Теоретическая механика_ Ч_1_()

Рис.3.6. Равновесие стержня АВ

Реакция заделки имеет три неизвестные

величины: XA , YA , M .

На балку действует плоская система сил. Для равновесия такой системы необходимо и достаточно, чтобы

выполнились три условия равновесия:

Fkx 0;

Fky 0;

m0(Fk ) 0.

Моменты всех действующих на стержень АВ сил можно вычислять относительной любой произвольно выбранной точки. Однако удобнее в качестве такой точки на, нашем примере, выбрать точку А. Это связано с тем, что через точку А проходят линии действия двух, пока неизвестных и подлежащих

41

определению реакций

X

A , YA .

В этом случае,

моменты этих

сил относительно точки А равны нулю.

Решение может быть оформлено в виде таблицы 3.3.

Таблица 3.3

Нагрузка

Проекция

Проекция

Момент

на ось Oх

на ось Oу

силы

0

-

1

P1

P1

P1

2

AB

0

YB

YB

YB AB

B

- XB

0

0

X

0

YA

0

YA

A

XA

0

0

X

0

0

M

M

Составим уравнения равновесия:

4.Fkx XB XA 0.

5.Fky P1 YB YA 0.

	6. mA(			) P1		AB	YB AB M 0;
		Fk
					2

Решаем эти уравнения.

Из уравнения (4) следует, что

XA XB 200( H ).

Из уравнения (5) можно подсчитать

YA P1 YB 100 53,5 46,5(H ).

42

Неизвестный момент определится из уравнения (6)

M 100 4 53,5 8 400 428 28(H м).

Усилие в шарнире В равно

RB XB2 YB2 2002 63,52

400 2850 42850 208(H ).

N 213,5 H;

RB 208 H;

XA 200 H;

YA 46,5 H;

M 28H м.

Таким образом, получены все искомые реакции опор, следовательно, задача статики является решенной.

Для лучшего понимания решения задачи статики для сочлененных тел, приведем решение еще одной задачи с другими типами опор.

Пример 3.3. Определение реакций опор составной конструкции.

Найти реакции опор и давление в промежуточном шарнире составной конструкции. Схема конструкции представлена на рис. 3.7 (размеры – в м), нагрузка указана в таблице 3.4.

43

Рис. 3.7. Исходная постановка задачи

		Таблица 1
P1, кН	М, кН м	q, кН/м
6,0	25,0	0,8

Заменим опоры в точках A и B реакциями связи, а распределенную нагрузку сосредоточенной. В этом случае укажем все силы и моменты сил, приложенные ко всей конструкции (рис. 3.8).

Из рис.3.8 следует, что на конструкцию действует следующая система сил: реакции опор RAx , RAy, RBx , RBy ,

сосредоточенная сила P1 , сосредоточенная сила Q и изгибающий момент M .

44

Рис. 3.8. Силы и моменты приложенные ко всей конструкции

Разложим силу P1 на составляющие P1x и P1y .

Рис. 3.9 Определение проекций на оси координат

Вычислим проекции силы P1 на оси координат

	P1x P1	sin( )	sin( )			1.5				0,24
						62 1,52
	P1y P1	cos( )	cos( )			6				0,97
							62 1,52

45

P1x P1 sin( )=1,44 (кН)

P1y P1 cos( )=5,82 (кН)

Q 3.5 q 2.8 (кН)

Разъединим конструкцию на две части и рассмотрим равновесие каждой части в отдельности

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к левой части конструкции (рис.3.10):

Рис. 3.10. Силы, приложенные к левой части конструкции

Запишем уравнения равновесия:

1)Fxi 0; RСx RAx Q P1x 0,

2)Fyi 0; RСy RAy P1y 0,

Моменты сил, действующих на левую выделенную часть конструкции будем вычислять относительно точки C.

46

	3) MiC	0;			3,5		2
			RAx	2 Q (2	2	) P1 cos( )			RAy 6 0.

Теперь рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к правой части конструкции (рис.3.11):

Рис.3.11. Силы, приложенные к левой части конструкции

Запишем уравнения равновесия:

4)

Fxi

0;

R

R

0,

Сx

Bx

5)

Fyi

0;

R

R

0,

Сy

By

6)

MiC 0;

RBx 2 M 0,

Таким образом, имеем систему 6 уравнений с 6

неизвестными R

Ax

, R

Ay

, R

Bx

, R

By

, R

, R .

Cx

Cy

Из уравнения (6)

47

RBx M 25 12,5 kH. 2 2

Из уравнения (4)

RСx RBx 12,5кН

Из уравнения (1) следует

RAx Q P1x RСx 2,8 1,44 12,5 11,14 kH.

Из уравнения (3)

			R	Ax	2 Q (2				3 ,5		) P			1			2
R Ay								2								cos( )
								6
11 ,14			2			2 ,8 (2		3,5		)		6			2
													0,97
								2										5,89 kH .
						6

Из уравнений (2) и (5)следует

RСy RAy P1y 5,89 5,82 0,07 kH.

RBy RCy 0,07 kH.

Отрицательные значения реакций говорят о том, что действительное направление RBx и RBy противоположно указанному на рис.3.11.

48

Раздел 2. Пространственная система сил

Глава 4. Равновесие пространственной системы сил

Пространственная система сходящихся сил, подобно плоской системе сил, также приводится к равнодействующей

n

R Fi

i 1

Проекции равнодействующей силы R на оси декартовых координат x, y, z равны суммам проекций слагаемых сил на соответствующие оси, т. е.

n	n	n
Rx Fkx	Ry Fky	Rz Fkz
i 1	i 1	i 1

Для равновесия твердого тела, к которому приложена пространственная система сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая сил равнялась нулю, т.е.

n

R Fi 0 i 1

или

n	n	n
Rx Fkx 0	Ry Fky 0	Rz Fkz 0
i 1	i 1	i 1

При решение задачи рекомендуется придерживаться следующего порядка:

1)выделить тело или конструкцию, равновесие которой надо рассмотреть;

2)указать все действующие на выделенный объект силы – активные силы и реакции связей;

49

3)в соответствие с принципом освобождения от связей, рассмотреть выделенный объект исследования как свободное тело находящееся под действием активных сил и реакций связей;

4)выбрать систему декартовых координат x, y, z ;

5)составить уравнения равновесия в проекциях на оси координат;

6)решить полученную систему и провести анализ результатов решения задачи.

Начало осей декартовых координат рекомендуется выбрать в точке пересечения линий действия сил.

Для определения проекции силы на ось можно воспользоваться способом двойного проектирования: сначала спроектировать силу на плоскость, содержащую нужную ось, а затем эту проекцию спроектировать на ось.

Пример 4.1

К одной из вершин параллелепипеда (рис.4.1) приложена сила F1 . Определить проекции силы на оси координат.

Углы,	составленные силой F с осями Ox и Oy
неизвестны, поэтому для вычисления проекций силы						на оси
					F
Ox и Oy	воспользуемся способом двойного проектирования:
сначала спроектируем силу			на плоскость Oxy .
		F
Как известно, проекция силы на плоскость есть вектор
							F1 ,
равный по модулю:
		F F cos300.
	1

Теперь вектор F1, лежащий в плоскости xoy, нужно спроецировать на координатные оси ox и oy.

50