[ Будылин ] Методическое пособие по высшей математике в третьем семестре с примерами решения типовых задач

Задача Найти ^ , где = 2dx y2 dz ; = dy ^ dz + xdx ^ dy.

Решение.

^ = (2 dx y2 dz)^(dy^dz+xdx^dy) = 2 dx^dy^dz xy2 dz^dx^dy = (2 xy2) dx ^ dy ^ dz :

Задача В шестимерном фазовом пространстве координат и импульсов (q; p) рассмотреть 1-форму Пуанкаре ! = p1 dq1 + p2 dq2 + p3 dq3. Найти (d!) ^ (d!) ^ (d!).

Решение. В силу перестановочности 2-форм

(d!) ^ (d!) ^ (d!) = (dp1 ^ dq1 + dp2 ^ dq2 + dp3 ^ dq3) ^ (dp1 ^ dq1 + dp2 ^ dq2 + dp3 ^ dq3)

^ (dp1 ^ dq1 + dp2 ^ dq2 + dp3 ^ dq3) = 6 dp1 ^ dq1 ^ dp2 ^ dq2 ^ dp3 ^ dq3

= ( 1)1+2+36 dq1 ^ dq2 ^ dq3 ^ dp1 ^ dp2 ^ dp3

= 6 dq1 ^ dq2 ^ dq3 ^ dp1 ^ dp2 ^ dp3 :

Задача Найти d!, если ! = 2x2 dx + x dy y3 dz.

Решение.

d! = dx ^ dy 3y2 dy ^ dz :

Задача Найти форму потока вектора v = (x; y).

Решение.

{v = {v(dx ^ dy) = x dy y dx :

19

Задача Найти форму потока вектора v = (1; y2; z2).

Решение.

{v = {v(dx ^ dy ^ dz) = dy ^ dz ( y2) dx ^ dz + z2 dx ^ dy

= dy ^ dz y2 dz ^ dx + z2dx ^ dy :

Задача Сделать замену переменных

x = r cos ' ; y = r sin ' ; z = z

в форме ! = z dx ^ dy (x2 + y2) dx ^ dz.

Решение. Обозначим данное преобразование через . Тогда

r sin ' d') ^ (sin ' dr + r cos ' d')

r2(cos ' dr r sin ' d') ^ dz

=z(r cos2 ' dr^d' r sin2 ' d'^dr) r2 cos ' dr^dz+r3 sin ' d'^dz

=zr dr ^ d' + r2 cos ' dz ^ dr + r3 sin ' d' ^ dz :

Задача Сузить форму потока вектора v = (y; x; 1) на поверх-

ность

x = 2uv ; y = u2 v2 ; z = u + v + 1 :

Решение. Обозначим параметризацию поверхности через . Тогда

^dz x dz ^ dx + dx ^ dy)

=(u2 v2) (2u du 2v dv) ^ (du + dv)

2uv (du + dv) ^ (2v du + 2u dv) + (2v du + 2u dv) ^ (2u du 2v dv)

=(u2 v2) 2(u+ v) du ^dv 2uv 2(u v) du ^dv 4(u2 + v2) du ^dv

=2(u2 + v2)(u v 2) du ^ dv :

20

Задача Найти скорость изменения формы потока вектора b = (x; 1) на траекториях системы

x0 = x + y ; y0 = x

в начальный момент времени.

Решение. Форма потока вектора b равна ! = {b(dx^dy) = x dy dx. Введем вектор v = (x + y; x) фазового потока t, определяющего эволюцию системы. Производная Ли формы ! по вектору v равна

Lv! = (d{v + {vd)(x dy dx)
= d( x2 (x+y))+{v (dx^dy)) = 2x dx dx							dy+(x+y) dy+x dx
						= (x + 1) dx + (x + y 1) dy :
Поскольку 0 = I, по формуле Картана
	d	!			=	v! = (x + 1) dx + (x + y			1) dy :
	dt t			t=0	0L

Задача Проверить, что форма ! = 2zx dx + 2zy dy + (x2 + y2) dz замкнута и найти ее потенциал.

Решение.

d! = 2x dz ^ dx + 2y dz ^ dy + 2x dx ^ dz + 2y dy ^ dz = 0 ;

что доказывает замкнутость формы. Найдем ее потенциал:

= Z1 dt[2tz tx x + 2tz ty y + ((tx)2 + (ty)2)z] = z(x2 + y2) :

0

21

Задача Проверить, что форма ! = 2z dy^dz x dz^dx+xy dx^dy замкнута и найти ее потенциал.

Решение. Замкнутость очевидна:

d! = 2 dz ^dy ^dz dx ^dz ^dx + y dx ^dx ^dy + x dy ^dx ^dy = 0 :

Потенциал найдем по формуле Пуанкаре

= Z1 dt t[2tz(y dz z dy) tx(z dx x dz) + t2xy(x dy y dx)]

0

=23 zy dz 23 z2 dy 13 xz dx + 13x2 dz + 14x2y dy 14 xy2 dx

=x 14 y2 + 13 z dx + 14 x2y 23 z2 dy + 13 x2 + 23 yz dz :

22

5Криволинейный интеграл 2 рода

5.1 Теоретический материал

Пусть — ориентированная кривая в Rn с параметризацией(t) ; t 2 [a; b]. Соответствующий единичный касательный вектор обозначим через . Пусть F — векторное поле, определенное в точках кривой . Криволинейный интеграл 1 рода вида

Z F dl;

где F — стандартное скалярное произведение векторов в Rn, называют криволинейным интегралом 2 рода. Ввиду j 0j = 0,

Z

b

b

n

Za

dl =

0

Za X

Fi(x1

(t); : : : xn(t))

x0

(t) dt ;

F

F( (t))

(t) dt =

i=1

i

где F = (F1; : : : Fn) и = (x1; : : : xn). Последний интеграл записывают кратко как

n		Z
Z X	Fi dxi =			dl ;	dl = (dx1; : : : dxn) ;
		F
i=1

и называют интегралом от 1-формы ! = PFi dxi по кривой . Равенство

Z F dl = Z F dl

характеризуют как связь криволинейных интегралов 2-го и 1-го рода. Интеграл 2-го рода зависит от ориентации кривой: при смене ориентации ( ! ) он меняет знак. При фиксированной ориентации интеграл 2-го рода от параметризации не зависит.

23

Физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода

Z F dl

— работа силы F при перемещении вдоль пути . Интеграл по замкнутой кривой обозначают через

I F dl

и называют циркуляцией поля F по ориентированной кривой .

24

5.2 Примеры решения задач

Задача Найти работу поля F = 2xy~i + y2~j x2~k вдоль кривой x2 + y2 2z2 = 2 ; y = x ;

от точки A(1; 1; 0) до точки B(p2; p2; 1).

Решение. Исключая из уравнений переменную y, придем к равенству x2 z2 = 1. Это означает, что кривая может быть параметризована равенствами

x = 1 + t2 ; y = 1 + t2 ; z = t ;

t 2 [0; 1]:

Тогда искомаяpработа W равнаp

W = Z

F dl = Z

2xy dx + y2 dy x2 dz

Z0

1

t

t

=

2(1 + t2)

p

+ (1 + t2)

p

(1 + t2)

dt

1 + t2

1 + t2

t3

1

7

= (1 + t2)3=2 t 3

0= 2p2 3

:

Отметим, что несколько более рационально было бы отдельно вы-

числить интеграл R 2xy dx + y2 dy, выбирая в качестве параметра
x:	p
		2
Z	Z1			p2
						= 2p2
2xy dx + y2 dy =		3x2 dx = x3							1 :
				1

Оставшийся же интеграл R x2 dz удобно вычислять с описанной выше параметризацией:

		1
Z	x2 dz = Z0	4
		(1 + t2) dt = 3	:

25

Полный ответ получается суммированием.

Задача Найти циркуляцию поля F = xy~i + yz~j + xz~k на контуре

x2 + y2 = 1 ; x + y + z = 1 ;

положительно ориентированном на верхней стороне плоскости.

Решение. Параметризация, согласованная с требуемой ориентацией имеет, например, вид

x = cos ' ; y = sin ' ; z = 1 cos ' sin ' ; ' 2 [0; 2 ]:

Тогда

Z	2
	xy dx + yz dy + xz dz = Z0	[cos ' sin ' ( cos ')

+sin ' (1 cos ' sin ') cos '

+cos ' (1 cos ' sin ') (sin ' cos ')] d' = :

26

6 Поверхностные интегралы 2 рода

6.1 Теоретический материал

Базисы в Rn относят к одной и той же ориентации, если матрица перехода от одного базиса к другому имеет положительный определитель. Этим условием все базисы в Rn делятся на два класса, каждый из которых и называется ориентацией Rn. Ориентация в Rn может быть задана гладкой нетривиальной n- формой (формой объема). Стандартная ориентация в Rn с координатами x1; : : : xn определяется заданием стандартной формы объема

= dx1 ^ : : : ^ dxn.

Ориентация поверхности с параметризацией : Rk ! Rn, определяется ориентацией пространства локальных координат Rk. Эта ориентация может быть также определена как непрерывная ориентация касательных пространств к поверхности (т.е. посредством задания базиса касательных векторов, непрерывно зависящего от точки поверхности). В случае гиперповерхности ориентация может быть задана при помощи трансверсальной ориентации, т.е. посредством непрерывной ориентации нормалей к гиперповерхности, с одновременным заданием ориентации объемлющего пространства. Именно, гладкое нормальное векторное поле n определяет ориентацию гиперповерхности с касательным базисом1; : : : n 1, если вектора n; 1; : : : n 1 определяют ориентацию Rn.

Интеграл от n-формы ! = f по множеству D в стандартно ориентированном пространстве Rn с формой объема = dx1 ^: : : ^ dxn определяется равенством

Z ! = Z f = Z f(x1; : : : xn) dx1 : : : dxn :

D D D

При изменении ориентации ( ! ) интеграл меняет знак. Интеграл от k-формы ! по ориентированной k-мерной поверх-

27

ности с параметризацией : Rk ! Rn определяется равенством

Z ! = Z ! ; = (D) :

D

Интеграл от формы {F по гиперповерхности называется потоком вектора F через поверхности . В трехмерном случае

ZZ {F = ZZ F dS = ZZ P dy ^ dz + Q dz ^ dx + R dx ^ dy ;

где F = (P; Q; R); dS = (dy ^ dz; dz ^ dx; dx ^ dy). Равенство

ZZ F dS = ZZ F n dS ;

где n — вектор единичной нормали, согласованный с ориентацией поверхности , устанавливает связь поверхностных интегралов 2- го и 1-го родов.

Физический смысл интеграла

ZZ v dS

— количество жидкости, протекающей через со скоростью v в единицу времени.

28