2.25. r1 = 27 Ом,

x1 = 25 Ом, r2 = 20 Ом, x2 = 30 Ом, r3 = 30 Ом, x3 = 18 Ом,

I2 = 2 А.

Определить напряжение U и u(t) . По-

строить векторную диаграмму.

r1 i1	i3
	х2
u	r3

х3

r2

х1

2.26. r1 = r3 = 2 Ом, r2 = 6 Ом,

xL = 8 Ом,

U = 130 В.

Определить токи в ветвях схемы. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

r1	i3
u	r2
	r3

L

i1

2.27. u = 113 2 sin(100t) , L = 0,4 Гн, C =100 мкФ, r = 200 Ом.

Определить токи в ветвях схемы и мощность Р. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

	L1		i3
u		r2	x3
	i1

2.8.3. Резонанс в цепях переменного тока

Режим при котором в цепи, содержащей реактивные элементы, ток и напряжение совпадают по фазе, называется резонансным, т.е. эквивалентное сопротивление цепи является чисто активным.

2.8.3.1. Резонанс напряжений

Резонанс напряжений возможен при (Рис.8) последовательном соединении R, L, C элементов.

35

				R	L
				Uвх					C
				I
				Рис. 8.
Условие резонанса напряжений:
J	m	{z	вх	} = 0, x = x	L	− x = 0, ω L = 1 .
							C		ωC
Угловая резонансная частота
				ω0 =			1	.
							LC
При резонансе напряжений ток в контуре I0					= Uвх .
							R

Коэффициент мощности cosϕ = 1.

Напряжение на емкости и на индуктивности одинаковы: UC = UL .

При резонансе напряжений применяются следующие соотношения и формулы: характеристическое сопротивление контура – сопротивление каждого из реактивных эле-

ментов при резонансе ρ = ω 0 L =	1	=		L ;
	ω 0C			C
• добротность контура Q =			ρ	=	U L	=	UC	;
			R
				Uвх		Uвх

•затухание контура d = Q1 ;

•	абсолютная расстройка ω = ω − ω0 или f = f − f0 ;
•	относительная расстройка	ω =	f	.
		ω0	f0

2.8.3.2. Резонанс токов

Резонанс токов возможен в цепи, содержащей параллельно соединенные индуктивности и емкости (Рис. 9)

36

U

I

R1

I1

L

C

R2

I2

Рис. 9.

Условие резонанса токов:

Jm {Yвх} = 0, b = bC − bL = 0;

bL = bC

или

xL

=

xC

.

R2

+ x2

R2

+ x2

1

L

2

C

Угловая резонансная частота: ω

=

1

=

ρ 2 − R2

,

0

1

LC

ρ 2 − R2

2

где характеристическое сопротивление ρ =

L

;

C

добротность контура Q =

ρ

;

R + R

1

2

R R

2

+ ρ 2

сопротивление контура при резонансе токов

z p

=

Rp =

1

;

R1

+ R2

ток неразветвленной части цепи при резонансе I p

=

U

;

Rp

полоса пропускания определяется из условия, что ток на частотах f1 и f2, соответствующих границы полосы пропускания, уменьшается в 2 ;

абсолютное значение полосы пропускания: Sa = f2 − f1 = Qf0 ;

относительное значение полосы пропускания: S0 = Sa = 1 .

f0 Q

Пример 3.1

Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных активного сопротивления R = 10 Ом, катушки индуктивностью L = 100 мкГн и конденсатора емкостью C = 100 пФ.

37

R L

U C

Определить резонансную частоту ω0 , характеристическое сопротивление ρ, затухание и

добротность контура. Чему равны ток, расходуемая в цепи мощность, напряжение на индуктивности и емкости, если контур включен на напряжении 1 В? Вычислить абсолютное значение полос пропускания контура.

Решение:

ω0 =

1

=

1

= 107

c−1;

LC

100 10− 6 100 10−12

=

ω

=

107

≈1,6

f0

0

МГц;

2

3,14

2π

ρ

=

L

=

100 10−6

= 1000 Ом; d

=

R

=

1000

= 100;

C

100 10−12

ρ

10

I

0

= U =

1

= 0,1 A; P = I 2R = 0,12

10 = 0,1 Bm;

R

10

0

0

UL0 = UC0 = I0ρ = 0,1 1000 = 100 B;

Sa =

f

0

=

1,6

106

= 16000 Гц.

Q

100

R0

U R

L

Пример 3.2

На зажимах цепи поддерживается постоянное по действующему значению напряжение U = 100 В, R = 10 Ом, xL = 5 Ом, xC = 10 Ом.

Определить R0 , при котором цепь будет находиться в резонансе.

Решение:

Условие резонанса напряжений x = xL − xC = 0 ,

38

−R

jx

−R

jx

+ R x2

Z =

0

C

+ R + jxL =

0

C

0

C + R + jxL =

R0

− jxC

R02 + xC2

2

2

= j xL −

R0 xC

+

R0 xC

+ R;

R2

+ x2

R2

+ x2

0

C

0

C

R02 xC

2

2

2

xL −

= 0

→

R0 xL + xL xC − R0 xC = 0 ;

R2 + x2

0

C

5R0 = 500; R0

= 10 Ом.

Ток при резонансе I0

=

U

=

100

= 5 A.

R0 + R

10 + 10

Пример 3.3

W

A

r

C

U

V

L

В схеме без емкости приборы показывают P = 1210 Вт, I = 11 А, U = 220 В, f = 50 Гц.

Определить величину емкости, необходимую для повышения коэффициента мощности

( cosϕ ) до 1.

Решение:

Определим параметры катушки по схеме без емкости

r =

P

= 10 Ом;

z = U

=

220

= 20 Ом;

I 2

11

I

xL =

z2 − r2 =

202 − 102 = 17,3 Ом.

cosϕ = 1 при резонансе.

Условия резонанса токов:

bL = bC ;

bL =

xL

; bC =

1

;

r2

+ xL2

xC

ωC =

ω L

; C =

ω L

=

17,3

= 138

10−6 Ф.

r

2

+ (ω L)

2

ω

2

+ (ω L)

2

314 400

r

Задачи

3.1. При резонансе: U = 200 В, U1 = 204 В, U2 = 180 В, I = 4 А, f = 50 Гц.

39

	Определить rK , LK , C, r1 .
	rk		Lk
		u1	i
	u		r1
		C
		u2
	3.2. r1 =10 Ом, r2 =10 Ом, x3 =10 Ом,	f = 50 Гц.
	При каком значении L наступит резонанс
	х1
	u	r2	i
			x3
	r1
			i2
	.

3.3. При резонансе: U =120 В, U2 = 208 В, rk = 60 Ом, f = 50 Гц. Определить показания приборов, значения L и С.

	V
rk	Lk
u	u2	C
	A
3.4. r1 = 5 Ом, r2 = 5 Ом, x2 = 5 Ом.

Определить значение x3 при котором наступает резонанс токов. r1 i3

r2

u x3 x2

i1

3.5. u =100 2 sin(ωt) , r = xL = xC = 2 Ом. Определить показания приборов.

40

W	C
u	L	r
3.6. При резонансе: P = 4 Вт, U = 4 В,	xL = 2 Ом.
Определить r и xС .
	V1
r	L
u	u2	C

3.7. При резонансе: U = 60 В, f = 50 Гц, r = 60 Ом, U2 = 300 В.

Определить показания V1 , L и добротность цепи.

r	L
u	C

3.8. U = 5 В, C = 40 мкФ, L =100 мГн, WC max = 0,1 Дж.

Определить ток при резонансе, добротность цепи и сопротивление.

3.9. L = 25 мкГн, u =12 2 sin(ωt) , r = 2,5 Ом, C =100 пФ.

Определить добротность контура и резонансную частоту f0 и UC .

r	L
u	C

3.10. r1 = 2 Ом, x1 = 2 Ом.

При каком значении x2 в цепи наступит резонанс.

41

u	r1	x2
	x1

3.11. Определить r и L контура, если при резонансной частоте f0 =1 кГц отношение напряжения на конденсаторе к напряжению на входе равно 50. Емкость конденсатора C = 0,5 мкФ.

r	L
u	C
3.12. L = 0,1 Гн, r = 5 Ом, C = 25,4 мкФ.

Определить частоту f при которой в цепи наступит резонанс токов.

	r1
u	L	C

3.13. r = 100 Ом, L = 5,05 мГн, C = 0,05 мкФ, u = 10 2 sin(ωt) .

Определить резонансную частоту, волновое сопротивление и затухание контура, напряжения UL и UC .

	x1
u	r2	x3

3.14. xC = 40 Ом, U = 384 В, xL = 14,14 Ом.

Определить сопротивление r2 и все токи при резонансе.

r	L
u	C

42