Математическое представление

Согласно определению, кооперативной игрой называется пара (N,v), где N — это множество игроков, а v — это функция: 2^N→R, из множества всех коалиций в множество вещественных чисел (так называемая характеристическая функция). Предполагается, что пустая коалиция зарабатывает ноль, то есть v(∅) = 0. Характеристическая функция описывает величину выгоды, которую данное подмножество игроков может достичь путем объединения в коалицию. Подразумевается, что игроки примут решение о создании коалиции в зависимости от размеров выплат внутри коалиции.

Свойства характеристической функции

• Монотонность— свойство, при котором у больших (в смысле включения) коалиций выплаты больше: если.

• Супераддитивность— свойство, при котором для любых двух непересекающихся коалиций A и B сумма их выгод по отдельности не больше их выгоды при объединении:

• Выпуклость— характеристическая функция является выпуклой:

Примеры игр

Простые игры— особый вид кооперативных игр, где все выплаты это 1 или 0, то есть коалиции либо «выигрывают», либо «проигрывают». Простая игра называется правильной, если:

.

Значение этого: коалиция выигрывает тогда и только тогда, когда дополняющая коалиция (оппозиция) проигрывает.

Решение кооперативных игр

В соответствии с определением кооперативной игры, множество игроков N в совокупности обладает некоторым количеством определенного блага, которое надлежит разделить между участниками. Принципы этого деления и называются решениями кооперативной игры.

Решение может быть определено как для конкретной игры, так и для класса игр. Естественно, что наибольшей важностью обладают как раз те принципы, которые применимы в широком спектре случаев (то есть для обширного класса игр).

Решение может быть как однозначным (в этом случае для каждой игры решением является единственное распределение выигрышей), так и многозначным (когда для каждой игры могут быть определены несколько распределений). Примерами однозначных решений служат N-ядроивектор Шепли, примерами многозначных —C-ядроиK-ядро.

• С-ядро

• N-ядро

• K-ядро

• Вектор Шепли

Литература

• Петросян Л. А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А.Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304. —ISBN 5-06-001005-8, 5-8013-0007-4

C-ядро

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

(перенаправлено с «С-ядро»)

Перейти к: навигация,поиск

С-ядро(произноситсяцэ-ядро) — принцип оптимальности в теориикооперативных игр, представляющий собой множество эффективных распределений выигрыша, устойчивых к отклонениям любой коалиции игроков, то есть множество векторов, таких, что:

и для любой коалиции выполнено:

,

где — характеристическая функция игры.

Свойства

• Эквивалентным является определение С-ядра кооперативной игры в терминах блокирования распределений выигрыша коалициями. Говорят, что коалиция Kблокирует распределение выигрышаx, если найдётся другое распределение выигрышаy, такое, что

,

и для любого участника выполнено.

Тогда С-ядром кооперативной игры называется множество распределений выигрыша, которые не могут быть заблокированы ни одной коалицией.

• С-ядро задаётся системой линейных уравнений и нестрогих линейных неравенств, в связи с чем оно является выпуклыммногогранником.

• С-ядро может быть пустым. Достаточные условия непустоты ядра были сформулированы Л.Шепли:

Теорема.Кооперативная игра ссупермодулярнойхарактеристической функцией имеет непустое ядро.

Необходимые и достаточные условия непустоты ядра были сформулированы О.Бондаревойи, позднее,Л.Шепли:

Теорема.Ядро кооперативной игры непусто тогда и только тогда, когда онасбалансирована.

• Любое равновесие Вальрасапринадлежит ядру, однако обратное неверно. Однако, при некоторых предположенях, если количество агентов в экономике стремится к бесконечности, ядро стремится ко множеству равновесий Вальраса (гипотезаЭджворта).