- •Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Методы математической физики»
- •Начальные условия
- •4. Решение однородного учп с однородными граничными и неоднородными начальными условиями
- •C начальными условиями
- •5.Решение неоднородного учп с однородными начальными и граничными условиям
- •Начальные условия
- •6.Сборка решения и построение графиков
- •Пример 1
- •2. Приведём уравнение (1) к простейшему виду
- •3. Переход к задаче с однородными граничными условиями
- •Подставляем (18) в граничные условия (16), получим
- •Из уравнения (20) получим
- •Обозначим
- •5. Решение неоднородного учп с однородными начальными и граничными условиями
- •1. Постановка задачи.
- •3. Приведение уравнения в частных производных к простейшему виду
- •5. Решение неоднородного учп с однородными начальными и граничными условиями
- •6. Сборка решения и построение графиков
- •1.Постановка задачи
- •3.Возвращаемся в пространство оригиналов
- •4.Доказательство сходимости несобственного интеграла
- •5.Вычисление интегралов и построение графиков
- •Для всех остаточных членов рядов (20)-(22) справедлива оценка
- •1.Постановка задачи.
- •Варианты расчётно-графического задания №2.
- •Содержание
Министерство образования и науки Украины
Запорожская государственная инженерная академия
Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Методы математической физики»
для студентов специальности 7.080403
"Программное обеспечение автоматизированных систем"
Запорожье 2001
Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий
по курсу «Методы математической физики» для студентов специальности 7.080403 "Программное обеспечение автоматизированных систем"
/сост. д.ф.-м.н.,проф. Пожуев В.И.,ст. преп. Безверхий А.И., Запорожье, ЗГИА,2000, - 43с.
Составители:
д.ф.-м.н.,проф. Пожуев В.И.
ст. преп. Безверхий А.И.
Обсуждены на заседании
кафедры программного обеспечения и математического моделирования.
Протокол № 5
от 17 октября 2001 г.
Зав. кафедрой
проф. ____________ Пожуев В.И.
Методические указания для выполнения расчетно-графического
задания №1
Расчетно-графическое задание №1 посвящено решению уравнений в частных производных(УЧП) гиперболического типа методом Фурье. При этом сами уравнения, начальные и граничные условия – неоднородные. Для решения задачи необходимо подробно изучить разделы 4.4,4.5 учебного пособия [1]. Задание рекомендуется выполнять в следующем порядке:
Постановка задачи
Здесь формулируется задача, записывается уравнение, граничные
и начальные условия задачи.
Приведение уравнения в частных производных к простейшему виду
Этот пункт выполняется в том случае, когда в исходное УЧП кроме старших вторых частных производных входят и первые производные. Для упрощения выполняется замена неизвестной функции на новую(см. раздел 2.3 в [1]) по формуле
u(x,t)=e W(x,t)
Параметры и выбираются так, чтобы уравнение для W(x,t) не содержало первых частных производных. При этом, замену функции u(x,t) на функцию W(x,t) следует произвести и в начальных и в граничных условиях.
Переход к задаче с однородными граничными условиями
Так как метод Фурье применяется только для задач с однородными граничными условиями, то такой переход необходим. Он осуществляется при помощи замены
W(x,t)=U(x,t)+V(x,t),
где функция U(x,t)должна удовлетворять только неоднородным граничным условиям. Проще всего эту функцию представить в виде линейной функции от х
U(x,t)=M(t)+xN(t),
при этом функции M(t) и N(t) определяются путем подстановки в заданные граничные условия и выражаются через правые части этих условий. Функция V(x,t) удовлетворяет однородным граничным условиям. После определения функции U(x,t), подставляем функцию W(x,t) в УЧП, начальные и граничные условия, и получаем задачу с однородными граничными условиями для функции V(x,t)
Начальные условия
V(x,0)=(x)
.
Граничные условия однородные.
При этом, неоднородность из граничных условий переходит в уравнение и в начальные условия.
4. Решение однородного учп с однородными граничными и неоднородными начальными условиями
Решение задачи для функции V(x,t) представляется в виде
V(x,t)=V(x,t)+V*(x,t),
здесь V0(x,t) – удовлетворяет однородному УЧП, однородным граничным и начальным условиям;
V*(x,t) – удовлетворяет неоднородному УЧП и однородным начальным и граничным условиям.
Вначале решаем УЧП для функцииV0(x,t) вида