[ Дмитриева, Суханов ] Дополнительные главы матфизики

Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

Математическая физика

Файл:

Åñëè ~y 6= 0, òî µ будет собственным числом.

Теперь в нашем случае:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.08.2013

Размер:

387.87 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Интегральные уравнения

Зверев Дмитрий

Конспект лекций для студентов 4-го курса физического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета. Данный курс лекций читался в 2003 и 2004 годах Дмитриевой и Сухановым, мной внесены лишь некоторые дополнения.

Если что, пишите: dmizverev@yandex.ru, http://www.instkonspekts.narod.ru/

Содержание
I	Интегральные уравнения.							2
1 Классификация интегральных уравнений. Связь с дифференциальными уравнениями.								2
	1.1	Основные типы линейных интегральных уравнений. . . . . . . . . . . . .			. .	. . . . . . .	. . . . . .	2
	1.2	Примеры интегральных уравнений 1-го рода. . . . . . . . . . . . . . . . .			. .	. . . . . . .	. . . . . .	3
		1.2.1	Преобразование Фурье. . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	.	. . . . . . . .	. . . . . .	3
	1.3	1.2.2	Интегральное уравнение Абеля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		. .	. . . . . . .	. . . . . .	4
	1.3	Сведение дифференциальных уравнений к интегральным. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .						5
		1.3.1	Сведение задачи Коши к уравнению Вольтерра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .					5
	1.4	1.3.2 Сведение краевой задачи к уравнению Фредгольма. . . . . . . . .			. .	. . . . . . .	. . . . . .	6
	1.4	Решение уравнения Фредгольма с разностным ядром на всей оси: применение преобразования Фурье						8
2	Уравнения Вольтерра.				. . . . . . . . . . . . . .			10
	2.1	Решение уравнения Вольтерра методом последовательных приближений.			. . . . . . . . . . . . . .			10
	2.2	Итерированные ядра и резольвента уравнения Вольтерра. . . . . . . . .			. . . . . . . . . . . . . . .			12
3	Уравнения Фредгольма.							14
	3.1	Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма с малым ядром. . . . . . . . .						14
	3.2	Резольвента уравнения Фредгольма. Условия сходимости ряда Неймана.			. .	. . . . . . .	. . . . . .	17
	3.3	Полные нормированные пространства. Линейные ограниченные операторы.				. . . . . . .	. . . . . .	18
	3.4	Ряд Неймана для абстрактного линейного уравнения, интегральные уравнения для резольвенты.						19
4	Метод определителей Фредгольма.							21
	4.1	Знаменатель Фредгольма. . . . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .				21
	4.2	Минор определителя Фредгольма.		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . . . . .		24
	4.3	Свойства резольвенты Фредгольма, связь с характеристическими числами.				. . . . . . .	. . . . . .	24
	4.4	Определитель Фредгольма и минор определителя Фредгольма для союзного уравнения.					. . . . .	26
5	Теоремы Фредгольма.							28
	5.1	Теоремы Фредгольма для уравнений с непрерывными ядрами. . . . . . .			. .	. . . . . . .	. . . . . .	28

5.2Уравнения с вырожденным ядром. Обоснование теорем Фредгольма. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.2.1 Комментарии к теоремам Фредгольма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3Конечномерные и компактные операторы. Примеры компактных интегральных операторов. . . . 35

5.4Сведение интегральных уравнения с компактным оператором к уравнению с конечномерным оператором. Теоремы Фредгольма для произвольных компактных ядер. . . . . . . . . . . . . . . . 37

6Самосопряженные интегральные уравнения.

6.1Свойства характеристических чисел и собственных функций самосопряженного интегрального уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.1Ортогонализация по Шмидту. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2Билинейное разложение для самосопряженных ядер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1Ряды для итерированных ядер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3Билинейная формула для резольвенты самосопряженного ядра. Формулы Шмидта для решений. Теорема Гильберта-Шмидта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Приложение. Пространство L2.

Часть I

Интегральные уравнения.

1Классификация интегральных уравнений. Связь с дифференциальными уравнениями.

1.1 Основные типы линейных интегральных уравнений.

Дадим сначала формальное определение интегральных уравнений. Интегральным уравнением называется всякое уравнение, содержащие искомую функцию под знаком интеграла:

y0(x) = f(x) = y = f(x, y)dx

Все интегральные уравнения делятся на линейные и нелинейные. Будем рассматривать линейные интегральные уравнения: (i) уравнения Фредгольма, (ii) уравнения Вольтерра, которые в свою очередь подразделяются на уравнения первого и второго рода.

Также существует классификация по ядрам: 1. Непрерывное ядро.

K(x, s) C(Q); K(x, s) : (x, s) → C,

ãäå Q = [a, b] × [a, b] квадрат в координатах (x, s).

В случае, когда в пределе существует бесконечность, надо дополнительное условие интегрирования на K.

2. Полярное ядро.

H(x, s)

K(x, s) = (x − s)α , 0 < α < 1

H(x, s) C(Q), f(x) C[a, b]

H(x, s)

Ky = (x − s)α y(s)ds

Здесь интеграл сходится и понимается как интеграл в обычном смысле. 3. Сингулярное ядро.

K(x, s) = H(x, s) , α = 1 (x − s)

Ky = V.p. H(x, s) y(s)ds

(x − s)

4. ßäðî èç L2 (в смысле интеграла Лебега).

K(x, s) L2(Q)

Z Z

|K(x, s)|2 dxds < ∞

a a

Далее рассмотрим различные уравнения, с которыми нам придется иметь дело в дальнейшем.
1. Однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
	y(x) = Za	b
y = Ky		K(x, s)y(s)ds,	(1)
ãäå y(x) искомая функция, K(x, s) ядро интегрального уравнения (заданная функция). Рассмотрим
оператор Фредгольма:	b
Ky(x) = Za
	K(x, s)y(s)ds, x [a, b]

Ядро определено на квадрате Q:

K(x, s) : Q → C

Ядро обладает линейностью ( это видно из линейности интеграла):

K(c1y1 + c2y2)(x) = c1Ky1(x) + c2Ky2(x)

2. Однородное интегральное уравнение Фредгольма первого рода.

Ky = f f(x) = Za	b
Ky = f f(x) = Za	K(x, s)y(s)ds	(2)

Здесь искомая функция стоит только под знаком интеграла, f(x) заданная функция, причем f : [a, b] →

3.Неодородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

y = λKy + f y(x) = f(x) + λ Za	b
y = λKy + f y(x) = f(x) + λ Za	K(x, s)y(s)ds,	(3)

ãäå f(x) заданная функция, определяющая неоднородность.

Рассмотрим некоторую аналогию. Пусть A матрица, размерность которой n×n, пусть существует вектор ~y Cn. Тогда рассмотрим задачу на собственные значения:

A~y = µ~y

Значение µ, при котором существует нетривиальное решение однородного интегрального уравнения называется собственным числом соответствующего оператора, а сами решения называются собственными

функциями, при этом λ будет называтся характеристическим числом . 4. Однородное интегральное уравнение Вольтерра второго рода.

x
y(x) = Za	K(x, s)y(s)ds, x ≥ s			(4)
Интегральный оператор Вольтерра:		x
		x
Ky = Za			K(x, s)y(s)ds
Этот оператор определен на треугольнике (рисунок потом). При x < s K(x, s) = 0
5. Однородное интегральное уравнение Вольтерра первого рода.
	x
f(x) = Z		K(x, s)y(s)ds		(5)

У однородного интегрального уравнения Вольтерра первого рода не существует нетривиального решения, т.о., не существует характеристических чисел.

1.2 Примеры интегральных уравнений 1-го рода.

1.2.1 Преобразование Фурье.

f(t) = √2π	∞	y(s)eitsds,	(6)
	Z
1

−∞

ãäå y(s) = o(1) ïðè |s| → ∞.

Это интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода, в котором K(t, s) = eits. Функция f(x); считается известной, а y(s) надо найти. Решением такого уравнения является обратное преобразование Фурье:

y(s) = √2π	∞	f(t)e−itsds	(7)
	Z
1

−∞

1.2.2 Интегральное уравнение Абеля.

Абель, занимаясь обобщением задачи о таутохроне 1, пришел к уравнению

x	ϕ(t)
f(x) = Z	ϕ(t)
	√				dt,	(8)
	√	x	−	t	dt,	(8)
0			−

ãäå f(x) заданная функция, а ϕ(x) искомая функция.
Это уравнение есть частный случай линейного интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода. В 2003 году
Дмитриева рассказывала задачу Абеля, но мне кажется, что для нас она интересна, как динозавр в зоопарке,
поэтому в этом конспекте я ее писать не буду. Подробно о этой задаче написано в [1], стр 19. Сразу напишем
решение задачи Абеля:
x	√x0	tdt +	π √x	(9)
ϕ(x) = π Z	√x0	tdt +	π √x	(9)
1	f (t)		1 f(0)
0	−

	Доказательство.
	Для решения уравнения Абеля необходимо перейти к уравнению с итерированным ядром. Это является
общим методом избавления от особенности. Запишем уравнение (8) в операторном виде:
		x
		Kϕ = f, K = Z	√	1		dt
		Kϕ = f, K = Z	√	x	t	dt
0				−
0

Далее используется метод итерированных ядер (подробнее о нем будет рассказано в разделе 2). Умножим уравнение в операторном виде слева на K(t, s) и проинтегрируем по ds от 0 до t.

K2ϕ = Kf, K2 = Z	√x − tdt Z	√t − sds
	1	ϕ(s)
0	0

Написанные здесь интегралы сходятся, тогда согласно теореме Фубини можно изменить порядок интегрирования.

Замечание.

Теорема Фубини. Пусть для любой точки P A существует g(P ) = f(P, Q)dQ, тогда g интегрируема по

брусу A è R g =		R					B
брусу A è R g =		R	f, ò.å.
A		A×B	Z	dP Z		Z
			Z	dP Z	f(P, Q)dQ =	Z	f(P, Q)dP dQ
			A	B		A×B
Это взято из лекций Будылина за 2002 г.
0 ≤ s ≤ t;	0 ≤ t ≤ x

Рис. 1: Расстановка пределов в уравнении Абеля

Тогда	x			x		x	x
	x			x		x	x	√x t√t s
	K2ϕ = Z	√x t Z			√t s = Z		ϕ(s)ds Z	√x t√t s
			dt		ϕ(s)ds				dt
	0		−	s	−	0	s		− −

1Задача о таутохроне: найти кривую, скользя вдоль которой без трения тяжелая частица достигает своего самого низкого положения за одно и то же время, независимо от ее начального положения

Вычислим явно последний интеграл. Для этого сделаем замену:

t − s = α(x − s), α [0, 1]

x − t = (x − s)(1 − α)

Теперь в терминах переменной α

( 1 ) ( 1 )

= Z

dα

= π

√x t√t

α√1 α

= B 2

, 2

(1)

−

Замечание.

Определения и свойства гамма- и бета-функции.

(x) = e−ttx−1dt

B(x, y) = tx−1 (1 − t)y−1 dt

B(x, y) = (x) (y)(x + y)

Теперь перепишем уравнение для второй итерации.

K2ϕ = Kϕ

Проинтегрируем выражение в квадратных скобках по частям.

√fx(t) t

dt = − Z

2f(t)d

√

= Z

2f0(t)√

x − tdt − 2f(t)√

0x = Z

2f0(t)√

x − tdt − 2f(0)√

x − t

−

Вспомним формулу для дифференцирования:

x	x	dxF (x, t)dt
dx Z0	F (x, t)dt = F (x, x) + Z0	dxF (x, t)dt
d		d

Теперь мы можем написать решение уравнения Абеля.

ϕ(x) = π dx		2f0	(t)√x	tdt		2f(0)√x =
		x		−	−
	1 d	Z		−	−
	1 d
		0

	x	√x0	tdt +	π √x
π Z		√x0	tdt +	π √x
1		f (t)		1 f(0)
0		−

Доказательство закончено.

1.3 Сведение дифференциальных уравнений к интегральным.

1.3.1 Сведение задачи Коши к уравнению Вольтерра.

Рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго рода:

y00(x) + a1(x)y0(x) + a0(x)y(x) = f(x), x [0, ∞)		(10)
При этом ставится задача Коши с начальными условиями вида
	y(0) = C0

y0(0) = C1

Введем функцию ϕ(x) следующим образом:

	ϕ(x) = y00(x)
Тогда, последовательно интегрируя, будем иметь:
x
y0(x) = Z0	ϕ(t)dt + C1, C1 = y0(0)

y(x) = dt ϕ(t1)dt1 + C1x + C0

Проинтегрируем последнее выражение по частям:

y(x) = t	t ϕ(t1)dt1	x	x	ϕ(t)tdt + C1x + C0 =	x	(x		t)ϕ(t)dt + C1x + C0
Z			− Z		Z		−
0		0	0		0

Теперь подставим получившиеся выражения для y(x), y0(x) è y00(x) в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго рода.

ϕ(x) + a1	x	ϕ(t)dt + C1 + a0	x	(x		t)ϕ(t)dt + C1x + C0	= f(x)
	Z		Z		−
	0		0

И получим неоднородное уравнение Вольтерра второго рода:

ϕ(x) = K(x, t)ϕ(t)dt + F (x),

ãäå F (x) = f(x) − C1a1(x) − C1a0(x)x − C0a0(x) неоднородность;

K(x, t) = − (a1(x) + a0(x)(x − t)) ÿäðî.

Упражнения.

Свести данные дифференциальные уравнения к интегральным.

1.	y00	+ y = 0, y(0) = 0, y0(0) = 1;
2.	y00	+ y = cos x, y(0) = 0, y0(0) = 0
3.	y00	+ y0 sin x + yex = x, y(0) = 1, y0(0) = 1
		−

1.3.2 Сведение краевой задачи к уравнению Фредгольма.

Рассматривается краевая задача следующего вида:

−y00(x) +	y(0)	=	0	x [0, l]
	v(x)y(x) = g(x),
	y(l)	=	0

Замечание.

Краевая задача Штурма-Лиувилля в общем случае выглядит так:

−dx

α1y(0) + α2y0(0) = 0

p(x)

y(x) + q(x)

y(x) + v(x)y(x) = λg(x), x

[0, l]

β1y(l) + β2y0(l) = 0

где функции p(x), v(x) è g(x) дифференцируемы на (0, l), à p(x) è g(x) положительны.

Далее рассматривается вспомогательная задача:

−

y00(x) = h(x), x

[0, l]

y(0)

y(l)

(11)

(12)

Данная задача решается с помощью функции Грина (G(x, t)):

y(x) = G(x, t)h(t)dt

	0
−	Gxx00 (x, t) = δ(x, t)
−	G(0, t)	=	0
	G(l, t)	=	0

Замечание.

Определение функции Грина краевой задачи.

Рис. 2: Область определения функции Грина.

Пусть G(x, t) функция, определенная в Q = {(x, t)|0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ l}, со следующими свойствами:

• В каждом из обоих треугольников D1 è D2 функция G(x, t) дважды непрерывно дифференцируема по x è t и удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению

py00 + qy0 + vy = 0.

•	Функция G(x, t) непрерывна в Q.
•	В интервале 0 ≤ t ≤ l справедливо равенство

∂G(t + 0, t)	−	∂G(t − 0, t)	=	1

∂x		∂x		p(x)

• В интервале 0 ≤ t ≤ l функция G(x, t) удовлетворяет однородным краевым условиям G(0, t) = 0 è G(0, l) =

Рассмотрим способ нахождения функции Грина. Если y1(x) è y2(x) два линейно независимых решения однородного дифференциального уравнения, то положим

	−p(0)W (0)	y1	(t)y2(x)	,	x ≥ t,
G(x, t) =	1	y1	(x)y2(t)	,	x ≤ t
G(x, t) =					x ≤ t

ãäå W (x) = y1(x)y20 (x) − y10 (x)y2(x) вронцкиан;

y1(0) = 0, y2(l) = 0;

p(x)W (x) не зависят от x, тогда их можно взять в любой точке.

Вернемся к вспомогательной задаче. Общее решение однородной вспомогательной задачи будет такое:

y(x) = C1x + C0

Используем краевые условия для нахождения констант.

y1(0) = 0 = C0 = 0

y2(l) = 0 =		˜	=	˜
y2(l) = 0 =		C0	=	−C1l
Получаем частные решения вспомогательной задачи:
			˜
y1(x) = C1x, y2(x) = C1(x − l)
Строим вронцкиан для вспомогательной задачи:
˜	˜		˜	˜
W (x) = C1xC1	− C1(x − l)C1	= C1C1		(x − x + l) = lC1C1

Функция p(x) в нашей вспомогательной задаче равна 1.

p(x) = 1

Теперь легко написать функцию Грина для вспомогательной задачи:

	− l	t(x − l)	,	x ≥ t,
G(x, t) =	1	x(t − l)	,	x ≤ t
G(x, t) =		x(t − l)		x ≤ t

Далее решение вспомогательной задачи ищется по формуле

			l
	y(x) = Z			G(x, t)h(t)dt			(13)
			0
Вернемся к исходной задаче, переписав ее в следующем виде:
−	y00(x) = g(x)				−	v(x)y(x), x	[0, l]
−	y(0)	=	0		−

	y(l)	=	0

Пользуясь результатом вспомогательной задачи запишем формулу для решения исходной задачи:

y(x) = G(x, t)(g(t) − v(t)y(t))dt,

причем функция Грина явно задана как функция Грина вспомогательной задачи. В итоге мы получаем неоднородное уравнение Фредгольма второго рода:

y(x) = f(x) + Z0	l
y(x) = f(x) + Z0	K(x, t)y(t)dt,
l
ãäå f(x) = G(x, t)g(t) неоднородность;
0
R
K(x, t) = −G(x, t)v(t) ÿäðî.

Упражнение.

Свести данное дифференциальное уравненио к интегральному.

1. y00 = λy + ex, y(0) = y0(0), y(1) = y0(1).

1.4Решение уравнения Фредгольма с разностным ядром на всей оси: применение преобразования Фурье

Рассматривается неоднородное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода:

+∞
ϕ(x) = f(x) + Z	K(x − t)ϕ(t)dt,	(14)
−∞
ãäå K(x − t) разностное ядро.
Далее необходимо учесть следующие предположения:
	+∞
	R	\|K(τ)\| dτ < ∞
1. K(x − t) L1(R), ядро абсолютно интегрируемо на всей оси:		\|K(τ)\| dτ < ∞

−∞

2. Èëè f(x) L1 :	+∞\|f(x)\| dx < ∞, èëè f(x) L2 :						+∞\|f(x)\|2 dx < ∞, при этом функция ϕ(x) ищется в
том же классе, чтоRè f(x).							R
	−∞					−∞
При этих предположениях существуют Фурье-образы.
						+∞
	F [f] = fˆ(w) = √2π Z						e−iwxf(x)dx
			1
						−∞
						+∞
	F [K] = Kˆ = √2π Z						e−iwxK(t)dx
		1
Применим преобразование Фурье к уравнению (14):					−∞
Применим преобразование Фурье к уравнению (14):			+∞K(x						t)ϕ(t)dt
	F [ϕ] = ϕˆ = fˆ+ F		+∞K(x						t)ϕ(t)dt
				Z				−
			−∞

ПоследнееУтверждениеслагаемое. Преобразованиев этом выраженииФурьеявляетсясверткипреобразованиемравно умноженномуФурьенасвертки√ .

2π произведению преобразований

Фурье свертываемых функций, т.е. в нашем случае

F +∞K(x

t)ϕ(t)dt =

√2π

F [K]

F [ϕ]

−

Доказательство.

−∞

+∞

F "

K(x − t)ϕ(t)dt#

√

e−iwxdx

K(x − t)ϕ(t)dt

2π

−∞

∞

e−iwtϕ(t)dt

K(x

−

t)e−iw(x−t)dx

√2π

−∞

∞

√

−∞ e−iwtϕ(t)dt−∞ K(y)e−iwydy

2π

√

2π

· F [K] · F [ϕ]

Доказательство закончено.

Теперь окончательно запишем преобразование Фурье для уравнения (14).

√

ϕˆ = f +

2π · Kϕˆ

ϕˆ =

fˆ

√

1 −

2π · K

Решение уравнения Фредгольма с разностным ядром на всей оси выглядит так:

+∞

fˆ

ϕ(x) =

√

e−iwx

1 − √

· Kˆ

(15)

2π

При этом необходимо учитывать условие

−∞

√

6= 0

1 −

2π · K

Аналогично решается уравнение Фредгольма 1-го рода

+∞

f(t) = Z

K(x − t)ϕ(t)dt

−∞

+∞

fˆ

ϕ(x) =

√

e−iwx

√

· Kˆ

(16)

2π

При этом необходимо учитывать условие

−∞

K 6= 0

Тут еще надо пример рассмотреть для решения задачек. Ну-у-у... Посмотрите в [3], что-то мне это лень писать. 9

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математическая физика

#
22.08.2013658 Кб145[ Грикуров, Аленицын ] Обобщённые функции в матфизике.pdf
#
22.08.2013387.87 Кб38[ Дмитриева, Суханов ] Дополнительные главы матфизики.pdf
#
22.08.2013387.87 Кб35[ Зверев ] Дополнительные главы матфизики (лекции Дмитриевой и Суханова).pdf
#
22.08.2013611.71 Кб58[ Лялинов, Пожарский ] Методы математической физики в основном потоке в 5 семестре и система письменного экзамена.pdf
#
22.08.20131.41 Mб63[ Лялинов, Пожарский ] Методы математической физики. Программа упражнений, 5 семестр, основной поток.pdf
#
22.08.2013799.62 Кб142[Аленицын, Благовещенский] Задачник (5 сем).pdf
#
22.08.201316.26 Mб11Матфизика (6 сем) - Суханов.djvu