Т.М. Черникова Линейные электрические цепи

30

ка İ, так как по всем элементам протекает один и тот же ток.

При построении векторов напряжений необходимо учитывать фазовые сдвиги между напряжением и током для соответствующих элементов (см. рис. 3.1, 3.3, 3.4). Тогда векторная диаграмма напряжений и тока для цепи, изображенной на рис. 3.5, а, б, для которой на основании ІІ закона Кирхгофа Ů = ŮR + ŮK + ŮC , при условии, что XL> XC , следовательно, ŮL > ŮC , будет иметь вид, представленный на рис. 3.5, в.

Если в цепи, изображенной на рис. 3.5, а, б, реактивные сопротивления равны (XL = XC), следовательно, напряжения UL = XL I , UC = XC I на реактивных элементах также будут равны (UL = UC), то в такой цепи возникает резонанс напряжений, при котором напряжения на реактивных элементах могут значительно превысить напряжения на входе цепи и вывести их из строя (пробой в конденсаторе, межвитковые замыкания в катушке), а значит, нарушить нормальную работу в цепи. Поэтому явление резонанса напряжений недопустимо в силовых электрических цепях.

Домашнее задание

Изучите основные теоретические положения, относящиеся к работе резистивного, индуктивного и емкостного элементов в цепях синусоидального тока. Рассмотрите схемы опытов и построение векторных диаграмм напряжений.

Выпишите формулы расчетов параметров, представленных в таблицах лабораторной работы. Запишите условия возникновения резонанса напряжений.

Порядок выполнения работы

1. Соберите цепь по схеме рис. 3.6.

2.При помощи ЛАТРа установите напряжение 100 В и проведите

три замера, меняя сопротивление R1. Показания приборов занесите в табл. 3.1.

3.По опытным данным рассчитайте параметры всей цепи и катушки индуктивности. Постройте векторные диаграммы токов и напряжений.

31

U

*

рV1

A

’

1’

I* рW

5 A

рA

a

R1

рV

150 B

ZK

Rk

рV2

Т3

Lk

B

b’

2’

Рис. 3.6

Таблица 3.1

Измерено

Вычислено

№ Задано U

I

P

U1

U2

cosϕ

Z R

R1 RК

ZК

XL

L

UaК UpК UК

1

B

A

Вт

В

В

-

Ом Ом Ом Ом

Ом

Ом

Гн

В В В

2 R1 -var

3

4.Соберите цепь по схеме рис. 3.7.

5.Полностью введите реостат R1. Включите половину конденсаторов. Установите с помощью Т3 напряжение 100 В. Изменяя сопротивление R1, сделайте три замера, при этом поддерживайте напряжение 100 В. Показания приборов запишите в табл. 3.2.

32

						рV1
	1	’	*	U*
A			I	5 A
	a’			рW	рA	R1
			рV
				150 B		С	рV2
	Т3 2’
B b’

Рис. 3.7

6.Установите заданное значение сопротивления R1. При неизменном напряжении 100 В и сопротивлении R1, изменяя емкость конденсаторов С, сделайте три опыта. Показания приборов запишите в табл. 3.2.

7.По опытным данным рассчитайте параметры всей цепи и конденсатора. Постройте векторные диаграммы токов и напряжений.

8.Соберите цепь по схеме рис. 3.8.

9.Установите с помощью Т3 напряжение 100 В, выключите конденсаторы, установите заданные значения R1 и ZК. Увеличивая количество включенных конденсаторов, убедитесь в том, что в схеме ток будет возрастать (до резонанса), достигнув максимума при резонансе напряжений. При дальнейшем увеличении емкости ток начинает уменьшаться (после резонанса).

Таблица 3.2

№

Условия

Измерено

Вычислено

U

P

I

U1

U2

Ua

Uc

cosϕ

Z

R1

Xc

C

опыта

В

Вт

А

В

В

B

B

-

Ом

Ом

Ом

Ф,10-6

1

R1 - var

2

3

1

С - var

2

3

Проделайте один опыт до резонанса, второй - при резонансе и третий - после резонанса. Результаты измерений запишите в табл. 3.3.

				33
				U*		рV1
		1’	I*
A				5 A	рA
	’			рW
	a					R1
		рV		150 B	ZK	С	рV3
		Т3
B	b’	2’			Lk	Rk

					рV2
				Рис. 3.8						Таблица 3.3
№				1	2				3
Условия опыта				ХС>ХL		XC=XL				XC<XL
		U	В
		I	А
Измерено		P	Вт
		U1	В
		U2	В
		U3	В
		cos ϕ	-
		Z	Ом
		R	Ом
		R1	Ом
		RK	Ом
Вычислено		XL	Ом
		ZK	Ом
		L	Гн
		XC	Ом
		C	Ф,1
		UаК	В
		ULК	В

34

10. По опытным данным рассчитайте параметры всей цепи, реостата, конденсатора и катушки индуктивности (табл. 3.3).

Постройте векторные диаграммы токов и напряжений.

Контрольные вопросы

1. Основные параметры синусоидального тока.

2.Закон Ома в символической форме.

3.Законы Кирхгофа в символической форме.

4.Напишите уравнения электрического состояния для каждой схемы в символической форме.

5.Запишите комплексные полные сопротивления каждой цепи.

6.Резистивный элемент в цепи переменного тока.

7.Конденсатор в цепи переменного тока.

8.Индуктивность в цепи переменного тока.

9.Коэффициент мощности и его значение.

10. Условия возникновения резонанса напряжения. 11. Чему равен сos ϕ при резонансе напряжений?

12. Чему равна реактивная мощность всей цепи при резонансе?

Литература

[1, §2.1. - 2.12; 2, §2.1 - 2.15; 3, §2.1 - 2.9].

Лабораторная работа №4

ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ. РЕЗОНАНС ТОКОВ

Цель работы

Выработка умения анализировать электрическое состояние цепи переменного тока с параллельным соединением резистора, катушки индуктивности и конденсатора, ознакомление с условиями возникновения резонанса токов.

35

Основные теоретические положения

Особенностью расчета разветвленных цепей переменного тока является то, что при расчете используется метод проводимостей, с помощью которого определяют все искомые величины. При таком подходе выражение для определения полной проводимости ветвей или цепи с параллельным соединением элементов имеет такой же достаточно простой вид, как и выражение для определения полного сопротивления в цепи с последовательным соединением элементов:

У = (∑ g)2 + (∑ вС ∑- ∑ вL )2 ,

(4.1)

Здесь У – полная проводимость цепи или ветви; g – активная проводимость ветви;

вL – индуктивная проводимость ветви; вС – емкостная проводимость ветви.

В символической (комплексной) форме полная проводимость цепи или ветви записывается в виде

Υ	= ∑ g - j∑(∑ вL ∑- ∑ вС ) .	(4.2)

Закон Ома для определения величины тока цепи или ветви:

	I = У U,				(4.3)
в комплексной форме:
	#		#		(4.4)
	I =	Y U ,
где I# =	I e j ϕ i		– комплекс действующего значения тока;
#	U e	j ϕ	u	– комплекс действующего значения напряжения;
U =

U, I – соответственно действующее значение напряжения и тока; φi , φu – соответственно начальные фазы тока и напряжения;

e – основание натурального логарифма.

В ряде случаев расчет разветвленных цепей переменного тока можно проводить не через проводимости, а через сопротивления. Наиболее удобно в этом случае проводить расчет, используя символический

36

(комплексный) метод, так как он позволяет применять все те же методы расчета, как и для цепей постоянного тока.

Рассмотрим несколько примеров расчета разветвленных цепей переменного тока.

А. Цепь с параллельным соединением идеализированных элементов (рис. 4.1).

	I0			Ů
U	IR R IL L	IC С	φ0	İR
			İO
				İC İL
	а)			б)
		Рис. 4.1

Проводимости ветвей цепи:

g = 1 / R , вL = 1 / XL , вC = 1 / XC ,

(4.5)

где R – сопротивление резистивного элемента;

XL = L ω = L 2π ƒ – сопротивление идеальной индуктивной катуш-

ки;

XC = 1 / ω c = 1 / 2π ƒ Ρ– сопротивление идеального конденсатора. Полная проводимость цепи

У = g 2 + (вС - вL )2 .

(4.6)

Комплексная полная проводимость цепи

Y = g - j (вL - вC ) = g - j в .

(4.7)

Токи, протекающие в ветвях, и общий ток цепи

		37
I R =	g U , IL =	вL U , IC = вС U ,			(4.8)
IO =		+ (вC - вL )2 ] U =	I R2
	У U = [g2			+	(IC - IL )2 .

Общий ток цепи, в комплексной форме:

#		#	#	(4.9)
IO	= Y U =		[g - j (вL - вС )]U = IR - j (IL - IC ),
где I#O = IO e j ϕ io			– комплекс общего тока;
#	j ϕ u	– комплекс напряжения, приложенного к цепи;
U = U e

φio , φu – соответственно начальные фазы тока и напряжения.

Построение векторной диаграммы токов и напряжений для це-

пи, изображенной на рис. 4.1, а (и подобных цепей), следует начинать с построения вектора напряжения, так как напряжение одно и то же. При построении векторов токов необходимо учитывать характер сопротивлений, по которым протекают токи. Следовательно, векторы тока и напряжения на резисторе совпадают по фазе. Ток, протекающий по идеальной индуктивности, отстает по фазе от приложенного напряжения на угол 900. Так как конденсатор обладает незначительным активным сопротивлением, его можно считать идеальным емкостным элементом, а ток, протекающий по конденсатору, опережает приложенное к нему напряжение на угол 900. Тогда векторная диаграмма токов и напряжения для цепи, в которой на основании I закона Кирхгофа İO = İR + İL + İC , при условии, что вL > вС, следовательно, IL > IC , будет иметь вид, представленный на рис. 4.1, б.

В случае, когда в цепи (рис. 4.1, а) реактивные проводимости будут равны между собой (вL = вС), то и реактивные токи также будут равны между собой (IL = IC) и взаимно компенсируются, здесь имеет место явление резонанса токов. В этом случае общий ток в цепи IO и напряжение на входе цепи U совпадают по фазе (φ =φu – φio=0, cos φ =1). Общий ток в цепи равен току, проходящему через резистор:

IO =	IR2 + (IC - IL )2 = IR .	(4.10)
Мощности цепи (рис. 4.1, а):
активная
P =	U I cosϕ = R IR2 , Вт;	(4.11)

38

реактивная

Q = U IO sinϕ = QC - QL = XC IC2 - XL IL2 , Вар;

(4.12)

полная

S =

U IO =

P2 + Q2 = P2 +

(QC - QL )2 , ВАр.

(4.13)

Комплексная полная мощность

~

#

P +

j Q ,

(4.14)

S =

U IO =

где IO =

I e-j ψ

i

– сопряженный комплекс общего тока.

Б. Цепь из двух параллельных ветвей

Проводимости ветвей цепи (рис. 4.2, а):

g1 =

R1

=

R1

– активная проводимость первой ветви;

R12 + XL2

Z12

вL =

XL

=

XL

– индуктивная проводимость первой ветви;

Z12

R12 +

XL2

g2 =

R2

=

R2

– активная проводимость второй ветви;

Z22

R22 +

XC2

вC =

XC

=

XC

– емкостная проводимость второй ветви.

Z22

R22 +

XC2

I0

Ů

φ1

φ0

U

I1

R1

R2

İL

I0

L

I2

С

İ1

İ2

İC

φ2

İа1

İа2

а)

б)

Рис. 4.2

39

Полная проводимость ветвей цепи

У1 = g12 + вL2 ; У2 = g22 + вС2 ; УО = (g1 + g2 )2 + (вС - вL )2 . (4.15)

Комплексная полная проводимость ветвей цепи

Y1 = q1 - j вL ; Y2 = q2 + j вС ; YO = q1 + q2 - j (вL - вС ) .						(4.16)

Токи в ветвях и общий ток цепи:

I1 = У1 U =	g12 + вL2 U =	Iа12 + IL2 ,
I2 = У2 U =	g22 + вС2 U =	Ia22 + IC2 ,	(4.17)
IO = УО U =	(g1 + g2 )2 + (вС − вL )2 U =		(Ia1 + Ia2 )2 + (IL - IC )2 ,

где Iа1 = g1 U – активная составляющая тока I1;

IL = вL U – индуктивная составляющая тока I1; Ia2 = g2 U – активная составляющая тока I2;

IC = вС U – емкостная составляющая тока I2.

В комплексной форме токи в ветвях и общий ток цепи:

#	=	#
I1		Y1 U = (g1 - j вL ) U = Ia1 - j IL ,
#	=			#			=	(g2 + j вС ) U = Ia2 + j IC ,	(4.18)
I2		Y2 U
#					#			= [g1 + g2 - j (вL - вC )] U = Ia1 + Ia2	- j (IL - IC ) .
IO =			YO U

Расчет электрической цепи при параллельном соединении ветвей можно выполнить и без предварительного определения активных и реактивных проводимостей, представляя элементы цепи в схеме замещения их активными и реактивными сопротивлениями.

Для цепи, изображенной на рис.4.2, а, полное сопротивление ветвей определяется:

Z	=	R2	+ X2	; Z	2	=	R2	+ X2 .	(4.19)
1		1	L				2	C