Тема 4. Отражение и преломление света.

Отражение света и стоячие волны.

Узлы и пучности стоячей волны.

Потеря полуволны при отражении света от зеркала.

Продольные и поперечные моды лазера.

Индекс моды — число узлов стоячей волны.

Индекс продольной моды. Индексы поперечных мод. Изменение частот продольных мод при изменении длины резонатора лазера.

Пленка Троицкого.

Селекция продольных мод лазера осуществляется установкой пленки Троицкого в узел продольной моды.

Закон Снеллиуса (закон преломления) и закон отражения света.

Пусть граница двух сред находится в плоскости x,y, а свет падает на границу в плоскостиx,z.

Три световые волны обозначим индексами: i(input) — падающая волна,r(reflect) — отраженная,t(transpierce— пронзать насквозь) — прошедшая волна. Введем обозначения:— угол падения (между нормалью к границе и лучом),— угол отражения,— угол преломления.

Граничные условия для электрического и магнитного полей должны выполняться в каждой точке границы двух сред. Для этого необходимо, чтобы все три волны имели на границе одинаковую пространственную частоту. Тогда .

для каждой из трех волн. Откуда получаем.

Подставим в равенство вместо величины его значение, сократим равенство наи получим, гдеи— показатели преломления двух сред. С учетом того, что, получим

— угол падения равен углу отражения или закон отражения.

Обозначим ии получим закон преломления или закон Снеллиуса:

Формулы Френеля для амплитудных коэффициентов отражения и пропускания света.

Амплитуды отраженной и преломленной волн можно найти из граничных условий для полей EиB:.

Часть граничных условий удобно заменить учетом ортогональности световых волн и учетом закона отражения и закона преломления.

Далее удобно рассмотреть раздельно вариант поляризации света в плоскости падения и вариант поляризации перпендикулярной плоскости падения.

Для поляризации в плоскости падения рассмотрим первое уравнение системы, в котором нормальная составляющая поля находится умножением на синус угла между лучом и нормалью к границе:

Разделим это уравнение на и получим. Что с учетомперепишем в виде.

Для нахождения амплитуд отраженной и преломленнойволн нужно еще одно уравнение. Рассмотрим второе уравнение системы, где проекция поля на горизонтальное направление получается умножением напряженности поля на косинус угла:

Решая два уравнения с двумя неизвестными, находим

Обычно в этих выражениях пренебрегают отличием магнитной проницаемости среды от единицы (). Окончательно для амплитудных коэффициентов отраженияи пропусканияполучаем следующие выражения

— это формулы Френеля для поляризации света в плоскости падения.

Для поляризации света перпендикулярной плоскости падения из граничных условий с учетом соотношенияполучаем пару уравнений для амплитуд отраженной и преломленной волн:.

Решая уравнения, находим и, заменяя, получаем

— формулы Френеля для поляризации света перпендикулярной плоскости падения.

Угол Брюстера и брюстеровские окна лазерных трубок.

=>=>

=>=>

Окончательно получаем, где— угол Брюстера, для которого.

Коэффициенты отражения и пропускания света по энергии.

— интенсивность света.

— энергетический коэффициент отражения

— энергетический коэффициент пропускания

Окончательно получаем:

Потеря полуволны при отражении от оптически более плотной среды ().

Рассмотрим нормальное падение света на границу раздела двух сред, тогда =>при условии отражения от оптически более плотной среды.

Отраженная волна имеет отрицательную амплитуду, но , следовательно, можно сказать, что отраженная волна сдвинута по фазе на.

— сдвиг фазы наэквивалентен изменению длины пути на, что эквивалентно потери полуволны.

Рассмотрев графики зависимостей отиот, можно сделать вывод, о противофазности отраженной и падающей волн при отражении света от оптически более плотной среды при любом угле падения и любой поляризации света.

Отражение радиоволн от поверхности проводника.

Излучение диполя и диполя-изображения.

При скользящем падении излучения на зеркальную поверхность в случае, когда плоскость поляризации совпадает с плоскостью падения, радиоволны отражаются в фазе с падающей волной, а световые волны — в противофазе.

Отражение света при скользящем падении. Зеркало рентгеновского телескопа.

При скользящем падении света =>=>

=>=>для любой поляризации при скользящем падении света.

Полное внутреннее отражение и неоднородная волна.

Закон Снеллиуса не имеет решения относительнопри условии. Это и есть полное внутреннее отражение. Волна под границей раздела сред все же есть, так как иначе не удовлетворить граничным условиям для полейEиB.

Пространственная частота трех волн на границе раздела сред должна быть одинаковой, иначе не удовлетворить граничным условиям сразу во всех точках границы. Пусть ось zперпендикулярна границе и световая волна падает в плоскостиx,z. Тогда. Но изследует, откуда

Рассмотрим комплексное выражение для плоской волны под границей раздела сред и подставим в него полученные выражения для и.

, здесь— амплитуда неоднородной плоской волны. Знак в показателе экспоненты выбран так, чтобы амплитуда убывала при удалении от границы раздела сред.

Экспериментальное наблюдение неоднородной плоской волны.

Люминесценция — любое нетепловое свечение,

хемилюминесценция — свечение в результате химической реакции,

электролюминесценция — свечение под действием электротока,

фотолюминесценция — свечение после освещения внешним источником света, иногда на другой частоте,

флюоресценция — кратковременная фотолюминесценция,

фосфоресценция — долговременная фотолюминесценция.

Фазовый сдвиг при полном внутреннем отражении.

При полном внутреннем отражении нет вещественного решения уравнения Снеллиуса относительно угла преломления, но комплексное решение есть:

Это значение косинуса угла преломления можно подставить в формулы Френеля и получить комплексные выражения для амплитудных коэффициентов отражения двух поляризаций света: ,.

Заметим, что при полном внутреннем отражении отражается вся энергия: .

— сдвиг фаз между двумя линейными поляризациями отраженных волн.

Параллелепипед Френеля.

За два полных внутренних отражения можно набрать сдвиг фаз , что позволяет получить циркулярно поляризованный свет из света линейной поляризации.

Полное внутреннее отражение в 45⁰-ой стеклянной призме. Условие отражения без потерь.

Для полного внутреннего отражения без потерь поверхность должна быть чистой.

Уголковый отражатель. Измерение расстояния от Земли до Луны.

Уголковый отражатель — три взаимно перпендикулярные зеркальные плоскости, образующие внутренность угла куба.

Уголковый отражатель забросили на Луну. Измеряют время распространения светового импульса туда и обратно.

Оптический контакт. Светоделительный куб.

Если расстояние между двумя кусками одного и того же материала заметно меньше , то эта граница не отражает свет. Это и есть оптический контакт.

В светоделительном кубе расстояние между двумя стеклянными призмами подбирают так, чтобы половина света отражалась от границы двух призм и половина проходила сквозь границу.

-Тема 5. Кристаллооптика.

Факультативно. Механизм замедления света в среде.

Свет, проходя через среду, раскачивает электрические диполи атомов. Излучение диполей складывается с проходящей мимо световой волной, в результате сложения получается волна с измененной фазой. Изменение фазы относительно волны в вакууме означает другую фазовую скорость света в среде. В анизотропной среде для разных направлений вектора различается величина наведенного электрического диполя и изменение фазы световой волны. В результате оказывается, что скорость света в кристалле зависит не от направления луча, а от направления векторав световой волне.

Факультативно. Главные диэлектрические оси кристалла.

По определению вектора электрической индукции , где— поляризация среды или объемная плотность дипольного момента. Если дипольные моменты пропорциональны полю, то и векторпропорционален. Для анизотропной среды коэффициент пропорциональности является симметричной матрицей.

или, где— условие симметричности матрицы.

Поворотом системы координат симметричную матрицу всегда можно привести к диагональному виду: .

Оси, в которых матрица — диагональная называются главными диэлектрическими осями кристалла. Не путать с осями кристалла, о которых речь пойдет ниже.

Факультативно. Аналог волнового уравнения в кристалле.

=>

, но

, тогда

Направления векторов , , , , , плоской световой волны в кристалле.

Для любой плоской волны получаем. Тогда уравнения Максвелламожно записать в виде, откуда получаеми, учитываядля вектора Пойнтинга, из трех последних равенств системы и равенства для вектора Пойнтинга получаем. Кроме того, изполучаем. Следовательно, тройка векторов,,— взаимно ортогональна и тройка векторов,,— взаимно ортогональна.

Тогда векторы ,,,ортогональны вектору, а угол между векторамииравен углу между векторамии.

Лучевая и фазовая скорости световой волны в кристалле.

Обе скорости являются аналогом фазовой скорости света в изотропной среде. Лучевая скорость световой волны в кристалле определяется направлением распространения энергии и совпадает с направлением вектора Пойнтинга, где— объемная плотность энергии электромагнитного поля световой волны.

Фазовая скорость световой волны — скорость движения поверхности с постоянным значением фазы.— фаза любой волны. Выберем осьzв направлении векторасветовой волны., тогдаи уравнение постоянной фазы примет следующий вид. Продифференцируем это уравнение по времени и получим, откуда. Окончательно для фазовой скорости

и.

Рассматривая перемещение поверхности равных фаз можно получить

, где— угол между векторамии, и он же угол между векторамии.

Факультативно. Величина лучевой и фазовой скорости в простейшем случае.

Простейший случай — это когда направление вектора световой волны совпадает с одной из главных диэлектрических осей кристалла (пусть с осьюx). В главных диэлектрических осях связь векторовивыглядит достаточно просто. Откуда получаем. Если векторнаправлен вдоль осиx, то, откуда вектортоже имеет только составляющую. Следовательно, в рассматриваемом случае векторыисонаправлены и кристаллическая среда ведет себя аналогично изотропной среды. Величина лучевой скорости в кристалле всегда зависит только от направления вектора, а не от направления света. Тогда— лучевая и фазовая скорости совпадают по величине и направлению (угол между лучевой и фазовой скоростями равен углу между векторамии, который равен нулю).

Фазовая пластинка.

Рассмотрим случай, когда свет распространяется вдоль одной из главных диэлектрических осей кристалла. Пусть . Поскольку, векторлежит в плоскостиx,y. Разложим векторна составляющие вдоль осейxиy. Каждая из двух составляющих будет иметь вектор, направленный вдоль главной диэлектрической оси кристалла. Следовательно, каждая из двух составляющих поля будет иметь свою лучевую скорость, совпадающую с фазовой скоростью,. Для этих двух лучей показатели преломления не равны— двулучепреломление.

Фазовая пластинка — плоско параллельная кристаллическая пластинка, у которой две главные диэлектрические оси с различающимися диэлектрическими проницаемостями лежат в плоскости пластины.

Пластинки и .

Фазовая пластинка с оптической разностью хода для двух линейных поляризаций называется пластинкой.

Для пластинки разность хода —и соответственно.

Лучевой эллипсоид. Определение поляризации и лучевой скорости лучей по лучевому эллипсоиду (без доказательства).

Направим оси координат вдоль главных диэлектрических осей кристалла. Рассмотрим поверхность так называемого лучевого эллипсоида, уравнение которого . Главные полуоси эллипсоида имеют длины,,, равные лучевым скоростям, когда векторнаправлен вдоль соответствующих осей.

Алгоритм нахождения поляризаций двух световых волн для заданного направления луча следующий., поэтому векторыобеих волн лежат в плоскости перпендикулярной лучу. Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью перпендикулярной лучу, проходящей через центр эллипсоида. Сечение эллипсоида — эллипс. Оси эллипса — направления векторадвух лучей. Длина полуосей эллипса — лучевые скорости двух лучей.

Оптическая ось кристалла (лучевая ось). Одноосные и двуосные кристаллы.

Нельзя путать оси кристалла с главными диэлектрическими осями кристалла.

Кристаллы называются одноосными, если . Если, то кристалл двуосный.

Направление луча, для которого лучевая скорость любой поляризации света одинакова, называется осью кристалла (оптической осью, лучевой осью).

Если , то кристалл имеет две оси в плоскостиx,z.

Обыкновенный и необыкновенный лучи.

В одноосном кристалле один луч обыкновенный, другой — необыкновенный. В двуосном кристалле оба луча необыкновенные.

Рассмотрим одноосный кристалл. Рассмотрим центральное сечение лучевого эллипсоида. Всегда одна из полуосей сечения перпендикулярна оси кристалла. Ее длина не зависит от направления плоскости сечения. Лучевая скорость соответствующего луча не зависит от направления луча. Это и есть обыкновенный луч. для луча этой поляризации кристалл изотропен.

Рассмотрим плоскопараллельную пластинку из одноосного кристалла. Пусть на пластинку под углом к нормали падает неполяризованный свет. При вращении пластинки вокруг нормали обыкновенный луч неподвижен, а необыкновенный луч на выходе из пластинки смещается параллельно самому себе.

Факультативно. Построение двойной лучевой поверхности с помощью лучевого эллипсоида.

Нельзя путать лучевую поверхность с рассмотренной ранее поверхностью лучевого эллипсоида.

Выберем в пространстве некоторую точку O, вокруг которой и будем строить лучевые поверхности. Для каждого направления луча отложим из одной и той же точкиOдва отрезка, равные лучевым скоростям двух лучей для выбранного направления луча. Величины лучевых скоростей двух лучей находятся как длины полуосей сечения лучевого эллипсоида плоскостью перпендикулярной выбранному направлению луча. Вторые концы двух отрезков при изменении направления луча образуют две лучевые поверхности.

Факультативно. Построения Гюйгенса в изотропной и анизотропной среде.

Лучевая скорость направлена в точку касания фронта волны лучевой поверхности.

Фазовая скорость направлена перпендикулярно фронту волны.

Поляризаторы на основе призмы Николя и Волластона.

Призма Николя. Две призмы из исландского шпата, склеены канадским бальзамом. , гдеn— показатель преломления канадского бальзама. Свет одной из линейных поляризаций испытывает на границе полное внутреннее отражение и выходит из рассмотрения. Свет, проходящий сквозь границу, будет линейно поляризован и слегка ослаблен.

Призма Волластона состоит из двух призм, в которых направления оси кристалла ортогональны. На границе двух призм свет двух линейных поляризаций преломляется отклоняясь в разные стороны.