Лекция № 14

Реализация алгоритмов цифровой фильтрации

Графическим представлением алгоритмов цифровой фильтрации являются структурные схемы. Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению, либо с помощью системной (передаточной) функции. Для нерекурсивных фильтров уравнение дискретной фильтрации имеет вид:

	m
y(k) bj x(k j) b0 x(k) b1x(k 1) ... bm x(k m)
(14.1)	j 0

Этому

(14.2)

уравнению соответствуетmпередаточная функция:

H (z) bj z j

j 0

m

Количество используемых предыдущих отсчетов	называют порядком
фильтра.

Реализация алгоритмов цифровой фильтрации

•Построим структурную схему, реализующую алгоритм уравнений (14.1) и (14.2) в виде прямой формы.

x(k)

z 1

z 1

z 1

z 1

b

b1

b

b

0

2

m

y(k)

Рис.14.1

Реализация алгоритмов цифровой фильтрации

• Схема содержит m элементов задержки z 1 на один шаг
дискретизации, осуществляющих запоминание отсчетов сигнала на	bj
время T 1 fд , (m 1) умножителей на постоянные коэффициенты

и многовходовый сумматор . Очевидно, что в реальном устройстве линия задержки содержит конечное число элементов, поэтому импульсная характеристика такого фильтра является конечной по длительности (КИХ-фильтр).

•Простота анализа и реализации, а также наглядная связь коэффициентов фильтра с отсчетами его импульсной характеристики и абсолютная устойчивость привели к тому, что нерекурсивные фильтры широко применяются на практике. Однако для получения хороших частотных характеристик (например, полосовых фильтров с высокой прямоугольностью АЧХ) необходимы нерекурсивные фильтры высокого порядка – до нескольких сотен и даже тысяч.

Реализация алгоритмов цифровой фильтрации

•Рассмотрим возможные варианты синтеза структур на примере рекурсивных фильтров. Разностное уравнение таких фильтров в общем

случае имеет вид:

		m		n
	y(k) bj x(k j) ai y(k i)
		j 0		i 1
•	а системная функция записывается так:
		m
		bj z	j	b0 b1z	1	b2 z	2	... bm z	m
	H (z)	j 0
•		n	i	1 a1z 1 a2 z 2				... an z n		(14.3)
		ai z

i1

•Степени полиномов в числителе и знаменателе могут совпадать, а могут различаться, но в любом случае n m . Простая структура реализации разностного уравнения, отвечающая прямой форме реализации приведена на рис. 14.2.

Реализация алгоритмов цифровой фильтрации

Рис.14.2

x(k)

z 1

z 1

z 1

z 1

b

b

b2

b3

bm

0

1

y(k)

an

a

a

a1

3

2

z 1

z 1

z 1

z 1

Реализация алгоритмов цифровой фильтрации

•Прямая форма реализации состоит из двух частей: верхняя часть отображает первую сумму алгоритма фильтрации и полностью соответствует структуре нерекурсивного линейного фильтра, а нижняя часть – вторую сумму алгоритма (14.3) и представляет собой ветвь отрицательной обратной связи. Структурная схема

содержит (n m) элементов задержки на шаг

дискретизации,	(n m 1)	умножителей на постоянные
коэффициенты	ai , bj	, а также многовходовый

сумматор. Прямая форма реализации фильтра проста, наглядна, полностью соответствует системной функции и не требует повышенной разрядности линий задержки.

Реализация алгоритмов цифровой фильтрации

• Запишем системную функцию фильтра в виде:

		Y (z)		1	m	z j
	H (z)				b		H	(z) H	(z)
				n
		X (z)			j		1	2
				ai z i	j 0

• Цифровой фильтр, соответствующий формуле (14.5), состоит из двух

i 1

последовательно соединенных фильтров с функциями передачи соответственно

и. Первый фильтр имеет только полюсы, а второй – только нули.

Выразим	и	с помощью вспомогательной функции						:
				H1(z)		H2 (z)
	H1(z)	H2 (z)
	W (z)	1	;	H2 (z) Y (z) bj z j
H1 (z) W (z)
							m
				W (z)
	X (z)	n					j 0
		ai z i
•		i 1

Реализация алгоритмов цифровой фильтрации

•Соотношениям слайда № 7 соответствует пара следующих разностных уравнений (в предположении, что коэффициент

a0 1 ):	n
	w(k) x(k) ai w(k i);
	i 1
	m
.	y(k) bj w(k j)
	j 0
Структура реализации этих разностных уравнений		(при
условии, что	n m N ) показана на рис. 14.3. Ее называют
прямой формой № 2 (неканонической). Однако, поскольку в
ветвях, соответствующих H1(z) и H2 (z) , сигнал		w(k)

задерживается одинаково, то для построения фильтра достаточно использовать один набор элементов задержки.

Реализация алгоритмов цифровой фильтрации

x(k) b0 y(k) x(k) b0 y(k)

a

b1

a

b1

z

1

z

1

z

1

1

1

b2

b2

a2

z

1

z

1

a2

z

1

bN

bN

aN

z 1

z 1

aN

z 1

Рис. 14.3

Рис. 14.4

Реализация алгоритмов цифровой фильтрации

• Записав формулу (14.5) в виде:

H (z) Y (z) b0 K Hi (z) X (z) i 1

•получим еще одну структуру построения цифрового фильтра, называемую последовательной, или каскадной

(рис. 14.5).

x(k)

y(k)

H1

(z)

H2 (z)

HK (z)

Рис. 14.5