктивной катушкой:

25

I = UL / XL;

(3.13)

в комплексной форме:

	#		#
	UL		UL
#				,	(3.14)
I =	jXL	=	jLω

где I# = Iejϕ i , U# L = ULejϕ u .

Среднее за период значение мощности цепи с идеальной катушкой Pср=0. Т.е. в цепи с идеальной индуктивной катушкой происходит непрерывное колебание (обмен) энергии между источником и магнитным полем катушки без затрат энергии источника. Поэтому индуктивная катушка получила название реактивного элемента, а мощность – реактив-

ной QL.

Количественно она определяется:

QL = UL I = XL I2, ВАр.

(3.15)

Электрическая цепь с реальной индуктивной катушкой

(рис.3.4,а). Все реальные цепи, содержащие индуктивность, обладают активным сопротивлением RK (сопротивление провода катушки, подводящих проводов и т. д.). Такую реальную индуктивную катушку можно представить из последовательно соединенных идеальных элементов:

ί		I		u, ί	u
	RК		RК		ί	Ů
				0	t
u = uК						φК
	L	U = UК	L
					φк	İ
а)		б)			в)	г)

Рис. 3.4

идеальной индуктивной катушки L и резистивного элемента с активным сопротивлением RK (рис. 3.4, б).

При приложенном к реальной катушке напряжении u = UM sin ωt по ней протекает ток i = IM sin(ω t - ϕ i ) ,. То есть ток отстает по фазе от

26

напряжения на угол φК = φu – φi (рис. 3.4, в), который из-за наличия в катушке активного сопротивления RK всегда меньше 900. Вектор I отстает от вектора U на угол φК (рис. 3.4, г).

Сопротивление реальной индуктивной катушки:

ZK = RK2 + XL2 = RK2 + (Lω )2 ;

(3.16)

в комплексной форме:

ZK = RK + jXL = RK2 + XL2 ej ϕ K = ZKej ϕ K ,

(3.17)

где ZK = RK2 + XL2 – модуль комплекса полного сопротивления реаль-

ной индуктивной катушки; φК = arctg XL / RK – его аргумент. Закон Ома для действующих значений тока и напряжения :

I =	U =	U	;	(3.18)
	ZK	RK2 +	XL2

в комплексной форме:

	#		Ue	j ϕ u		Ue	j ϕ u
#	U							.
I =	Z	=	RK + j XL		=	ZKej ϕ K

Активная мощность в реальной индуктивной катушке:

РК = I2 rK = U I cos φК, Вт,

где коэффициент мощности

cos ϕ K =	RK	=	PK	=	UAK	.
	ZK		SK		U

Реактивная мощность

QL = I2 XL = U I sin φK, ВАр.

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

27

Трансформаторы и синхронные генераторы конструктивно рассчитываются для работы при определенных значениях напряжения и тока. Поэтому их номинальную мощность, от которой зависит их стоимость и размеры, часто характеризуют не активной, а полной мощностью:

SK = U I, ВАр.

(3.23)

Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением:

SK = P2 + QL2 ;

(3.24)

в комплексной форме:

~	# #	*		j ϕ K
SK =			=	SKe	= SKcos ϕ K + jSK sinϕ K = PK + jQL . (3.25)
	U I
Здесь	I#* =			Ie- jϕ i	– сопряженный комплекс тока.

Последовательное соединение из резистивного элемента, реальной индуктивной катушки и конденсатора представлено на рис. 3.5, а.

Схема замещения такой цепи представлена на рис. 3.5, б. Полное сопротивление такой цепи:

Z = (R + RK )2 + (XL - XC )2 .

В комплексной форме оно записывается:

Z = (R + RK ) + j(XL - XC ) .

Ток, протекающий по цепи:

I =	U	=	U	,
	Z		(R + RK )2 + (XL - XC )2

где RK = ZK cos φК , XL = ZK sin φK.

В комплексной форме:

(3.26)

(3.27)

(3.28)

28

#	#		Ue	j ϕ u		Ue	j ϕ u
	U							, (3.29)
I =	Z	=	R + RK + j(XL - XC )		=	(R + RK )2 + (XL − XC )2 ej ϕ

где φ = φu – φi.

		R	RК	L
U	I	UR	UК		UC	С
								ŮL
							ŮК
			а)			ŮR	φКŮак		İ
		R	RК		L	φ
									ŮC
	I						Ů
U		UR		UК
					UC	С
			б)		Рис. 3.5		в)

Напряжения на зажимах цепи:
UR = R I,		UK = ZK I,		UC = XC I.					(3.30)
В комплексной форме:
#	#	#	#	#	#	Uак +	#	#	(3.31)
UR =	RI , UK =		ZKI = RKI +		jXLI =		jUL , UC =	- jXCI .
На основании ІІ закона Кирхгофа напряжение, приложенное к це-
пи:
– для мгновенных значений
	u = ur + uk + uc,								(3.32)
– для действующих значений
	U =	(U R + UаК )2 +			(U L −	UC )2 ,			(3.33)

29

где UаК = RK I = UK cos φК;

UL = I XL = UK sin φK ;

–

для комплексных значений

#

#

#

=

#

#

#

#

#

#

= . (3.34)

U

= U R

+ U K + UC

RI +

ZK I - jXC I =

RI + (RK + j XC ) I - j

XC I

= RI# + RK I# + j (X L I# - XC I# ) = U R + UаК + j (U L -UC )

Активная мощность цепи

P = PR + PK = R I2 + RK I2 + U I cos φ .

(3.35)

Коэффициент мощности всей цепи

∑

R

R +

RK

P

= .

cos ϕ =

Z =

( R +

RK )2 + (X L - X C )2

=

S

(3.36)

= I 2 R + I 2 RK = U аК = R I + RK I

U I

U

U

Коэффициент мощности катушки

cos ϕ K =	RK	=	PK	=	UаК	,
			SK
	ZK				U K

где РК = RK I2; SK = UK I .

Реактивная мощность цепи

Q = QL – QC = XL I2 – XC I2 = U I sin φ.

Полная мощность цепи

S =	P2 +			Q2 =	(P	+ P )2 + (Q	L	- Q	C	)2 =
					K	R
=	(RI2 +			R K I 2 )2 +		(XL I 2 - XC	I 2 )2 = U I
Комплексная полная мощность цепи
~	# #	*	= P + j Q = PR + PK + j (QL - QC ) .
S =	U I

(3.37)

(3.38)

(3.39)

(3.40)

Построение векторной диаграммы напряжений и тока для цепи, изображенной на рис. 3.5, б, следует начинать с построения вектора то-