Применение ЭВМ в инженерных расчетах

Применение ЭВМ в инженерных расчетах

При решении инженерных задач строятся математические модели исследуемых объектов

Аналитические	Численные
P(n, x) npx e np
x!
P n, x Cnx px qn x	Численное интегрирование
	по методу Симпсона
y в с х d x2

Применение ЭВМ в инженерных

расчетахЧисленные методы решения инженерных задач на ЭВМ

Примеры:

Численное интегрирование.

Решение системы линейных уравнений.Нахождение экстремума функции.Интерполяция численных данных.Подбор эмпирических формул и т.п.

Применение ЭВМ в инженерных

расчетахЧисленные методы решения инженерных задач на ЭВМ

Численное интегрирование

Не всегда определенный интеграл можно сосчитать в аналитическом виде, а иногда этот вид достаточно сложен. В некоторых случаях значения подинтегральной функции заданы только на фиксированном конечном множестве точек, т.е. функция задана в виде таблицы.

Во всех этих случаях для вычисления интеграла можно использовать численные методы, достаточно просто реализуемые на ЭВМ

Численные методы интегрирования основаны на аппроксимации подинтегральной функции с помощью интерполяционных многочленов, что позволяет приближенно заменить определенный интеграл суммой составных площадей.

Применение ЭВМ в инженерных

расчетахЧисленные методы решения инженерных задач на ЭВМ

Численное интегрирование

В зависимости от способа вычисления этой суммы различают различные методы численного интегрирования

прямоугольников

трапеций	Ромберга

Симпсона сплайнов

Гаусса

Применение ЭВМ в инженерных

расчетахЧисленные методы решения инженерных задач на ЭВМ

Численное интегрирование Метод трапеций

Этот метод основан на линейной аппроксимации инте- грируемой функции y f (x) между соседними заданными точками (xi 1 , yi 1 ) и (xi , yi ) на промежутке a x b

В этом случае площадь всей фигуры (криволи- нейной трапеции) склады- вается из площадей эле- ментарных прямолиней- ных трапеций.

Применение ЭВМ в инженерных

расчетахЧисленные методы решения инженерных задач на ЭВМ

Численное интегрирование Метод трапеций

Площадь каждой такой трапеции равна

произведению полусуммы оснований на
высоту: si	yi 1	yi	hi ,	i 1,2,...,n
2
где hi xi xi 1

Складывая все эти равенства получаем формулу

трапеций для численного интегрирования:
b	n
I f (x)dx 1 hi ( yi 1 yi )
a	2 i 1
Важным частным	случаем рассмотренной формулы

является случай постоянного шага разбиения: hi h Const
b		yn	n 1
I f (x)dx h (	y0		yi	)
		2
a			i 1

Аналитическая оценка для погрешности вычисления имеет следующий вид: E h2 (b a) f '' (x)

Применение ЭВМ в инженерных

расчетахЧисленные методы решения инженерных задач на ЭВМ

Численное интегрирование Метод трапеций

Начало		Блок-схема процесса численного
Ввод а, в, n		интегрирования методом трапеций

H=(a-b)/n, x1=0, I=0, i=0

Y1=F(x1)

х2=х1+Н

Y2=F(x2)

S=(Y1+Y2)*H/2

I=I+S

i<n	Да
	i=i+1, x1=x2
Нет
Вывод I
Конец

Применение ЭВМ в инженерных

расчетахЧисленные методы решения инженерных задач на ЭВМ

Численное интегрирование

Метод трапеций

Начало

ЗАДАЧА

Ввод ,

Вычислить значение инте-

а в, n

грала от функции

y Sin(x)

H=(a-b)/n, x1=0, I=0, i=0

на интервале [0, ]

:

I Sin(x)dx

Y1=F(x1)

х2=х1+Н

0

Y2=F(x2)

S=(Y1+Y2)*H/2

I=I+S

Пример программы вычисле-

Да

ния интеграла методом трапе-

i=i+1, x1=x2

i<n

ций, составленной на языке

Нет

"QuickBASIC 4,5", представлен

Вывод I

ниже:

Конец

Применение ЭВМ в инженерных

расчетахЧисленные методы решения инженерных задач на ЭВМ

Численное интегрирование

Метод трапеций

Начало

'Программа численного

Ввод а, в, n

интегрирования функции y=Sin(x)

'на интервале от 0 до PI

H=(a-b)/n, x1=0, I=0, i=0

'Методом трапеций

CLS

Y1=F(x1)

'Объявление переменных

х2=х1+Н

DIM X1 AS SINGLE

Y2=F(x2)

DIM X2 AS SINGLE

S=(Y1+Y2)*H/2

DIM F1 AS SINGLE

I=I+S

DIM F2 AS SINGLE

Да

DIM H AS SINGLE

i<n

i=i+1, x1=x2

Нет

DIM I AS SINGLE

DIM E AS SINGLE

Вывод I

DIM A AS INTEGER

Конец