[ Будылин ] Методическое пособие по высшей математике в третьем семестре с примерами решения типовых задач

6.2 Примеры решения задач

Задача Найти поток вектора F = (x2 + y2 + z2)~i через [боковую] поверхность конуса y = px2 + z2 ; 0 6 y 6 h, ориентированную внешней нормалью.

Решение. В качестве локальных координат на конусе можно было бы выбрать x и z. Согласование с заданной ориентацией диктует именно этот порядок локальных координат: (x; z) (вектор внешней нормали составляет с осью y тупой угол). Более удобно сразу воспользоваться переходом к полярным координатам. Таким образом, приходим к следующей параметризация поверхности

x = r cos ' ; y = r ; z = r sin ' ;

r 2 [0:h]; ' 2 [0; 2 ) ;

с ориентацией, определенной порядком (r; ') локальных координат (ввиду, например, равенства dx ^dz = r dr ^d' и положительности r). Тогда, искомый поток равен

ZZ (x2 + y2 + z2) dz ^ dx = ZZ		2r2 r dr ^ d'
	[0;h] [0;2 ]
= ZZ	2r3 drd' = 2 Z2 d' Zh r3 dr = h4 :
[0;h] [0;2 ]		0	0

Задача Найти поверхностный интеграл

dy ^ dz + dz ^ dx + dx ^ dy ;
ZZ		y	z
x
где — поверхность эллипсоида
x2	y2	z2
a2 + b2 + c2 = 1 ;

ориентированная внешней нормалью.

29

Решение. Параметризуем поверхность эллипсоида равенствами

x = a cos ' sin ; y = b sin ' sin ; z = c cos ;

' 2 [0; 2 ) ; 2 [0; ] : Ориентация внешней нормалью приводит к следующему порядку локальных координат: ( ; '). Обозначая параметризацию через , найдем сужение базисных форм на поверхность эллипсоида:

(dy ^ dz) = bc(cos ' sin d' + sin ' cos d ) ^ ( sin )d

= bc sin2 cos ' d ^ d'

(dz ^ dx) = ac( sin )d ^ ( sin ' sin d' + cos ' cos d ) = ac sin2 sin ' d ^ d'

(dx ^ dy) = ab( sin ' sin d' + cos ' cos d ) ^ (cos ' sin d' + sin ' cos d )

= ab cos sin d ^ d' :

Тогда

dy ^ dz + dz ^ dx + dx ^ dy
ZZ
x		y		z
=	ZZ		bca sin + acb sin + abc sin d ^ d'
[0;] [0;2 ]				sin d d' = bca + acb + abc Z sin d Z2 d'
= bca + acb	+ abc		ZZ
	[0;] [0;2 ]			0	0
				= 4 bca + acb + abc :

30

7Геометрия поверхностей

7.1 Теоретический материал

Первая квадратичная форма g поверхности это функция, вычисляющая квадрат длины касательного вектора v к поверхности

g(v) = jvj2 :

Если u = @r ; v = @r — базис касательных векторов, отвечающих

@u @v

локальным координатам u; v на поверхности (r — радиус-вектор точки поверхности), то

g = dl2 = E du2 + 2F dudv + G dv2 ;

где du; dv — дуальный базис координатных 1-форм и

E = j uj2 ; F = u v ; G = j vj2 :

Матрица

g = E F F G

называется метрическим тензором поверхности .

Если — единичный вектор нормали к поверхности, то его производная Dv по касательному вектору v снова будет касательным вектором к поверхности. Отображение касательных векторов

L : v 7! Dv

называется отображением Вейнгартена. Это отображение симметрично

Квадратичная форма	L(v) w = v L(w) :

b(v) = L(v) v

называется второй квадратичной формой поверхности . В коорди-

натном виде

b = L du2 + 2M dudv + Ndv2 ;

31

где

	@2r			@2r			@2r
L =	@u2	;	M =			N =	@v2	:
				@u@v

Величина

{(v) = b(v) g(v)

называется нормальной кривизной поверхности в направлении касательного вектора v.

Собственные векторы отображения Вейнгартена называются главными направлениями на поверхности. Нормальные кривизны в главных направлениях совпадают с соответствующими собственными значениями отображения Вейнгартена и называются главными кривизнами. След отображения Вейнгартена, равный сумме главных кривизн, называется средней кривизной, а определитель отображения Вейнгартена, равный произведению главных кривизн, называется полной или Гауссовой кривизной. При этом

H = tr	L	=	GL 2FM + EN	;	K = det	L	=	LN M2	:
			EG F 2					EG F 2

В случае полугеодезических координат, то есть ровно тех, в которых первая квадратичная форма поверхности имеет вид

dl2 = du2 + G dv2

полная кривизна может быть вычислена по формуле

(pG)00

K = pGuu :

7.2Примеры решения задач

Задача Найти первую и вторую квадратичные формы поверхности z = 2xy. Вычислить ее среднюю и гауссову кривизну в точке

(0; 0; 0).

Решение:

32

Вычислим, далее:

В качестве локальных координат

(x; y):	1
= 0 y
x
2xy
Находим касательные вектора:@	A

на поверхности выбираем

:

x = @x@	1	@y@	0
	= 0 0 1 ; y =		= 0 1 1 :
Тогда	@2yA		@2xA
E = x2 = 1 + 4y2 ;	F = x y = 4xy ;		G = y2 = 1 + 4x2

и первая квадратичнсая форма определена равенством dl2 = E dx2 + 2F dxdy + G dy2 :

@2

~

@2

0

@2

~

= 001 ;

@x2

= 0 ;

@x@y

@y2 = 0 :

@2A

Найдем единичный нормальный вектор к поверхности:

~n =

x

y

=

(

2y; 2x; 1)

:

y

j

x

j

1 + 4x2 + 4y2

Тогда

p

L =

@2

~n = 0 ; M =

@2

~n =

2

;

@x2

@x@y

p1 + 4x

2

+ 4y

2

@2

N =

@x2

~n = 0 :

33

и вторая квадратичная форма определена равенством

b= L dx2 + 2M dxdy + N dy2 :

Вточке (0; 0; 0) матрица метрического тензора равна

g = F	G = 0		1 :
E	F	1	0

Тогда матрица отображения Вейнгартена равна

L M	0	2
L = g 1 M N	= 2	0 :

Средняя и полная кривизны в этой точке, соответственно, равны

H = trL = 0 ; K = det L = 4 :

Задача Найти первую и вторую квадратичные формы поверхности. Вычислить ее полную (гауссову) кривизну.

r = u~(v) ;

где v — естественный параметр на кривой r = ~(v).

Решение:

Находим касательные векторы:

u = ~ ; v = u~ 0 = u~ ;

где ~ — единичный касательный вектор к кривой ~. Тогда

E = 2 ; F = u~ ~ ; G = u2 ;

где = j~j. Далее,

@2r	~	@2r		@2r	= u~ 0 = uk~ ;
@u2	= 0 ;	@u@v	= ~ ;	@v2

34

где k и ~ — кривизна и вектор главной нормали к кривой ~. Найдем единичный нормальный вектор к поверхности:

Тогда

L = 0 ;

Полная кривизна

~n =		u v			=	~ ~		:
	j u vj					j~ ~j
M =		~~~			= 0;		N =		uk~~~	:
			j~ ~j					j~ ~j
K = LN M2							= 0 :
			EG F 2

Задача Найти полную (гауссову) кривизну поверхности с первой квадратичной формой

dl2 = 4u2 du2 + (1 + u2) dv2 :

Решение:

Если

dl2 = du2 + G(u; v) dv2 ;

то, полная кривизна равна может быть вычислена по формуле

(pG)00

K = pGuu :

Чтобы воспользоваться этой формулой сделаем замену в локальных координатах: w = u2, тогда

dl2 = dw2 + (1 + w) dv2 :

Следовательно,

K =	1	=	1		:
	4(1 + w)2		4(1 + u2)2

35