термех кинематика.asp

		Рисунки к заданию 2.22
5.		R2	6.	R3	М
	М				R2
1					r2
	R1
		2
					1
					2

1

3

х

Рисунки к заданию 2.23

5.		2		R2 6.		R2		r2
	R1					1		R3
								r3
						2
						x	М
		1						3
		1
			Рисунки к заданию 2.24
5.			C	6.		R3
						М
		R2
	2
			R1
					r3
						r2		R2
						3
				1		2		1
		1
								x
			Рисунки к заданию 2.25

5.			6.	R3
	1			М
1
		R1
				R2

R2		1
	M	3
		r2
		х
C	2	2

61

3 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Сложным движением точки М называют такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух (или более) движениях, то есть, когда необходимо рассматривать движение точки по отношению к двум системам отсчѐта (рисунок 3.1), из которых одна О1х1у1z1 считается основной или условно неподвижной, а другая Охуz движется относительно первой.

Абсолютным движением точки М называют движение относительно условно неподвижной системы отсчѐта О1х1у1z1. Траекторию, скорость и ускорение точки в этом движении называют абсолютными (обозначаются

Vабс ,

a

абс

или Vа ,

a

а ).

Относительным

движе-

z1

z

нием точки М называют еѐ движе-

M M

ние относительно подвижной сис-

темы отсчета Охуz. Траекторию,

у

скорость и ускорение точки в этом

r

движении называют относительны-

O

ми (обозначаются Vr ,

r ).

a

O1

r 0

Переносным

движением

x

у1

точки

М называют

еѐ движение

x1

вместе с подвижной системой от-

Рисунок 3.1

счѐта

Охуz относительно

непод-

вижной системы отсчѐта О1х1у1z1. В

каждый конкретный момент времени t точка М совпадает с некоторой точкой M пространства, жестко связанного с подвижной системой отсчѐта. Скорость и ускорение точки M , возникающие при движении этого пространства относительно неподвижной системы отсчѐта, называют переносными ско-

ростью и ускорением точки М (обозначаются Ve , ae ).

Абсолютная скорость точки в сложном дви-

жении равна геометрической сумме относительной и

Vr

Va

переносной скоростей:

Va Vr

Ve .

(3.1)

Модуль абсолютной скорости определяется либо по

М

формуле:

Ve

V

V 2

V 2

2 V

V cos

,

(3.2)

a

r

e

r

e

либо методом проецирования равенства 3.1 на выбранные координатные оси. Тогда зависимости между проекциями абсолютной, относительной и переносной скоростей определяются формулами:

Vax = Vrx + Vex, Vay = Vry + Vey, Vaz = Vrz + Vez.

Величина абсолютной скорости находится по еѐ проекциям:

62

V	V 2	V 2	V 2 .	(3.3)
a	ax	ay	az

Абсолютное ускорение точки при переносном поступательном движении равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений:

		a		r		e .	(3.4)
	a		a		a

При переносном непоступательном движении абсолютное ускорение равно геометрической сумме относительного, переносного и Кориолисова ускорений:

a

r

e

c .

(3.5)

a

a

a

a

Ускорение Кориолиса

c

при переносном вращательном движении

a

равно удвоенному векторному произведению угловой скорости

перенос-

ного движения на относительную скорость Vr точки:

	c = 2(					(3.6)
a		e Vr ) .

Модуль ускорения Кориолиса определяется как модуль векторного произведения двух векторов:

ас = 2 e Vr sin(					(3.7)
	e ;Vr ) .

Из формулы 3.7 следует, что Кориолисово ускорение равно нулю в следующих случаях:

если е = 0, т.е. в случае поступательного переносного движения или в моменты обращения в ноль угловой скорости непоступательного переносного движения;

если Vr = 0, т.е. в случае относительного покоя точки или в моменты равенства нулю относительной скорости движущейся точки;

если

sin(

т.е. в случае,

когда

(

или

e ;Vr ) 0 ,

e ;Vr ) 180º

(

e ;Vr )

0º, и, следовательно, векторы

e

и Vr параллельны.

Направление ускорения Кориолиса можно

непосредственно определить по векторному произ-

e

ведению (3.6) или по правилу Н.Е. Жуковского.

Для этого следует вектор относительной скорости

V

r

М

ac

спроецировать на плоскость П, перпендикуляр-

Vr

ную вектору переносной угловой скорости

и

90°

e ,

повернуть проекцию в этой плоскости на угол 90

в

VrП

П

направлении переносного вращения (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2

Модуль абсолютного ускорения определя-

ется рассмотренным выше методом проецирования

векторных равенств 3.4 − 3.5 на координатные оси.

63

Пример 1. В механизме, изображенном на рисунке 3.3, звенья О1А и

О2В вращаются согласно уравнению =	t	2	рад. Точка М движется по телу
	8
АВСD по круговой траектории по закону ОМ = S(t)= =				5	t 3 см. Определить
		4

абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 2 с, если О1А = О2В = R = 30 cм.

Решение.

Движение точки М по телу АВСD по круговой траектории по закону

SS( t ) принимается за относительное движение. Движение точки М вместе

стелом АВСD – переносное движение.

				Vr	у
					ar
D		С	D		M	С
		х
R	M			Ve ae
		O			aen	O
				arn
R		VA	a A
		В				В
А			n	А
φ			a A
			ω1
O1	O2			φ1
			O1			O2
Рисунок 3.3				Рисунок 3.4

Определяем положение звеньев О1А и О2В и положение точки на теле в заданный момент времени (рисунок 3.4):

	t 2	22					рад,					ОМ = S =						5	t 3			5				23	10		см,
1
	8	8				2									4							4
									S		10						рад.
									R		30					3
Определяем абсолютную скорость точки VМ																							Vr			Ve .
Относительная скорость V								dS				5		3	t 2 , при t = 2 c											V	15		см/с.
					r
								dt			4															r
Тело АВСD движется поступательно,																			следовательно, все его точки

в конкретный момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения:

Ve VA 1 O1 A ,			t			рад/с, VA 1 R		30 15	см/с.
	1
				2			2
		4

64

Изображаем векторы Vr

и Ve

VA

на рисунке 3.4.

Модуль абсолютной скорости определяем по выражению (3.2):

V 2

V 2

V

2 V

V

cos

(V ;V )

M

r

e

r

e

r

e

15

2

15

2

2 Vr Ve

cos 30

29 см/с.

Определяем ускорение точки по выражению (3.4), учитывая, что тра-

ектории относительного и переносного движений криволинейные:

n

n

,

a

( Уa

)2

( Уa

)2

,

a

M

a

a

r

a

a

M

x

y

r

e

e

n

V 2

15

2

2

2

dV

r

15

r

t ,

ar

7,5

cм/с , ar

=

R

30

dt

2

2

при t = 2 c ar = 15

см/с2,

ae

aA ,

aen =

12 R

30

7,5

2 см/с2,

2

1 R ,

d

1

-2

2

ae =

1

с

, ae

=

30 7,5 см/с .

dt

4

4

Изображаем векторы ускорений на рисунке 3.4. Вычисляем сумму

проекций ускорений на выбранные оси:

Σакx = ae + ar

·cos30º + arn ·cos60º = 7,5

+ 15

·0,87 + 7,5

2·0,5 = 32,3 ,

Σакy = − aen − arn cos30º + ar

·cos60º = − 7,5

2 − 7,5 2·0,87 + 15

·0,5 = − 36,4 ,

aM

ax

2

ay

2

32,32

36,4 2

48,6 см/с2.

Ответ: VM

29

см/с,

aМ = 48,6 см/с2.

Пример 2. Диск радиусом R = 0,5 м вращается вокруг оси (рисунок

3.5), совпадающей с его диаметром ОА по закону

e 2t 3

4t 2

(φе − в ра-

дианах, t – в секундах). По дуге ОM диска движется точка М по закону

	Sr	OM	R	7t 2t 2	, (S – м, t – с). Определить абсолютную скорость и
			6

абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1 с.

Примечания

1. Положительное направление отсчета угла φе показано на рисунке.

2. Положительное направление отсчета дуговой координаты Sr = ОМ от точки О к точке М показано на рисунке, причем дуга ОМ соответствует меньшему центральному углу.

Решение.

Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по

65

дуге ОМА относительным (дуга ОМА – относительная траектория точки), а движение точки вместе с диском – переносным движением.

Абсолютная скорость Va и абсолютное ускорение aa

точки опреде-

ляются по формулам:

,

n

n

,

V V V

a

a

a

e

a

r

a

c

a

a

e

a

a

r

a

c

a

e r

e

r

т.к. переносное движение вращательное

e

en

e ; а относительная траек-

a

a

a

тория – дуга окружности, то

r

rn

r .

a

a

a

Определим все кинематические характеристики относительного и

переносного движений.

1. Относительное движение происходит по закону:

Sr

OM

R

7t 2t 2

м.

6

Установим, где будет находиться точка М на дуге ОМА в момент

времени t = 1с, получим:

5

R

Sr

5

Sr

м, тогда

ОСМ1

=

150 .

6

R

6

Покажем на дуге ОМА точку М1 в положении, определяемом этим

углом.

Находим числовые значения Vr , ar , arn :

	Vr	dSr		R	7 4t	,	ar =	dVr		2 R	.
		dt	6					dt	3

Для момента времени t = 1 с, учитывая, что R = 0,5 м, получим:

3

R

2

n

V 2

2

a

a

r

2

V

0,25 м/с,

r

=

м/с ,

r

=

м/с .

r

6

3

R

8

Знаки показывают, что вектор Vr

направлен в сторону положитель-

ного отсчета дуговой координаты Sr по касательной к относительной траек-

тории, а вектор a

–

в противоположную сторону. Вектор a n

направлен к

r

r

центру С дуги ОМА. Изображаем все эти векторы на рисунке 3.5.

2. Переносное движение (вращение диска) происходит по закону:

e

2t 3

4t 2 .

Найдем угловую скорость ωе и угловое ускорение εе

переносного

движения:

d e

6 t

2

8t ,

d

e

12 t 8 .

e

dt

e

dt

При t = 1 c

e

2 рад/с,

e

4

рад/с2.

Знаки указывают, что при t = 1 c угловое ускорение переносного движения εe совпадает с направлением положительного отсчета угла φе, а на-

66

правление ωе ему противоположно. Отметим это на рисунке соответствующими стрелками. В дальнейшем учтем, что направление ωе указывает направление вращения диска.

Для определения Ve и ae находим сначала расстояние h от точки М1 до оси вращения, где h – радиус окружности L, описываемой той точкой дис-

ка,	с	которой совпадает точка М в момент времени t. Получаем
h	R	sin 30 0,25 м.

		z
			ac
	V r	ae
L	А
		M1	у
	aen	h	ar
	30º	arn
	V e
	C	150º
х	e	R	M
	O
		e
	e
		e
	Рисунок 3.5

Тогда в момент времени t = 1 c получим:

V

h 0,5 м/с, a

e

= h 1 м/с2,

an

2 h 1 м/с2.

e

e

Изображаем на рисунке векторы Ve ,

e . Они направлены перпенди-

a

кулярно плоскости рисунка с учетом направления

е, εe (Ve

M1x,

e

a

M x ). Вектор

a n направлен к оси вращения.

1

e

67

3. Кориолисово ускорение.

Так как угол между вектором Vr

и вектором угловой переносной

скорости

равен 120º, а sin120º = sin60º, то численно в момент времени

e

t = 1 c:

sin 60

2

2 3

2,72 м/с2.

a

2

V

e

c

r

4

2

Направление ac найдем по правилу Жуковского. Спроецируем век-

тор Vr на плоскость,

перпендикулярную оси переносного вращения (проек-

ция направлена в отрицательном направлении оси М1у), и затем повернем эту проекцию в плоскости М1ху в направлении вращения диска на угол 90º. Сле-

довательно, ac

направлено в отрицательном направлении оси М1х. Изобра-

жаем ac на рисунке.

Теперь можно вычислить значения абсолютной скорости Va и абсо-

лютного ускорения aa

точки М1.

4. Определение Va .

Так как векторы Vr

и Ve

взаимно перпендикулярны (рисунок 3.5), то в

момент времени t = 1 c:

V

V

2

V 2

0,25

2

0,52

0,93 м/с.

a

r

e

5. Определение aa .

По теореме о сложении ускорений:

n

n

.

a

a

a

a

a

a

r

a

e

e

r

c

Для определения aa

спроецируем векторное равенство на оси М1хуz и

вычислим проекции вектора

a

на эти оси:

a

aax

ae

ac

1 2,72

3,72 м/с2,

aen

arn sin 30

3

2

0,71 м/с2,

aay

ar cos30

1

6

16

2

3

aaz

ar cos60

arn cos30

1,59 м/с2.

6

16

Определим значение aa в момент времени t = 1 c:

aa	aax2 aay2 aaz2		3,72 2	0,71 2	1,59 2 4,1 м/с2.

Ответ: Va = 0,93 м/с, aa = 4,1 м/с2.

68

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

По данной теме предлагается 25 вариантов заданий по 5 задач в каждом. Рисунки к заданиям по вариантам представлены на страницах 82 - 94. Номер рисунка соответствует номеру задачи в задании.

Первые три задачи имеют одинаковые условия. Требуется определить абсолютные скорости и абсолютные ускорения точки М при еѐ сложном движении в заданный момент времени t = t1. Движения тела D, в зависимости от вида, задаѐтся уравнениями в виде х = х(t) или = (t). Движение точки М относительно движущегося тела D задано уравнениями вида S = OM = S(t) или = (t). Во всех задачах линейные координаты (х, ОМ, S) задаются в сантиметрах, φ – в радианах, x, S = OM, обозначены на рисунках. Положительное значение координаты S = ОМ отсчитывается от точки О в сторону ближайшего, указанного на рисунке, положения точки М.

Первые три задачи рекомендуется решать в следующем порядке.

Установить относительное и переносное движения точки М, способы их задания и вид траекторий.

По заданным уравнениям относительного движения определить и построить положение точки М в заданный момент времени на движущемся теле D.

Установить вид переносного движения тела D и, при необходимости, определить и построить его положение относительно выбранной системы координат в заданный момент времени.

Для заданного момента времени вычислить относительные скорость и ускорение точки М, определить их направления и показать на рисунке.

Для заданного момента времени вычислить переносные скорость и ускорение точки М, определить их направления и показать на рисунке.

При необходимости вычислить ускорение Кориолиса точки М в заданный момент времени, определить его направление и показать на рисунке.

Выбрав произвольную систему координат, вычислить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в заданный момент времени.

В четвертой и пятой задачах рассматриваются простейшие механизмы, в которых по заданным характеристикам одного из движений какойлибо точки или звена необходимо определить параметры других движений точки или тела. Особенностью этих задач является то, что траектории абсолютного, переносного и относительного движений можно определить сразу из условия задачи, что облегчает построение векторов скоростей и ускорений.

69

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Задание 3.01

3.01.1.х = t3 + 4t, S = 4πt2, t1 = 2 c, R = 48 см.

3.01.2.φ = 2t3 – t2, S = 18sin 4t , t1 = 23 c, a = 25 см.

3.01.3.φ = 3t – 0,5t3, S = 40πcos 6t , t1 = 2 c, R = 30 см.

3.01.4.Звено ВС кривошипно-ползунного механизма приводного молота D совершает возвратно-поступательное движение. Оно приводится в движение ползуном А, соединенным с кривошипом ОА длиной 30 см, который

вращается с частотой n = 150 об/мин. При t0 = 0 звено ВС занимает низшее положение. Найти скорость и ускорение молота при t1 = ⅔ с.

3.01.5.Эксцентрик D радиусом R = 20 см вращается вокруг оси О по за-

	кону φ =	( t 1 )	, приводя в движение стержень АВ, движущийся в верти-
		2

кальных направляющих. Определить скорость и ускорение стержня в момент времени t1 = 2 с, если ОС = 0,5R.

Задание 3.02

	t 2	3
3.02.1. φ =		, S = t + 2t , t1	= 2 c, О1А = О2О = 35 см.
	12

3.02.2.φ = 0,4t2 + t, S = 20sinπt, t1 = 53 c, R = 20 см.

3.02.3.φ = 1,2t – t2, S = 20πcos 4t , t1 = 43 c, R = 20 см.

3.02.4.Клин В совершает возвратно-поступательное движение по закону S = 90sin 3t . На клин опирается стержень CК, который перемещается по вер-

тикали в направляющих D. Определить скорость и ускорение стержня при t1 = 1 c, если α = 30°.

3.02.5. Конец В горизонтального стержня АВ шарнирно соединен с кулисным камнем, скользящим вдоль прорези кулисы ОС, и заставляет ее вращаться вокруг оси О. Определить угловую скорость и угловое ускорение кулисы при h = 30 см, φ = 45°, V = 15 см/с, а = 10 см/с 2, где V и а, соответственно, скорость и ускорение стержня АВ.

70