[ Будылин ] Методическое пособие по высшей математике в третьем семестре с примерами решения типовых задач

3 Поверхностный интеграл 1 рода

3.1Теоретический материал

Простая гладкая поверхность в R3 определяется как множество значений взаимно-однозначной гладкой функции : D ! R3, определенной на некоторой связной жордановой области D R2, при этом считается, что rank 0 = 2. Вектор-функция называется параметризацией поверхности . Координаты на области D называются локальными координатами на поверхности . В координатах поверхность будет описываться равенствами

x = x(u; v) ; y = y(u; v) ; z = z(u; v) ; (u; v) 2 D :

Интеграл от функции f по поверхности определяется равенствами

ZZ

ZZD

q

f dS =

f

det( 0T 0)

ZZD

p

=

f(x(u; v); y(u; v); z(u; v))

EG F 2 dudv ;

где

E = @u@ 2 = @u@x 2 +

@u@y 2 +

@u@z

2 ;

F =

@

@

= @x

@x

+ @y

@y

+ @z

@z

;

@u

@v

@u

@v

@u

@v

@u

@v

G = @v@

2

= @x@v 2 + @y@v 2

+ @v@z 2

:

Имеет место также равенство
	D(y; z) 2	D(z; x)	2	D(x; y)		2
EG F 2	= D(u; v)	+ D(u; v)		+ D(u; v)		:

9

В случае явного задания поверхности z = g(x; y)

		f(x; y; g(x; y))s
ZZ	f dS = ZZD		1 + @x@g 2	+ @y@g 2 dxdy :

Определение интеграла по поверхности не зависит от параметризации. Интеграл обладает свойствами линейности относительно подынтегральной функции и аддитивности относительно поверхности интегрирования. Интеграл от f = 1 по поверхности называется площадью поверхности

S( ) = ZZ dS :

Физический смысл интеграла

M( ) = ZZ dS

— масса поверхности с плотностью . Моменты k-го порядка определяются аналогично со случаем криволинейного интеграла

как интегралы вида

ZZ rk dS :

10

3.2 Примеры решения задач

Задача Найти статический момент части цилиндра x2 +y2 = 2Ry, лежащей между плоскостями z = 0 и z = c, относительно плоскости xz, если плотность = x + z.

Решение. Обозначим поверхность через , а искомый момент через M. Параметризуем поверхность при помощи равенств

x = R cos ' ;		y = R + R sin ' ;			z = z ;		' 2 [0; 2 ); z 2 [0; c] :
Тогда
		@x 2		@y	2		@z		2
	E = @'			+ @'	+		@'		= R2 ;
	F = @'@x @x@z + @'@y				@y@z + @'@z @z@z = 0 ;
	G = @x@z 2 + @y@z 2 + @z@z 2 = 1 ;
откуда
M = ZZ	y(x + z) dS
	ZZ
=		(R + R sin ')(R cos ' + z) EG F 2 d'dz
[0;2 ] [0;c]							p
		2				c
	= R2 Z0		d'(1 + sin ') Z0			(R cos ' + z) dz
			2						c2
		= R2 Z0
				(1 + sin ') Rc cos ' + 2 d' = R2c2 :

11

Задача Найти координаты центра масс однородной полусферы x2 + y2 + z2 = R2 ; z > 0.

Решение. Обозначим полусферу через , плотность через , а искомые координаты через x0; y0; z0. Масса , очевидно, равна M = S( ) = 2 R2 . Из соображений симметрии x0 = y0 = 0. Введем параметризацию полусферы

x = R cos ' sin ; y = R sin ' sin ; z = R cos ;

где ' 2 [0; 2 );

E =

F =

G =

откуда

2 [0; =2]: Тогда
@x	2	@y	2		@z	2
@'		+ @'		+ @' = R2 sin2 ;
@x	@x	@y @y			@z	@z
@'	@	+ @' @		+	@' @		= 0 ;
@x	2	@y	2		@z	2
@		+ @	+ @ = R2 ;

1

ZZ

1

ZZ

z0 =

z dS =

R cos R4 sin2

d'd

M

2 R2

[0;2 ]

[0; =2]

p

=2

R 2

R

=

Z0

d' Z0

sin cos d =

:

2

2

Задача Найти момент инерции однородного параболоида x2+y2 = 2cz ; 0 6 z 6 c, плотности относительно оси OZ.

12

Решение. Обозначим параболоид через , момент через M. Тогда

M = ZZ

(x2 + y2) dS

(x2 + y2)s

=

ZZ

1 +

@x@z

2 +

@y@z

2 dxdy

2

2

2

jx

+y

j62c

x2 + y2

=

ZZ

(x2 + y2)

1 +

c2

dxdy

r

2

2

j62c

2

jx

+y

2c2

r2

4

(1 + 6p3)c4 :

= ZZ

r2r1 + c2

rdrd' =

c

Z0

t

c2

+ t dt =

15

p

r6p2c

13

4Дифференциальные формы

4.1 Теоретический материал

4.1.1Формы и их внешнее произведение

Внешняя k-форма в Rn это функция k векторных аргументов h1; : : : hk, линейно зависящая от каждого аргумента и антисимметричная. Последнее означает, что k-форма обращается в ноль всякий раз, когда какие-либо два ее аргумента совпадают. В условиях полилинейности это означает, что k-форма меняет знак при перестановке местами двух аргументов. Множество внешних k- форм образует линейное пространство с базисом из форм

dxi1 ^ dxi2 ^ : : : ^ dxik ;			i1 < i2 < : : : < ik :
Последние определяются равенствами
dxi1^: : :^dxik (ej1; : : : ejk ) =	(1 ;	если	i1 = j1 ; : : : ik = jk ;
	0;	в остальных случаях при j1 < : : : < jk ;

где (e1; : : : en) — базис в Rn. Дифференциальные k-формы это функции точки x 2 Rn, принимающие значения в пространстве внешних k-форм. Таким образом, дифференциальная k-форма ! это внешняя форма

! =	X	fi1	:::ik dxi1	^ : : : ^ dxik
	i1<:::<ik

с функциональными коэффициентами fi1:::ik , зависящими от x. Если 1 ; : : : k — 1-формы, через 1 ^ : : : ^ k обозначается k-форма, определенная равенством

1 ^ : : : ^ k(h1; : : : hk) = det( i(hj)) :

Такие формы называются мономами. По определению полагают

( 1 ^ : : : ^ k) ^ ( 1 ^ : : : ^ m) = 1 ^ : : : ^ k ^ 1 ^ : : : ^ m :

14

По линейности операция внешнего произведения ^ распространяется на произвольные формы, при этом

^ = ( 1)km ^ ;

где и , соответственно, k и m-формы.

4.1.2 Дифференцирование форм

Если ! = f — 0-форма, т.е. функция, то ее внешний дифференциал есть 1-форма

n @f

df = Xi=1 @xi dxi :

В общем случае внешний дифференциал d формы ! определяется равенствами

	X		X
d! = d	i1<:::<ik fi1	:::ik dxi1	^ : : : ^ dxik ! = i1<:::<ik dfi1	:::ik ^dxi1	^: : :^dxik :

Имеют место соотношения

dd! = 0 (лемма Пуанкаре)

и

d( ^ ) = (d ) ^ + ( 1)k ^ d

(правило Лейбница) ;

здесь — k-форма.

Форма {v! получается из формы ! при замораживании ее первого векторного аргумента на значении v. Таким образом, в случае монома,

k

{v( 1 ^ : : : ^ k) = X( 1)j+1 j(v) 1 ^ : : : j 1 ^ j+1 ^ : : : ^ k

j=1

15

(разложение Лапласа). Операция {v называется внутренним умножением формы на вектор v. Она подчиняется правилу Лейбница

{v( ^ ) = ({v ) ^ + ( 1)k ^ ({v ) ;

где — k-форма. (n 1)-форма {v , где = dx1 ^ : : : ^ dxn, называется формой потока вектора v.

Операция Lv = d{v + {vd подчиняется правилу Лейбница

Lv( ^ ) = (Lv ) ^ + ^ (Lv ) ;

перестановочна с внешним дифференциалом dLv = Lvd и называется производной Ли формы.

4.1.3 Замена переменных

Если — гладкое отображение Rm ! Rn, определенное равенствами xi = xi(u1; : : : um) ; i = 1; : : : n или, кратко, x = (u), то

		m	@xi
f = f ;	dxi =	X	@uj	duj ;	( ^ ) = ( ) ^ ( ) :
		j=1

Если отображение обратимо, то операцию называют заменой переменных в форме. В противном будем говорить о сужении формы на поверхность, параметрически определенную отображением. Имеет место равенство

d! = d ! :

Если — преобразование в Rn и = dx1 ^ : : : ^ dxn, то

= det 0 :

Если отображение t определяет эволюцию системы со скоростью v(x; t), т.е. функция x(t) = tx является решением дифференциального уравнения

ddtx = v(x; t) ;

16

то имеет силу формула Картана

	d	! =		L	v! :
	dt
		t	t

4.1.4 Точные и замкнутые формы

Форма ! точна, если ! = d . Форма при этом называется потенциалом или первообразной формы !. В силу леммы Пуанкаре потенциал определен не однозначно, а лишь с точностью до точной формы. Форма ! называется замкнутой, если d! = 0. Замкнутая форма не обязана быть точной. Но если отображение t при изменении параметра t от t = 1 до t = 0 стягивает область G в точку x0, то для замкнутой в G формы ! получаем представление

! = !

!

=

1 d

! dt =

1 (d{v + {vd)! dt

1

0

Z0

dt

t

Z0

t

1

= d

0Z0

{v! dt

1

= d ;

v( tx; t) =

d

tx :

t

dt

@

A

В частности, замкнутая форма ! локально точна (теорема Пуанка-

ре). В окрестности нуля потенциал замкнутой k-формы

! =

i1<:::<ik

fi1:::ik (x) dxi1 ^ : : : ^ dxik

X

может быть построен по формуле

1

k

=

dt

fi1:::ik (tx)tk 1

( 1)j+1xij dxi1 ^ : : :

Z0

i1

<:::<ik

j=1

X

X

^ dxij 1 ^ dxij+1 ^ : : : ^ dxik :

17

4.2 Примеры решения задач

Задача Найти значение формы ! = 2y dx + x2 dy dz в точке x(2; 1; 10) на векторе h = (1; 2; 3).

Решение.

!x(h) = 2( 1) 1 + 22( 2) 3 = 13 :

Задача Пусть = x dx + y dz z dy ; = y dx + z dy + x dz. Найти
значение формы ^		в точке x(1; 3; 2) на векторах h = (1; 1; 1)
и k = (1; 0; 1).
Решение.
x(h) = 1 1 + 3		1 ( 2)	1 = 6 ;				x(k) = 2 ;
x(h) = 3 1 + ( 2) 1 + 1 1 = 2 ;							x(k) = 2 ;
откуда
(	^	)x(h; k) =		6	2		= 16 :
				2	2
Задача Найти ^ , где = x dx+y dz z dy ; = y dx+z dy+x dz.

Решение.

^ = (x dx + y dz z dy) ^ (y dx + z dy + x dz)

=xz dx^dy+x2 dx^dz+y2 dz^dx+yz dz^dy zy dy^dx zx dy^dz

=z(x + y) dy ^ dz + (y2 x2) dz ^ dx + z(x + y) dx ^ dy :

18