Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Сибирский государственный индустриальный университет»

Кафедра электротехники и электрооборудования

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ. ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКИ.

Методические указания

к выполнению расчётно–графической работы №2

для студентов электротехнических специальностей

по курсу «Теоретические основы электротехники»

НОВОКУЗНЕЦК

2009

УДК 621.34 ( 075 )

Э

Рецензент

кандидат технических наук, профессор

кафедры автоматизированного электропривода и

промышленной электроники СибГИУ

П. Н. Кунинин

Э . Электрические цепи с взаимной индуктивностью. Четырёхполюсники: Метод. указ. / Сост.: В.С. Князев; СибГИУ. – Новокузнецк, 2009. – 24с.

Приведены варианты индивидуальных заданий для выполнения расчётно-графической работы по расчёту линейных электрических цепей синусоидального тока с взаимной индуктивностью. Изложена методика выполнения расчётов электрических цепей, содержащих индуктивно – связанные элементы. Приведен пример расчёта.

Предназначены для студентов электротехнических специальностей всех форм обучения.

Введение

«Теоретические основы электротехники» как общепрофессиональная дисциплина дает фундаментальные знания для специальных дисциплин при подготовке специалистов электротехнического профиля. Значение этого курса особенно значимо при современном уровне развития технических средств электрификации, управления и автоматизации производственных процессов и комплексов.

Дисциплина «Теоретические основы электротехники» опирается на знания, приобретённые студентами при освоении курсов «Физика» и «Высшая математика».

В курсе «Теоретические основы электротехники» математическое описание электромагнитных процессов, рассмотренных в курсе физики, расширяются и развиваются в направлении разработки методов анализа, расчета и экспериментального исследования явлений и процессов, протекающих в электрических и магнитных цепях, электрических и магнитных полях электротехнических и электронных устройств.

Для углубления и закрепления знаний учебными планами предусмотрено по основным разделам дисциплины выполнение студентами индивидуальных расчётно-графических работ. Предлагаемая работа посвящена расчёту установившихся режимов в линейных электрических цепях синусоидального тока, содержащих индуктивно – связанные элементы, вопросам теории четырёхполюсников.

СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАЧИ

На рисунке 1 изображена общая схема электрической цепи, в которой действуют три синусоидальных источника ЭДС (частота ЭДС источников f = 50 Гц) и имеются три пары индуктивно–связанных катушек индуктивности.

Рисунок 1 – Общая схема электрической цепи

В таблице 1 приведены варианты значений базовых параметров элементов электрической цепи рисунка 1, одинаковые для всех студентов группы ( К_{1 – 5} , К_{3 – 6} , К_{4 – 7} – заданные коэффициенты связи соответствующих индуктивно–связанных катушек). Номер варианта задачи для учебной группы выбирается по указанию преподавателя.

В таблице 2 указаны варианты индивидуальных электрических цепей синусоидального тока частоты f = 50 Гц. Номер варианта цепи соответствует номеру студента в групповом журнале. По этому номеру устанавливаются переводные коэффициенты параметров имеющихся в схеме электрической цепи пассивных элементов (сопротивлений – К_R , индуктивностей – К_L и ёмкостей – К_C) и отсутствующие в общей схеме активные и пассивные элементы (в индивидуальной электрической цепи действует только один источник ЭДС и одна пара индуктивно–связанных катушек).

Требуется:

1. По заданному варианту для группы из таблицы 1 выписать значения базовых параметров элементов электрической цепи. По данным таблицы 2 необходимо определить, какие элементы на рисунке 1 отсутствуют в индивидуальном варианте схемы электрической цепи. Нарисовать схему цепи, исключив источники энергии и пассивные элементы, отсутствующие в индивидуальном варианте.

2. Определить реальные параметры элементов электрической цепи индивидуального варианта с учётом указанных в таблице 2 переводных коэффициентов и базовых параметров по формулам:

R₁ = k_R × R₁₀ ; L₁ = k_L × L₁₀ ; C₁ = k_C × C₁₀ ;

R₂ = k_R × R₂₀ ; L₂ = k_L × L₂₀ ; C₂ = k_C × C₂₀ ;

R₃ = k_R × R₃₀ ; L₃ = k_L × L₃₀ ; C₃ = k_C × C₃₀ ;

R₄ = k_R × R₄₀; L₄ = k_L × L₄₀; C₄ = k_C × C₄₀;

L₅ = k_L × L₅₀ ;

L₆ = k_L × L₆₀ ;

L₇ = k_L × L₇₀ .

3. Произвести разметку одноимённых зажимов индуктивно–связанных катушек, имеющихся в схеме. Изобразить схему электрической цепи, исключив сердечники катушек индуктивности (схему цепи целесообразно изобразить таким образом, чтобы на входе цепи действовал источник ЭДС, а на выходе – сопротивление, помеченное на схеме стрелкой).

4. Указать на схеме положительные направления токов ветвей. Ток в источнике ЭДС обозначить , а ток в сопротивленииR₂ обозначить . Для заданной схемы электрической цепи составить уравнения на основании законов Кирхгофа (или на основании метода контурных токов). Ветвь с источником ЭДС целесообразно включить только в один контур. Решить полученную систему уравнений для токов ветвей (контурных токов) и определить комплексные действующие значения токов в ветвях электрической цепи.

5. Записать законы изменения во времени токов ветвей электрической цепи (мгновенные значения токов).

6. Составить для заданной электрической цепи баланс активных мощностей.

7. Выделив в схеме входные и выходные зажимы, изобразить схему электрической цепи в виде пассивного четырёхполюсника, считая входом – зажимы источника ЭДС, а нагрузкой – сопротивлениеR₂, помеченное на схеме стрелкой .

8. Найти коэффициенты четырёхполюсника для А–формы записи уравнения ().

9. На основании полученного уравнения четырёхполюсника в А – форме по найденным коэффициентам (пункт 8) для заданных величин входного напряжения и сопротивления нагрузки рассчитать токи на входе и выходе четырёхполюсникаи. Полученные значения токов сравнить с величинами токов, найденными в пункте 4.

10. Найти параметры физически реализуемой эквивалентной схемы замещения заданного четырёхполюсника (Т – образной или П – образной). Изобразить схему замещения полученного четырёхполюсника с указанием найденных параметров элементов эквивалентной схемы замещения (для фиксированной частоты источника питания).

Таблица 1 – Базовые параметры элементов электрической цепи

Вариант	1	2	3	4		5	6
Em1, B	70,7	141,4	198	99		169	106
e1, град.	60	-30	90	– 45		0	135
Em3 , B	282,8	141,4	99	198	106		169
e3, град.	– 30	120	0	90	45		– 60
Em4 , B	70,7	141,4	99	198	106		169
e4, град.	– 120	90	– 60	135	60		– 45
R10, Ом	15	25	35	30	20		40
L10, мГн	95,5	79,6	111,4	31,8	86		105
C10, мкФ	199	91	79,6	63,7	106		187,2
R20, Ом	40	35	30	25	20		15
L20, мГн	105	51	31,8	95,5	63,6		127,3
C20, мкФ	91	187,2	106	159,2	79,6		212,2
R30, Ом	20	35	50	45	30		25
L30, мГн	63,7	79,6	95,5	44,6	127,3		95,5
C30, мкФ	212,2	127,3	91	159	318,3		144,7
R40, Ом	30	60	50	20	45		35
L40, мГн	44,6	127,3	105	86	31,8		111,4
C40, мкФ	106	127,3	199	187,2	91		318,3
L50, мГн	127,3	86	95,5	105	63,6		79,6
L60, мГн	105	63,6	79,6	127,3	86		95,5
L70, мГн	63,6	79,6	105	111,4	95,5		127,3
К1–5	0,80	0,75	0,70	0,65	0,60		0,55
К3–6	0,55	0,60	0,65	0,70	0,75		0,80
К4–7	0,60	0,50	0,80	0,55	0,65		0,70

Таблица 2 – Переводные коэффициенты для значений параметров элементов электрической цепи

№ цепи	кR	кL	кс	Отсутствуют элементы в схеме	Отсутствуют источники ЭДС в схеме
1	1,00	1,00	1,00	L2 , C2, С4, L6, L7	E1, E4
2	1,10	1,10	0,90	C1, L2 , L4 , L5 , L7	E3, E4
3	0,80	1,00	1,25	L2 , C3 , C4 , L5 , L6	E3, E4
4	1,15	0,95	1,30	C2, R3 , C3 , L6 , L7	E1, E3
5	0,85	1,15	1,20	C2 , R4 , L4, L5, L7	E1, E3
6	1,10	1,20	1,15	C2 , L2, L3, L5, L6	E1, E4
7	1,20	1,10	0,95	L2 , R4 , C4, L6, L7	E1, E4
8	1,25	0,90	1,10	L2 , C3, С4, L5, L7	E3,E4
9	1,30	1,20	0,85	С1,C2 ,L2, L5, L6	E3,E4
10	1,15	1,20	1,00	L2, C3 , С4 , L6, L7	E1,E3
11	1,00	1,20	1,00	C2, С4 ,L2, L5, L7	E1, E3
12	1,20	1,00	1,20	С1,C2, L2, L5, L6	E1, E4
13	0,80	1,00	1,10	L2 ,L3 , С4, L6, L7	E1,E4
14	1,10	0,95	1,30	С1,L2 ,C4, L5, L7	E3,E4
15	1,25	1,10	0,80	C1, L2 , C4, L5, L6	E3, E4
16	0,90	1,30	0,90	C1, L2 , L3, L6, L7	E1, E3
17	1,15	0,90	1,20	C2 , L2 , L4, L5, L7	E1, E3
18	1,25	1,15	1,10	R1 , L1 , L2, L5, L6	E1,E4
19	1,10	1,10	1,20	L2 , R3, C3, L6, L7	E1, E4
20	1,30	1,20	0,90	L2 , R4 , C4, L5, L7	E3, E4
21	0,90	1,25	1,15	C2 , R3 , L3, L5, L6	E3, E4
22	1,10	1,10	1,10	L2,L3 , C3, L6, L7	E1, E3
23	0,90	0,90	0,90	C3 , R4 , С4, L5, L7	E1,E3
24	1,10	1,25	1,15	L2 , L3, C4, L5, L6	E1, E4
25	1,20	1,15	1,20	С1,L2 , L3 , L6, L7	E1, E4
26	1,30	1,20	1,10	L2 , C3 , R3, L5, L7	E3, E4
27	1,25	1,10	1,20	L2 ,C3 , R4 , L5, L6	E3, E4
28	1,00	1,20	0,95	L2 , R3 , С3, L6, L7	E1,E3
29	1,30	1,30	1,00	C2 , L2 , L4, L5, L7	E1, E3
30	1,20	1,20	1,20	L2 , L3 , С4, L5, L6	E1,E4
31	1,15	1,15	1,30	L2 , С4 ,R4, L6, L7	E1, E4
32	1,35	1,25	1,15	C1 , R4 , L4, L5, L7	E3,E4

МЕТОДИЧЕСКИН УКАЗАНИЯ

Комплексные сопротивления индуктивностей и ёмкостей электрической цепи синусоидальному току заданной частоты определятся:

( 1 )

Сопротивление взаимной индуктивности индуктивно–связанных элементов электрической цепи определяется по заданному коэффициенту связи соответствующих элементов цепи и параметрам элементов. Для индуктивно – связанных элементов ветвей электрической цепи “k” и “s” имеем:

( 2 )

При вычерчивании заданной расчётной схемы индивидуального варианта исключаем отсутствующие элементы и источники энергии, а также учитываем магнитную связь между соответствующими элементами при взаимной индуктивности М_k-s путём разметки одноимённых зажимов. Одноимённые зажимы на схеме помечаются значками ( или ). Зажимы двух индуктивно-связанных катушек называют одноимёнными, если при одинаковом направлении токов относительно этих зажимов потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции в каждой катушке действуют согласно (суммируются). Одноимённость зажимов зависит от направления намотки витков катушек и от их взаимного расположения на сердечнике.

Комплексные сопротивление ветвей схемы (без учёта индуктивной связи элементов и сопротивления нагрузки R_нагр. = R₂) запишутся:

(3)

Комплексное действующее значение ЭДС источника энергии в электрической цепи (напряжение на входе четырёхполюсника ):

. ( 4 )

Расчёт электрических цепей, содержащих индуктивно-связанные элементы возможен на основании применения законов Кирхгофа или на основании метода контурных токов.

Заданная электрическая цепь имеет два узла (у = 2) и четыре ветви (в = 4). Тогда по законам Кирхгофа для цепи должно быть составлено четыре уравнения одно уравнение по закону токов Кирхгофа для одного из двух узлов электрической цепи (N₁ = у – 1 = 1) и три уравнения по закону напряжений Кирхгофа для независимых контуров электрической цепи (N₂ = в – у + 1 = 3). По методу контурных токов должно быть составлено три уравнения для неизвестных контурных токов (как и по закону напряжений Кирхгофа N₂): . Контуры целесообразно выбирать таким образом, чтобы ветвь с источником ЭДС входила только в первый контур с током, а ветвь с нагрузкойR₂ – во второй контур с током .

При составлении уравнений по закону напряжений Кирхгофа (по методу контурных токов) к напряжению на индуктивном элементе в ветви “k” от собственного тока (“ плюс” – при совпадении обхода элемента с собственным током) необходимо добавить напряжение взаимной индуктивности от тока, действующего в индуктивно–связанной ветви “s”: (если между этими ветвями есть индуктивная связь, т.е.M_ks  0). При этом напряжение взаимной индукции имеет знак “плюс”, если направление обхода индуктивного элемента в ветви “k” и выбранное положительное направление тока в индуктивно-связанном элементе ветви “s” совпадают относительно одноимённых зажимов этих элементов.

Четырёхполюсник является передаточным звеном между источником энергии и нагрузкой (приёмником). Таким образом, для заданной цепи входом пассивного четырёхполюсника будут зажимы источника ЭДС, а выходом четырёхполюсника – зажимы переменного сопротивления R₂, помеченного на схеме стрелкой ( рисунок 2 ):

Рисунок 2 – Схема четырёхполюсника

Уравнение четырёхполюсника в А – форме записи:

или ( 5 )

Здесь: ,,,– коэффициенты четырёхполюсника (комплексные числа), связанные между собой соотношением:.

Для нахождения коэффициентов заданного четырёхполюсника записанная система четырёх уравнений (по законам Кирхгофа) или система трёх уравнений (по методу контурных токов) должна быть сведена соответствующими подстановками к системе двух уравнений (5). Исключая промежуточные для четырёхполюсника токи , оставляем в уравнениях только ток источникаи ток нагрузки. При этом в системе уравнений для электрической цепи обозначаем (рисунок 2):

, . ( 6 )

Из сравнения полученных двух уравнений для электрической цепи с уравнением четырёхполюсника в А – форме записи ( 5 ) находим коэффициенты заданного реального четырёхполюсника.

Подставляя в уравнение четырёхполюсника в А – форме (5) заданные параметры электрической цепи (и), на основании найденных значения коэффициентов четырёхполюсника, находим электрические токи источника и приёмника:и.

По найденным коэффициентам четырёхполюсника может быть построены Т – образная или П – образная эквивалентные схемы замещения реального четырёхполюсника (рисунок 3). Физически реализуемой будет схема замещения, в которой параметры активной составляющей комплексного сопротивления элементов схемы замещения ( R_i ) положительны (частота питания четырёхполюсника полагается фиксированной и равной: f =50 Гц).

Рисунок 3 – Эквивалентные схемы замещения четырёхполюсника

Для заданного реального четырёхполюсника параметры элементов эквивалентных схем замещения по известным коэффициентам определятся по формулам:

для Т – схемы замещения

, ,; ( 7 )

для П – схемы замещения

, ,. ( 8 )