Лекция № 10

Связь системной функции с частотной характеристикой

Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению, либо с помощью системной (передаточной) функции. Применяя Z- преобразование к обеим частям разностного уравнения, получим выражение для системной функции:

	H (z)	b b z 1			b z 2	... b z l		.
			0 1		2	l
		a	a z 1	a z 2		... a	z m
		0	1		2	m

Связь системной функции с частотной характеристикой

•Системная функция есть Z-преобразование от импульсной

характеристики системы:

H (z) h(n)z n

n

•Частотный коэффициент передачи также может выражаться через

значения импульсной характеристики:

K ( j ) h(n)e j nT

n

Очевидно, чтобы получить частотный коэффициент передач (частотную характеристику) дискретной системы из его системной функции, в последней нужно сделать подстановку:

z exp( j T )

Связь системной функции с частотной характеристикой

Пример. Определить системную функцию рекурсивного фильтра второго порядка.

x(n)

u(n)

y(n)

X (z)

12

Y(z)

z 1

1

z 1

4

Связь системной функции с частотной характеристикой

Решение. Введем для анализа промежуточный сигнал u(n) и запишем уравнения относительно двух сумматоров в форме разностных уравнений:

u(n) x(n) 12 u(n 1) 14 u(n 2); y(n) u(n) u(n 1).

Применяя Z-преобразование к этим уравнениям,

получаем: U (z) X (z) 12 z 1U (z) 14 z 2U (z);

Y (z) U (z) z 1U (z).

Связь системной функции с частотной характеристикой

После преобразований получаем:

	U (z) X (z)				1		; Y (z) U (z)(1 z 1).
			1		z 1 2 z 2	4
	H (z)				z(z 1)			.
		z2 z 2 1 4

Разностные уравнения обычно определены при

и имеют набор начальных условий. Поэтому при n 0 решении практических задач обычно вводят одностороннее Z-преобразование, определяемое как

X (z) x(n)z n

n 0

Обратное Z-преобразование

Функция		определяет всю бесконечную совокупность отсчетов
	X (z)
	. Умножим обе части ряда Z-преобразования на множитель		:
		x(0), x(1), ..., x(n),...

zn 1

zn 1 X (z) x(0)zn 1 x(1)zn 2 ... x(n)z 1 ...

Вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюса функции . При этом воспользуемся теоремой Коши:

X (z)

	2 jесли,		n 1
zndz		если n 1.
Ñ	0,

Обратное Z-преобразование

•Получаем выражение, называемое обратным Z-преобразованием,

оно позволяет найти отсчеты				по Z-изображению			x(n:)
		X (z)
	x(n)	2 j ÑC
Здесь		1	X (z)zn 1dz Z 1			X (z)
	– замкнутый контур окружностью					, где
– радиус сходимости			.

•ОбратноеC Z-преобразование существует только дляCтакихR1функций

R1	, которые могут иметь лишь конечное число особых точек
	X (z)

(полюсов), причем особенность в каждой из них является устранимой.

X (z)

Обратное Z-преобразование

•Для вычисления обратного Z-преобразования чаще всего пользуются теоремой о вычетах, согласно которой интеграл по замкнутому

контуру от функции комплексного аргумента с точностью до множителя 1(2 j) равен сумме вычетов подынтегральной функции

X	(z) X (z)zn 1		в особых точках (полюсах			p
0						i ), охватываемых
контуром интегрирования					C :
	x(n)		1	X 0 (z)dz Re s X 0 (z)				z pi
		2 j ÑC			i

• Определение вычетов связано с представлением функции X0 (z) в

	виде:			N (z)
			X0 (z) X (z)zn 1
				k
				(z pi )mi			,
		pi		i 1	mi		.
	где		является полюсом порядка

Обратное Z-преобразование

Для нахождения вычетов используют следующие формулы:

В случае простого (однократного) полюса, т.е. полюса с mi 1 ,

0

z pi

i

0

i

0

Re s

X

(z)

lim z p

X

(z)

z p

X

(z)

z pi

z pi

В случае

m кратного полюса, т.е. полюса

m го

порядка,

Re s

X

(z)

1

lim

d m 1

z p

m

X

(z)

0

z pi

(m 1)!

z p

dz

m 1

i

0

i

Обратное Z-преобразование

• Пример 1. Определить по изображению X (z) z(z e ) отсчеты сигнала x(n) .

Подынтегральное выражение обратного Z-преобразования равно:

	X0 (z) X (z)zn 1		zn
			(z e )

Функция X

0

(z)

имеет один простой полюс в точке

p e ,

1

поэтому получаем:

x(n)

Re s

X

0

(z)

lim

zn

(z e ) e n

z z1

)

i 1

z e

(z e